Y¨or¨ ungeler K¨ umesinin C ¸ apı - DENKLEM İLE VERİLEN KONTROL. Doktora Tezi. Matematik Anabil

p∈ (p − δ, p + δ) iken

Xp,µ˜ 0 ⊂ Xp,µ0+ εBC(1) (3.2.21) olması demektir. Burada BC(1) k¨umesi, C ([t0, θ] ; Rⁿ) uzayının merkezi orijinde olan kapalı birim yuvardır.

p ∈ (p − δ, p + δ) i¸cin, ¨once keyfi x(·) ∈ Xp,µ0 y¨or¨ungesi se¸cilip sabitlenirse, benzer olarak

kx(·) − ˜x(·)k_C ≤ ε

olacak bi¸cimde ˜x(·) ∈ Xp,µ˜ 0 y¨or¨ungesinin var oldu˘gu kanıtlanabilir. Bu ise ˜p ∈ (p − δ, p + δ) iken

Xp,µ0 ⊂ Xp,µ˜ 0 + εBC(1) (3.2.22) kapsamasının do˘gru olması demektir.

B¨oylece (3.2.21) ve (3.2.22) i¸cermelerinden ˜p∈ (p − δ, p + δ) i¸cin

hC(Xp,µ˜ 0,Xp,µ0) ≤ ε (3.2.23) oldu˘gu bulunur.

(3.2.23) ’ten ise keyfi ˜p∈ (p − δ, p + δ) ve t ∈ [t0, θ] i¸cin hn(Xp,µ˜ 0(t), Xp,µ0(t)) ≤ ε oldu˘gu elde edilir.

3.3 Y¨or¨ungeler K¨umesinin C¸ apı

Bu b¨ol¨umde Xp,µ0y¨or¨ungeler k¨umesinin ¸capı i¸cin bir ¨ust de˘gerlendirme elde edece˘giz.

(X, d(·, ·)) metrik uzay, E ⊂ X olsun. E k¨umesinin ¸capı diam E olarak g¨osterilir ve

diam E = sup {d(x, y) : x ∈ E, y ∈ E}

olarak tanımlanır.

t∈ [t₀, θ] i¸cin

w∗(t) = 2λM2µ₀ 1 − L0

(t − t0)^p−1^p

· exp

1 − L0

L₁(t − t0) + L2µ₀(t − t0)^p−1^p

(3.3.1) olsun. Burada M₂ >0 sayısı (2.2.4) ile tanımlıdır.

Teorem 3.3.1 Her t ∈ [t₀, θ] i¸cin

diamXp,µ0(t) ≤ w∗(t) (3.3.2)

diamXp,µ0 ≤ w∗(θ) (3.3.3)

e¸sitsizlikleri do˘grudur.

Kanıt. Keyfi x(·) ∈ Xp,µ0 ve y(·) ∈ Xp,µ0 alalım ve sabitleyelim. O halde her t ∈ [t₀, θ] i¸cin

x(t) = g (t, x (t)) + λ Z t

[K₁(t, s, x (s)) + K₂(t, s, x (s)) u₁(s)] ds (3.3.4) ve

y(t) = g (t, y (t)) + λ Z t

[K1(t, s, y (s)) + K2(t, s, y (s)) u2(s)] ds (3.3.5) olacak bi¸cimde u1(·) ∈ Up,µ0 ve u2(·) ∈ Up,µ0 vardır. Bu durumda (3.3.4) ve (3.3.5)

’ten, her t ∈ [t0, θ] i¸cin

x(t) − y(t) =

g(t, x (t)) + λ

Z t t0

[K1(t, s, x (s)) + K2(t, s, x (s)) u1(s)] ds

− g (t, y (t)) − λ Z t

[K1(t, s, y (s)) + K2(t, s, y (s)) u2(s)] ds

≤ kg (t, x (t)) − g (t, y (t))k + λ Z t

kK1(t, s, x (s)) − K1(t, s, y (s))k ds + λ

Z t t0

kK2(t, s, x (s)) u1(s) − K2(t, s, y (s)) u2(s)k ds

≤ kg (t, x (t)) − g (t, y (t))k + λ Z t

kK₁(t, s, x (s)) − K₁(t, s, y (s))k ds + λ

Z t t0

kK₂(t, s, x (s)) u₁(s) − K₂(t, s, y (s)) u₁(s)k ds + λ

Z t t0

kK2(t, s, y (s)) u1(s) − K2(t, s, y (s)) u2(s)k ds

≤ kg (t, x (t)) − g (t, y (t))k + λ Z t

kK1(t, s, x (s)) − K1(t, s, y (s))k ds + λ

Z t t0

kK2(t, s, x (s)) − K2(t, s, y (s))k · ku1(s)k ds + λ

Z t t0

kK2(t, s, y (s))k · ku1(s) − u2(s)k ds oldu˘gu elde edilir.

B¨oylece her t ∈ [t₀, θ] i¸cin

kx(t) − y(t)k ≤ kg (t, x (t)) − g (t, y (t))k + λ

Z t t0

kK1(t, s, x (s)) − K1(t, s, y (s))k ds + λ

Z t t0

kK2(t, s, x (s)) − K2(t, s, y (s))k · ku1(s)k ds + λ

Z t t0

kK2(t, s, y (s))k · ku1(s) − u2(s)k ds (3.3.6) oldu˘gu bulunur.

1.2.B ko¸sulundan her t ∈ [t0, θ] ve s ∈ [t0, θ] i¸cin

kg (t, x (t)) − g (t, y (t))k ≤ L0kx (t) − y (t)k , (3.3.7)

kK1(t, s, x (s)) − K1(t, s, y (s))k ≤ L1kx (s) − y (s)k , (3.3.8)

kK₂(t, s, x (s)) − K₂(t, s, y (s))k ≤ L₂kx (s) − y (s)k (3.3.9) olur.

L₀ ∈ [0, 1) oldu˘gundan, (3.3.6), (3.3.7), (3.3.8) ve (3.3.9) ’dan, her t ∈ [t0, θ]

i¸cin

x(t) − y (t)

≤ λ

1 − L0

Z t t0

(L1+ L2ku1(s)k) · kx (s) − y (s)k ds

+ λ

1 − L0

Z t t0

kK2(t, s, y (s))k · ku1(s) − u2(s)k ds (3.3.10) olarak bulunur.

y(·) ∈ Xp,µ0 oldu˘gundan, Teorem 2.1.2 ’den keyfi t ∈ [t₀, θ] i¸cin

y(t) ∈ Bn(r∗) (3.3.11)

olur. Burada r∗ >0 sayısı (2.1.6) ile tanımlıdır.

(2.2.2), (2.2.4) ve (3.3.11) ’den ise keyfi t ∈ [t0, θ], s ∈ [t0, θ] i¸cin

oldu˘gu bulunur. (3.3.14) ve Gronwall e¸sitsizli˘ginden, her t ∈ [t₀, θ] i¸cin

olur. Ayrıca u1(·) ∈ Up,µ0 oldu˘gundan, (3.3.1), (3.3.15) ve H¨older e¸sitsizli˘ginden, her t ∈ [t0, θ] i¸cin

x(t) − y (t)

≤ 2λM2µ₀ 1 − L0

(t − t0)^p−1^p

· exp

1 − L0

L₁(t − t0) + L2

Z t t0

ku1(s)k ds

≤ 2λM₂µ₀ 1 − L0

(t − t0)^p−1^p · exp

1 − L0

L₁(t − t0) + L2µ₀(t − t0)^p−1^p

= w∗(t) (3.3.16)

olur.

x(·) ∈ Xp,µ0 ve y(·) ∈ Xp,µ0 keyfi se¸cildi˘ginden, x(t) ∈ Xp,µ0(t) ve y(t) ∈ Xp,µ0(t) keyfi se¸cilmi¸s olur. O halde (3.3.16) ’dan, her t ∈ [t0, θ] i¸cin

diamXp,µ0(t) = sup {kx (t) − y (t)k : x(t) ∈ Xp,µ0(t), y(t) ∈ Xp,µ0(t)}

≤ w∗(t) (3.3.17)

olur.

(3.3.17) ’den (3.3.2) e¸sitsizli˘ginin do˘gru oldu˘gu elde edilir.

w∗(·) : [t0, θ] → [0, ∞) fonksiyonu monoton artan fonksiyon oldu˘gundan, (3.3.16)

’dan, her t ∈ [t0, θ] i¸cin

kx (t) − y (t)k ≤ w∗(θ) ve buradan da

kx (·) − y (·)k_C = max {kx (t) − y (t)k : t ∈ [t₀, θ]} ≤ w∗(θ) (3.3.18) oldu˘gu bulunur. x(·) ∈ Xp,µ0 ve y(·) ∈ Xp,µ0 keyfi se¸cildi˘ginden, (3.3.18) e¸sitsizli˘ginden (3.3.3) ’¨un do˘grulu˘gu elde edilir.

4 Y ¨OR ¨UNGELER K ¨UMES˙IN˙IN YAKLAS¸IK ˙INS¸ASI 4.1 Geometrik Kısıt

Bu b¨ol¨umde, Up,µ0 m¨umk¨un kontrol fonksiyonlar k¨umesinin alt k¨umesi olan yeni kontrol fonksiyonlar k¨umesi tanımlayaca˘gız.

H ∈ (0, +∞) i¸cin

U_p,µ^H ₀ = {u(·) ∈ Up,µ0 : keyfi t ∈ [t₀, θ] i¸cin ku(t)k ≤ H}

olsun. A¸cıktır ki, U_p,µ^H ₀ ⊂ Up,µ0.

(1.2.1) sisteminin t¨um m¨umk¨un u(·) ∈ U_p,µ^H ₀ kontrol fonksiyonları tarafından

uretilen y¨or¨ungeler k¨umesini X^H_p,µ₀ olarak g¨osterelim. O halde X^H_p,µ₀ =x(·; u(·)) : u(·) ∈ U_p,µ^H ₀

(4.1.1) olur.

Her t ∈ [t₀, θ] i¸cin

X^H_p,µ₀(t) =x(t) ∈ Rⁿ : x(·) ∈ X^H_p,µ₀

(4.1.2) olarak g¨osterelim.

L∗ = 2λM2µ^p₀ 1 − L0

· exp L(λ) − L0

1 − L0

(4.1.3) olsun. Burada L(λ) sayısı (1.2.5), M2 sayısı ise (2.2.4) ile tanımlıdır.

Teorem 4.1.1

hC X^H_p,µ₀ , Xp,µ0 ≤ L∗

H^p−1 e¸sitsizli˘gi do˘grudur.

Kanıt. U_p,µ^H ₀ ⊂ Up,µ0 oldu˘gundan

X^H_p,µ₀ ⊂ Xp,µ0 (4.1.4)

olur.

Keyfi x(·) ∈ Xp,µ0 alalım ve sabitleyelim. O halde her t ∈ [t0, θ] i¸cin x(t) = g (t, x (t)) + λ

Z t t0

[K1(t, s, x (s)) + K2(t, s, x (s)) u (s)] ds (4.1.5)

olacak bi¸cimde u(·) ∈ Up,µ0 vardır.

(1.2.1) sisteminin u∗(·) ∈ U_p,µ^H₀ kontrol fonksiyonu tarafından ¨uretilen y¨or¨ unge-sini x∗(·) olarak g¨osterirsek, x∗(·) ∈ X^H_p,µ₀ ve her t ∈ [t0, θ] i¸cin

≤ kg (t, x (t)) − g (t, x∗(t))k + λ Z t

kK₁(t, s, x (s)) − K₁(t, s, x∗(s))k ds + λ

Z t t0

kK₂(t, s, x (s)) − K₂(t, s, x∗(s))k · ku(s)k ds + λ

Z t t0

kK2(t, s, x∗(s))k · ku(s) − u∗(s)k ds oldu˘gu elde edilir.

B¨oylece her t ∈ [t0, θ] i¸cin

kx(t) − x∗(t)k ≤ kg (t, x (t)) − g (t, x∗(t))k + λ

Z t t0

kK1(t, s, x (s)) − K1(t, s, x∗(s))k ds + λ

Z t t0

kK₂(t, s, x (s)) − K₂(t, s, x∗(s))k · ku(s)k ds + λ

Z t t0

kK₂(t, s, x∗(s))k · ku(s) − u∗(s)k ds (4.1.8) olur.

1.2.B ko¸sulundan her t ∈ [t0, θ] ve s ∈ [t0, θ] i¸cin

kg (t, x (t)) − g (t, x∗(t))k ≤ L0kx (t) − x∗(t)k , (4.1.9)

kK1(t, s, x (s)) − K1(t, s, x∗(s))k ≤ L1kx (s) − x∗(s)k , (4.1.10)

kK2(t, s, x (s)) − K2(t, s, x∗(s))k ≤ L2kx (s) − x∗(s)k (4.1.11) oldu˘gu bulunur.

x∗(·) ∈ X^H_p,µ₀ ⊂ Xp,µ0 oldu˘gundan, (2.2.4) ’ten keyfi (t, s) ∈ [t0, θ] × [t0, θ] i¸cin kK₂(t, s, x∗(s))k ≤ M₂ (4.1.12) olur. B¨oylece (4.1.8), (4.1.9), (4.1.10) (4.1.11) ve (4.1.12) ’den her t ∈ [t0, θ] i¸cin

x(t) − x∗(t)

≤ L₀kx (t) − x∗(t)k + λL₁ Z t

kx (s) − x∗(s)k ds + λL2

Z t t0

kx (s) − x∗(s)k · ku(s)k ds + λM2

Z t t0

ku(s) − u∗(s)k ds

= L0kx (t) − x∗(t)k + λ Z t

[L1+ L2ku(s)k] kx (s) − x∗(s)k ds + λM2

Z t t0

ku(s) − u∗(s)k ds

ve L₀ ∈ [0, 1) oldu˘gundan son e¸sitsizlikten olur. Burada µ(Ωt), Ωt k¨umesinin Lebesgue ¨ol¸c¨um¨un¨u g¨ostermektedir.

Son e¸sitsizlikten

olur. Bu durumda (4.1.15), (4.1.16) ve H¨older e¸sitsizli˘ginden Z

oldu˘gu elde edilir.

(4.1.18) ve Gronwall e¸sitsizli˘ginden her t ∈ [t₀, θ] i¸cin

u(·) ∈ Up,µ0 oldu˘gundan, H¨older e¸sitsizli˘gi gere˘gi Z θ olarak bulunur. O halde

kx(·) − x∗(·)k_C ≤ L∗

H^p−1 (4.1.21)

olur. B¨oylece keyfi se¸cilmi¸s x(·) ∈ Xp,µ0 i¸cin (4.1.21) e¸sitsizli˘gini sa˘glayacak bi¸cimde x∗(·) ∈ X^H_p,µ₀ oldu˘gunu kanıtlamı¸s olduk. Bu ise

Xp,µ0 ⊂ X^H_p,µ₀ + L∗

H^p−1 · BC(1) (4.1.22)

olması demektir.

(4.1.4) ve (4.1.22) ’den teoremin kanıtı elde edilir.

Teorem 4.1.1 ’den sonu¸c olarak a¸sa˘gıdaki ¨onermeler elde edilir.

Onerme 4.1.2 Keyfi t ∈ [t¨ ₀, θ] i¸cin

hn X^H_p,µ₀(t) , Xp,µ0(t) ≤ L∗

H^p−1 e¸sitsizli˘gi do˘grudur.

Burada Xp,µ0(t) ve X^H_p,µ₀(t) k¨umeleri uygun olarak (1.2.7) ve (4.1.2) ile tanım-lıdır.

Onerme 4.1.3 H → +∞ iken¨

hC X^H_p,µ₀ , Xp,µ0 → 0 olur.

Onerme 4.1.4 H → +∞ iken [t¨ ₀, θ] aralı˘gında d¨uzg¨un olarak

hn X^H_p,µ₀(t) , Xp,µ0(t) → 0 olur.

4.2 Par¸calı Sabit Kontrol Fonksiyonlar

Bu b¨ol¨umde U_p,µ^H ₀ kontrol fonksiyonlar k¨umesinde bulunan, ama par¸calı sabit olan yeni kontrol fonksiyonlar tanımlayaca˘gız.

Γ = {t0 < t1 < . . . < tN = θ} [t0, θ] aralı˘gının bir d¨uzg¨un b¨ol¨unt¨us¨u, ti+1− ti = θ− t0

N = ∆, i = 0, 1, . . . , N − 1 olsun.

Yeni kontrol fonksiyonlar k¨umesi tanımlayalım.

U_p,µ^H,Γ₀ = {u(·) ∈ U_p,µ^H ₀ : u(t) = ui, ∀ t ∈ [ti, ti+1), i = 0, 1, . . . , N − 1}

olsun. A¸cıktır ki

U_p,µ^H,Γ₀ ⊂ U_p,µ^H₀ olur.

(1.2.1) sisteminin t¨um m¨umk¨un u(·) ∈ U_p,µ^H,Γ₀ kontrol fonksiyonları tarafından

uretilen y¨or¨ungeler k¨umesini X^H,Γ_p,µ₀ olarak g¨osterelim. O halde X^H,Γ_p,µ₀ =x(·; u(·)) : u(·) ∈ U_p,µ^H,Γ₀

(4.2.1)

olur. Ayrıca t ∈ [t₀, θ] i¸cin

oldu˘gu elde edilir. B¨oylece (4.2.4) ’ten her u(·) ∈ U_p,µ^H,Γ₀ kontrol fonksiyonu i¸cin (1.2.2) ile verilen integral kısıtlaması, (4.2.4) bi¸cimindeki cebirsel kısıtlama olur.

Ayrıca u(·) ∈ U_p,µ^H,Γ₀ i¸cin t ∈ [t0, θ] iken ku(t)k ≤ H oldu˘gundan

her i = 0, 1, . . . , N − 1 i¸cin kuik ≤ H (4.2.5) e¸sitsizli˘gi de sa˘glanır. B¨oylece U_p,µ^H,Γ₀ k¨umesi, (4.2.4) ve (4.2.5) e¸sitsizliklerini sa˘glayan par¸calı sabit kontrol fonksiyonlarından olu¸sur.

∆ > 0 i¸cin olarak g¨osterelim. Burada L(λ) saysı (1.2.5), M2 sayısı (2.2.4), ω2(·) (2.2.7) ile, ϕ(·) ise (2.2.8) ile tanımlıdır.

∆ → 0⁺ iken ϕ(∆) → 0 oldu˘gundan, (4.2.6) ve (4.2.7) ’den ∆ → 0⁺ iken ζ(∆) → 0 ve χ(∆) → 0 oldu˘gu bulunur.

Teorem 4.2.1

hC X^H_p,µ₀ , X^H,Γ_p,µ₀ ≤ χ(∆) e¸sitsizli˘gi do˘grudur.

Kanıt. U_p,µ^H,Γ₀ ⊂ U_p,µ^H₀ oldu˘gundan

X^H,Γ_p,µ₀ ⊂ X^H_p,µ₀ (4.2.8)

olur.

Keyfi x(·) ∈ X^H_p,µ₀ alalım ve sabitleyelim. O halde her t ∈ [t₀, θ] i¸cin x(t) = g (t, x (t)) + λ

Z t t0

[K1(t, s, x (s)) + K2(t, s, x (s)) u (s)] ds (4.2.9) olacak bi¸cimde u(·) ∈ U_p,µ^H ₀ vardır.

u(·) ∈ U_p,µ^H ₀ kontrol fonksiyonunu kullanarak, her t ∈ [t0, θ] i¸cin u∗(t) = 1

∆ Z ti+1

u(τ )dτ, t ∈ [ti, ti+1), i = 0, 1, . . . , N − 1 (4.2.10) olmak ¨uzere yeni u∗(·) : [t0, θ] → R^m kontrol fonksiyonunu tanımlayalım.

A¸cıktır ki, (4.2.10) ile tanımlı u∗(·) fonksiyonu her [ti, t_i+1) (i = 0, 1, . . . , N − 1) aralı˘gında sabit fonksiyondur.

u(·) ∈ U_p,µ^H ₀ oldu˘gundan her t ∈ [t0, θ] i¸cin ku(t)k ≤ H olur. O halde her t ∈ [ti, t_i+1) (i = 0, 1, . . . , N − 1) i¸cin

ku∗(t)k ≤ 1

∆ Z ti+1

ku(τ )k dτ ≤ 1

∆· ∆H = H (4.2.11)

olur. B¨oylece (4.2.11) ’den her t ∈ [t₀, θ] i¸cin

ku∗(t)k ≤ H (4.2.12)

oldu˘gu elde edilir.

(4.2.10) ve H¨older e¸sitsizli˘ginden, keyfi t ∈ [ti, ti+1) (i = 0, 1, . . . , N − 1) i¸cin

ku∗(t)k ≤ 1

∆ Z ti+1

ku(τ )k dτ ≤ 1

∆∆^p−1^p

Z ti+1

ku(τ )k^pdτ

¹_p

= 1

∆¹^p

Z ti+1

ku(τ )k^pdτ

¹_p

(4.2.13) oldu˘gu bulunur. (4.2.13) e¸sitsizli˘ginden, keyfi t ∈ [ti, ti+1) (i = 0, 1, . . . , N − 1) i¸cin

∆ ku∗(t)k^p ≤ Z ti+1

ku(τ )k^pdτ (4.2.14)

oldu˘gu bulunur.

olur. O halde (4.2.16) e¸sitsizli˘ginden Z θ

Son olarak (4.2.17) e¸sitsizli˘ginden

ku∗(·)k_p =

(1.2.1) sisteminin (4.2.10) ile tanımlı u∗(·) ∈ U_p,µ^H,Γ₀ kontrol fonksiyonu tarafından

(4.2.9) ve (4.2.19) ’dan, her t ∈ [t₀, θ] i¸cin

oldu˘gu bulunur. ve L₀ ∈ [0, 1) oldu˘gundan son e¸sitsizlikten

kx(t) − x∗(t)k ≤ λ

e¸sitsizli˘gi elde edilir.

olur. [ti, ti+1) aralı˘gında u∗(·) kontrol fonksiyonu sabit oldu˘gundan, (4.2.28) ’den

∆ · u∗(η) = oldu˘gu elde edilir. Bu durumda, (4.2.29) ’dan

olarak bulunur. (4.2.27) ve (4.2.30) ’dan

olur. Burada ϕ(·) (2.2.8) ile tanımlıdır. (2.2.7), (2.2.9) ve (4.2.32) ’den, keyf s ∈ [ti, t_i+1] i¸cin

kK2(t, s, x∗(s)) − K2(t, ti, x∗(ti))k ≤ ω2(ϕ (∆)) (4.2.33) oldu˘gu elde edilir.

(4.2.31) ve (4.2.33) ’ten

olur. O halde H¨older ve Minkowski e¸sitsizliklerini kullanırsak,

Z tk

(4.2.35) ve (4.2.37) ’den

k−1

e¸sitsizli˘gi elde edilir.

t∈ [tk, t_k+1) oldu˘gundan, (2.2.4), (4.2.36), H¨older ve Minkowski e¸sitsizliklerin-den

(4.2.6), (4.2.26), (4.2.38) ve (4.2.39) ’dan

(4.2.24) ve (4.2.40) ’tan kx(t) − x∗(t)k ≤ λ

olur. t ∈ [t0, θ] keyfi se¸cildi˘ginden, (4.2.41) ve Gronwall e¸sitsizli˘ginden, keyfi t ∈ [t0, θ] i¸cin

oldu˘gu bulunur.

u(·) ∈ U_p,µ^H ₀ ⊂ Up,µ0 oldu˘gundan, H¨older e¸sitsizli˘gi gere˘gi Z θ

ku(s)k ds ≤ (θ − t0)^p−1^p

Z θ t0

ku(s)k^pds

1 p

≤ (θ − t0)^p−1^p µ₀ olur. O zaman (1.2.5) ve (4.2.42) ’den, keyfi t ∈ [t0, θ] i¸cin

kx(t) − x∗(t)k ≤ ζ(∆) λ 1 − L0

· exp

1 − L0

L₁(θ − t0) + L2(θ − t0)^p−1^p µ₀

= ζ(∆) λ 1 − L0

· exp L(λ) − L0

1 − L0

(4.2.43) oldu˘gu bulunur.

Son olarak (4.2.7) ve (4.2.43) ’ten, keyfi t ∈ [t0, θ] i¸cin kx(t) − x∗(t)k ≤ χ(∆)

olur. O halde

kx(·) − x∗(·)k_C ≤ χ(∆) (4.2.44)

olur. B¨oylece keyfi se¸cilmi¸s x(·) ∈ X^H_p,µ₀ i¸cin (4.2.44) e¸sitsizli˘gini sa˘glayacak bi¸cimde x∗(·) ∈ X^H,Γ_p,µ₀ oldu˘gunu kanıtlamı¸s olduk. Bu ise

X^H_p,µ₀ ⊂ X^H,Γ_p,µ₀ + χ(∆)BC(1) (4.2.45) olması demektir.

(4.2.8) ve (4.2.45) ’ten teoremin kanıtı elde edilir.

Teorem 4.2.1 ’den sonu¸c olarak a¸sa˘gıdaki ¨onermeler elde edilir.

Onerme 4.2.2 ∆ → 0¨ ⁺ iken

hC X^H_p,µ₀ , X^H,Γ_p,µ₀ → 0 olur.

Onerme 4.2.3 Keyfi t ∈ [t¨ 0, θ] i¸cin

hn X^H_p,µ₀(t) , X^H,Γ_p,µ₀(t) ≤ χ(∆)

e¸sitsizli˘gi do˘grudur. Ayrıca ∆ → 0⁺ iken [t₀, θ] aralı˘gında d¨uzg¨un olarak h_n X^H_p,µ₀(t) , X^H,Γ_p,µ₀(t) → 0

olur.

Burada X^H_p,µ₀(t) ve X^H,Γ_p,µ₀(t) k¨umeleri uygun olarak (4.1.2) ve (4.2.2) ile, χ(∆) ise (4.2.7) ile tanımlıdır.

4.3 Normları [0, H] Aralı˘gının D¨uzg¨un B¨ol¨unt¨us¨unde Olan Par¸calı Sabit Kontrol Fonksiyonlar

Bu b¨ol¨umde U_p,µ^H,Γ₀ kontrol fonksiyonlar k¨umesinde bulunan ve normları [0, H] ara-lı˘gının d¨uzg¨un b¨ol¨unt¨us¨unde olan yeni kontrol fonksiyonlar tanımlayaca˘gız.

Γ^∗ = {0 = r0 < r1 < . . . < rm = H} [0, H] aralı˘gının bir d¨uzg¨un b¨ol¨unt¨us¨u, rj+1− rj = H

m = ∆∗, j= 0, 1, . . . , m − 1 olsun.

Yeni kontrol fonksiyonlar k¨umesi tanımlayalım.

U_p,µ^H,Γ,Γ₀ ^∗ = {u(·) ∈ U_p,µ^H,Γ₀ : ku(t)k = rji ∀ t ∈ [ti, ti+1), rji ∈ Γ^∗, i= 0, 1, . . . , N − 1}

olsun. A¸cıktır ki

U_p,µ^H,Γ,Γ₀ ^∗ ⊂ U_p,µ^H,Γ₀ olur.

(1.2.1) sisteminin t¨um m¨umk¨un u(·) ∈ U_p,µ^H,Γ,Γ₀ ^∗ kontrol fonksiyonları tarafından

uretilen y¨or¨ungeler k¨umesini X^H,Γ,Γ_p,µ₀ ^∗ olarak g¨osterelim. O halde X^H,Γ,Γ_p,µ₀ ^∗ =x(·; u(·)) : u(·) ∈ U_p,µ^H,Γ,Γ₀ ^∗

(4.3.1) olur.

Her t ∈ [t0, θ] i¸cin

X^H,Γ,Γ_p,µ₀ ^∗(t) =x(t) ∈ Rⁿ : x(·) ∈ X^H,Γ,Γ_p,µ₀ ^∗

(4.3.2) olsun. Ayrıca,

ξ(∆∗) = ∆∗

λM2(θ − t0) 1 − L0

· exp L(λ) − L0

1 − L0

(4.3.3) olarak g¨osterelim. Burada L(λ) sayısı (1.2.5), M2 sayısı ise (2.2.4) ile tanımlıdır.

A¸cıktır ki, ∆∗ → 0⁺ iken ξ(∆∗) → 0 olur.

Teorem 4.3.1

hC X^H,Γ_p,µ₀ , X^H,Γ,Γ_p,µ₀ ^∗ ≤ ξ(∆∗) e¸sitsizli˘gi do˘grudur.

Kanıt. U_p,µ^H,Γ,Γ₀ ^∗ ⊂ U_p,µ^H,Γ₀ oldu˘gundan

X^H,Γ,Γ_p,µ₀ ^∗ ⊂ X^H,Γ_p,µ₀ (4.3.4)

olur.

Keyfi x(·) ∈ X^H,Γ_p,µ₀ alalım ve sabitleyelim. O halde her t ∈ [t0, θ] i¸cin x(t) = g (t, x (t)) + λ

Z t t0

[K1(t, s, x (s)) + K2(t, s, x (s)) u (s)] ds (4.3.5) olacak bi¸cimde u(·) ∈ U_p,µ^H,Γ₀ vardır.

u(·) ∈ U_p,µ^H,Γ₀ oldu˘gundan

u(t) = ui, t∈ [ti, ti+1), i = 0, 1, . . . , N − 1 (4.3.6) ve (4.2.4), (4.2.5) e¸sitsizlikleri gere˘gi

kuik ≤ H, i= 0, 1, . . . , N − 1, ∆ ·

N −1

i=0

kuik^p ≤ µ^p₀ (4.3.7)

oldu˘gu elde edilir.

i= 0, 1, . . . , N − 1 i¸cin kuik < H iken, bu durumda

kuik ∈ [rji , rji+1) (4.3.8) olacak bi¸cimde rji ∈ Γ^∗ vardır. O halde (4.3.8) ’den i = 0, 1, . . . , N − 1 i¸cin kuik < H iken

kuik ≥ rji (4.3.9)

olur.

Verilen u(·) ∈ U_p,µ^H,Γ₀ kontrol fonksiyonunu kullanarak, t ∈ [ti, ti+1), i= 0, 1, . . . , N − 1, iken

u∗(t) =





 ui

kuikrji , e˘ger 0 < kuik < H,

u_i , e˘ger kuik = 0 veya kuik = H

(4.3.10)

olmak ¨uzere u∗(·) : [t0, θ] → R^m kontrol fonksiyonunu tanımlayalım. Ayrıca, u∗(θ) = u∗(t_{N −1}) olarak alalım.

(4.3.10) ’dan, 0 < kuik < H iken keyfi t ∈ [ti, t_i+1), i = 0, 1, . . . , N − 1, i¸cin

ku∗(t)k = rji ∈ Γ^∗ (4.3.11)

olur. Ayrıca, kuik = 0 veya kuik = H iken 0 ∈ Γ^∗ ve H ∈ Γ^∗ oldu˘gundan, (4.3.11) i¸cermesi kuik = 0 ve kuik = H durumları i¸cin de do˘gru olur.

Keyfi t ∈ [ti, ti+1), i = 0, 1, . . . , N −1, i¸cin u(t) = ui oldu˘gundan, (4.3.6), (4.3.9) ve (4.3.11) ’den keyfi t ∈ [ti, t_i+1), i = 0, 1, . . . , N − 1, i¸cin

ku∗(t)k ≤ ku(t)k (4.3.12)

olur. O halde (4.3.6), (4.3.7) ve (4.3.12) ’den keyfi t ∈ [t0, θ] i¸cin

ku∗(t)k ≤ H, (4.3.13)

ku∗(t)k^p dt≤

ku(t)k^p dt≤ µ^p₀ (4.3.14)

olur.

(4.3.11), (4.3.13) ve (4.3.14) ’ten u∗(·) ∈ U_p,µ^H,Γ,Γ₀ ^∗ oldu˘gu bulunur.

Keyfi [ti, t_i+1), i = 0, 1, . . . , N − 1, aralı˘gını alalım. O halde (4.3.6) ’dan keyfi t ∈ [ti, t_i+1) i¸cin ku(t)k = kuik olur.

E˘ger 0 < kuik < H ise, rji+1− rji = ∆∗ oldu˘gundan, (4.3.6), (4.3.8), (4.3.9) ve (4.3.10) ’dan keyfi t ∈ [ti, t_i+1), i = 0, 1, . . . , N − 1, i¸cin

ku(t) − u∗(t)k =

ui− ui

kuikrji

= kuik

1 − rji

kuik

= kuik − rji ≤ rji+1− rji = ∆∗ (4.3.15) oldu˘gu elde edilir.

E˘ger kuik = 0 veya kuik = H ise, (4.3.10) ’dan keyfi t ∈ [ti, ti+1) i¸cin u∗(t) = ui

olur. Bu durumda, her t ∈ [ti, ti+1) i¸cin

ku(t) − u∗(t)k = 0 (4.3.16)

oldu˘gu elde edilir.

B¨oylece, (4.3.15) ve (4.3.16) ’dan keyfi t ∈ [t0, θ] i¸cin

ku(t) − u∗(t)k ≤ ∆∗ (4.3.17)

oldu˘gu elde edilir.

(1.2.1) sisteminin (4.3.10) ile tanımlı u∗(·) ∈ U_p,µ^H,Γ,Γ₀ ^∗ kontrol fonksiyonu tarafın-dan ¨uretilen y¨or¨ungesini x∗(·) olarak g¨osterirsek, x∗(·) ∈ X^H,Γ,Γ_p,µ₀ ^∗ ve her t ∈ [t0, θ]

i¸cin

x∗(t) = g (t, x∗(t)) + λ

Z t t0

[K1(t, s, x∗(s)) + K2(t, s, x∗(s)) u∗(s)] ds (4.3.18)

olur. (4.3.5) ve (4.3.18) ’den, her t ∈ [t₀, θ] i¸cin

kK₂(t, s, x∗(s))k ≤ M₂ (4.3.23) oldu˘gu bulunur. Bu durumda (4.3.17), (4.3.19), (4.3.20), (4.3.21), (4.3.22) ve (4.3.23) ’ten

ve son e¸sitsizlikten ise

kx(t) − x∗(t)k ≤ λ

(4.3.24) ve Gronwall e¸sitsizli˘ginden, her t ∈ [t0, θ] i¸cin

u(·) ∈ Up,µ0 oldu˘gundan, H¨older e¸sitsizli˘gi gere˘gi Z θ

olur. B¨oylece keyfi se¸cilmi¸s x(·) ∈ X^H,Γ_p,µ₀ i¸cin (4.3.27) e¸sitsizli˘gini sa˘glayacak bi¸cimde x∗(·) ∈ X^H,Γ,Γ_p,µ₀ ^∗ oldu˘gunu kanıtlamı¸s olduk. Bu ise

X^H,Γ_p,µ₀ ⊂ X^H,Γ,Γ_p,µ₀ ^∗+ ξ(∆∗)BC(1) (4.3.28) olması demektir.

(4.3.4) ve (4.3.28) ’den teoremin kanıtı elde edilir.

Teorem 4.3.1 ’den sonu¸c olarak a¸sa˘gıdaki ¨onermeler elde edilir.

Onerme 4.3.2 ∆¨ ∗ → 0⁺ iken

hC X^H,Γ_p,µ₀ , X^H,Γ,Γ_p,µ₀ ^∗ → 0 olur.

Onerme 4.3.3 Keyfi t ∈ [t¨ 0, θ] i¸cin

hn X^H,Γ_p,µ₀(t) , X^H,Γ,Γ_p,µ₀ ^∗(t) ≤ ξ(∆∗)

e¸sitsizli˘gi do˘grudur. Ayrıca ∆∗ → 0⁺ iken [t0, θ] aralı˘gında d¨uzg¨un olarak hn X^H,Γ_p,µ₀(t) , X^H,Γ,Γ_p,µ₀ ^∗(t) → 0

olur.

Burada X^H,Γ_p,µ₀(t) ve X^H,Γ,Γ_p,µ₀ ^∗(t) k¨umeleri uygun olarak (4.2.2) ve (4.3.2) ile, ξ(∆∗) ise (4.3.3) ile tanımlıdır.

4.4 Sonlu Sayıda Par¸calı Sabit Kontrol Fonksiyonlar

U_p,µ^H,Γ,Γ₀ ^∗ kontrol fonksiyonlar k¨umesi, keyfi t ∈ [t0, θ] i¸cin

ku(t)k ≤ H, (4.4.1)

ku(t)k^p dt≤ µ^p₀ (4.4.2)

ve keyfi t ∈ [ti, t_i+1), i = 0, 1, . . . , N − 1, i¸cin

ku(t)k = rji ∈ Γ^∗ (4.4.3)

olacak bi¸cimdeki kontrol fonksiyonlar k¨umesidir. Bu durumda u(·) ∈ U_p,µ^H,Γ,Γ₀ ^∗ kon-trol fonksiyonu (4.4.3) bi¸ciminde oldu˘gundan, (4.4.1) ve (4.4.2) ’den keyfi i = 0, 1, . . . , N − 1 i¸cin

0 ≤ rji ≤ H,

ku(t)k^p dt= ∆ ·

N −1

i=0

r^p_j_i ≤ µ^p₀

olur. B¨oylece u(·) ∈ U_p,µ^H,Γ,Γ₀ ^∗ kontrol fonksiyonu (4.4.3) bi¸ciminde olan ve keyfi i= 0, 1, . . . , N − 1 i¸cin

0 ≤ rji ≤ H ve

∆ ·

N −1

i=0

r^p_j_i ≤ µ^p₀

e¸sitsizliklerini sa˘glayan par¸calı sabit kontrol fonksiyonudur.

S = {u ∈ R^m : kuk = 1}

olsun. Yani S ⊂ R^m k¨umesi, R^m uzayında kapalı birim yuvarın y¨uzeyini g¨oster-mektedir. S ⊂ R^m kompakt k¨ume oldu˘gundan, keyfi σ > 0 i¸cin S ’nin sonlu σ -a˘gı vardır. Verilen σ > 0 i¸cin

Sσ = {sl∈ S : l = 1, 2, . . . , K}

k¨umesi S ⊂ R^m ’de bir sonlu σ -a˘g olsun. O zaman keyfi s ∈ S i¸cin ks − skk ≤ σ

olacak bi¸cimde sk ∈ Sσ vardır.

Yeni kontrol fonksiyonlar k¨umesi tanımlayalım.

U_p,µ^H,Γ,Γ₀ ^∗^,σ = n

u(·) ∈ U_p,µ^H,Γ,Γ₀ ^∗ : u(t) = rjisli, t∈ [ti, ti+1), rji ∈ Γ^∗, sli ∈ Sσ, i= 0, 1, . . . , N − 1o

olsun. A¸cıktır ki

U_p,µ^H,Γ,Γ₀ ^∗^,σ ⊂ U_p,µ^H,Γ,Γ₀ ^∗

ve U_p,µ^H,Γ,Γ₀ ^∗^,σ kontrol fonksiyonlar k¨umesi sonlu sayıda fonksiyonlardan olu¸sur.

(1.2.1) sisteminin t¨um m¨umk¨un u(·) ∈ U_p,µ^H,Γ,Γ₀ ^∗^,σ kontrol fonksiyonları tarafın-dan ¨uretilen y¨or¨ungeler k¨umesini X^H,Γ,Γ_p,µ₀ ^∗^,σ olarak g¨osterelim. O halde

X^H,Γ,Γ_p,µ₀ ^∗^,σ =x(·; u(·)) : u(·) ∈ U_p,µ^H,Γ,Γ₀ ^∗^,σ

(4.4.4) olur.

Her t ∈ [t₀, θ] i¸cin

X^H,Γ,Γ_p,µ₀ ^∗^,σ(t) =x(t) ∈ Rⁿ : x(·) ∈ X^H,Γ,Γ_p,µ₀ ^∗^,σ

(4.4.5) olsun. Ayrıca

ψ(σ, H) = σHλM2(θ − t0) 1 − L0

· exp L(λ) − L0

1 − L0

(4.4.6) olarak g¨osterelim. Burada L(λ) sayısı (1.2.5), M2 sayısı ise (2.2.4) ile tanımlıdır.

A¸cıktır ki, her sabitlenmi¸s H > 0 i¸cin σ → 0⁺ iken ψ(σ, H) → 0 olur.

Teorem 4.4.1

hC X^H,Γ,Γ_p,µ₀ ^∗ , X^H,Γ,Γ_p,µ₀ ^∗^,σ ≤ ψ(σ, H) e¸sitsizli˘gi do˘grudur.

Kanıt. U_p,µ^H,Γ,Γ₀ ^∗^,σ ⊂ U_p,µ^H,Γ,Γ₀ ^∗ oldu˘gundan

X^H,Γ,Γ_p,µ₀ ^∗^,σ ⊂ X^H,Γ,Γ_p,µ₀ ^∗ (4.4.7) olur.

Keyfi x(·) ∈ X^H,Γ,Γ_p,µ₀ ^∗ alalım ve sabitleyelim. O halde her t ∈ [t0, θ] i¸cin

x(t) = g (t, x (t)) + λ Z t

[K1(t, s, x (s)) + K2(t, s, x (s)) u (s)] ds (4.4.8) olacak bi¸cimde u(·) ∈ U_p,µ^H,Γ,Γ₀ ^∗ vardır.

u(·) ∈ U_p,µ^H,Γ,Γ₀ ^∗ oldu˘gundan

ku(t)k = rji, t∈ [ti, t_i+1), rji ∈ Γ^∗, i= 0, 1, . . . , N − 1 (4.4.9)

∆ ·

N −1

i=0

r^p_j_i ≤ µ^p₀ (4.4.10)

olur. (4.4.9) ’dan, hi ∈ S, i = 0, 1, . . . , N − 1, olmak ¨uzere keyfi t ∈ [ti, t_i+1), i= 0, 1, . . . , N − 1, i¸cin

u(t) = rjihi (4.4.11)

oldu˘gu elde edilir.

h_i ∈ S, Sσ ise S ’de σ -a˘g oldu˘gundan, her hi ∈ S, i = 0, 1, . . . , N − 1, i¸cin

khi− slik ≤ σ (4.4.12)

olacak bi¸cimde sli ∈ Sσ vardır. S¸imdi t ∈ [ti, t_i+1), i = 0, 1, . . . , N − 1, i¸cin

u∗(t) = rjisli (4.4.13)

olmak ¨uzere u∗(·) : [t0, θ] → R^m fonksiyonunu tanımlayalım.

(4.4.9), (4.4.10) ve (4.4.13) ’ten keyfi t ∈ [t0, θ] i¸cin

ku∗(t)k = ku(t)k = rji ≤ H, (4.4.14)

ku∗(t)k^p dt=

ku(t)k^p dt= ∆ ·

N −1

i=0

r_j^p_i ≤ µ^p₀ (4.4.15)

olur.

(4.4.13), (4.4.14) ve (4.4.15) ’ten u∗(·) ∈ U_p,µ^H,Γ,Γ₀ ^∗^,σolur. Ayrıca (4.4.11), (4.4.12), (4.4.13) ve (4.4.14) ’ten keyfi t ∈ [ti, ti+1), i = 0, 1, . . . , N − 1, i¸cin

ku(t) − u∗(t)k = krjihi − rjislik = rjikhi− slik ≤ Hσ (4.4.16) oldu˘gu bulunur. O halde (4.4.16) ’dan keyfi t ∈ [t0, θ] i¸cin

ku(t) − u∗(t)k ≤ Hσ (4.4.17)

olur.

(1.2.1) sisteminin (4.4.13) ile tanımlı u∗(·) ∈ U_p,µ^H,Γ,Γ₀ ^∗^,σ kontrol fonksiyonu ta-rafından ¨uretilen y¨or¨ungesini x∗(·) olarak g¨osterirsek, x∗(·) ∈ X^H,Γ,Γ_p,µ₀ ^∗^,σ ve her t ∈ [t₀, θ] i¸cin

x∗(t) = g (t, x∗(t)) + λ

Z t t0

[K1(t, s, x∗(s)) + K2(t, s, x∗(s)) u∗(s)] ds (4.4.18)

olur.

kK₂(t, s, x (s)) − K₂(t, s, x∗(s))k ≤ L₂kx (s) − x∗(s)k , (4.4.22)

kK2(t, s, x∗(s))k ≤ M2 (4.4.23) oldu˘gu bulunur. Bu durumda (4.4.17), (4.4.19), (4.4.20), (4.4.21), (4.4.22) ve (4.4.23) ’ten ve son e¸sitsizlikten ise

kx(t) − x∗(t)k ≤ λ

(4.4.24) ve Gronwall e¸sitsizli˘ginden, her t ∈ [t0, θ] i¸cin x(t) − x∗(t)

olur. O halde

kx(·) − x∗(·)k_C ≤ ψ(σ, H) (4.4.27) olur. B¨oylece keyfi se¸cilmi¸s x(·) ∈ X^H,Γ,Γ_p,µ₀ ^∗ i¸cin (4.4.27) e¸sitsizli˘gini sa˘glayacak bi¸cimde x∗(·) ∈ X^H,Γ,Γ_p,µ₀ ^∗^,σ vardır. Bu ise

X^H,Γ,Γ_p,µ₀ ^∗ ⊂ X^H,Γ,Γ_p,µ₀ ^∗^,σ+ ψ(σ, H)BC(1) (4.4.28) olması demektir.

(4.4.7) ve (4.4.28) ’den teoremin kanıtı elde edilir.

Teorem 4.4.1 ’den sonu¸c olarak a¸sa˘gıdaki ¨onermeler elde edilir.

Onerme 4.4.2 Her sabitlenmi¸s H > 0 i¸cin σ → 0¨ ⁺ iken

hC X^H,Γ,Γ_p,µ₀ ^∗ , X^H,Γ,Γ_p,µ₀ ^∗^,σ → 0 olur.

Onerme 4.4.3 Keyfi t ∈ [t¨ ₀, θ] i¸cin

hn X^H,Γ,Γ_p,µ₀ ^∗(t) , X^H,Γ,Γ_p,µ₀ ^∗^,σ(t) ≤ ψ(σ, H)

e¸sitsizli˘gi do˘grudur. Ayrıca her sabitlenmi¸s H > 0 i¸cin σ → 0⁺ iken [t0, θ]

aralı˘gında d¨uzg¨un olarak

hn X^H,Γ,Γ_p,µ₀ ^∗(t) , X^H,Γ,Γ_p,µ₀ ^∗^,σ(t) → 0 olur.

Burada X^H,Γ,Γ_p,µ₀ ^∗(t) ve X^H,Γ,Γ_p,µ₀ ^∗^,σ(t) k¨umeleri uygun olarak (4.3.2) ve (4.4.5) ile, ψ(σ, H) ise (4.4.6) ile tanımlıdır.

4.5 Hausdorff Uzaklı˘gı ˙I¸cin Genel De˘gerlendirme

Teorem 4.1.1, 4.2.1, 4.3.1 ve 4.4.1 ’den, (1.2.1) sisteminin t¨um m¨umk¨un u(·) ∈ Up,µ0

kontrol fonksiyonları tarafından ¨uretilen Xp,µ0 y¨or¨ungeler k¨umesi ile, sonlu sayıda s¨urekli fonksiyonlardan olu¸san X^H,Γ,Γ_p,µ₀ ^∗^,σ k¨umesi arasındaki Hausdorff uzaklı˘gını karakterize eden a¸sa˘gıdaki teorem do˘grudur.

Teorem 4.5.1

hC Xp,µ0,X^H,Γ,Γ_p,µ₀ ^∗^,σ ≤ L∗

H^p−1 + χ(∆) + ξ(∆∗) + ψ(σ, H) e¸sitsizli˘gi do˘grudur.

Burada L∗, χ(∆), ξ(∆∗) ve ψ(σ, H) sırasıyla (4.1.3), (4.2.7), (4.3.3) ve (4.4.6) ile tanımlıdır.

Kanıt. Hausdorff uzaklı˘gının ¨ozelli˘ginden ve Teorem 4.1.1, 4.2.1, 4.3.1, 4.4.1

’den

h_C Xp,µ0,X^H,Γ,Γ_p,µ₀ ^∗^,σ

≤ hC Xp,µ0,X^H_p,µ₀ + hC X^H_p,µ₀,X^H,Γ_p,µ₀

+ hC X^H,Γ_p,µ₀,X^H,Γ,Γ_p,µ₀ ^∗ + hC X^H,Γ,Γ_p,µ₀ ^∗,X^H,Γ,Γ_p,µ₀ ^∗^,σ

≤ L∗

H^p−1 + χ(∆) + ξ(∆∗) + ψ(σ, H)

oldu˘gu elde edilir. Burada Xp,µ0, X^H_p,µ₀, X^H,Γ_p,µ₀, X^H,Γ,Γ_p,µ₀ ^∗ ve X^H,Γ,Γ_p,µ₀ ^∗^,σk¨umeleri uygun olarak (1.2.6), (4.1.1), (4.2.1), (4.3.1) ve (4.4.4) ile tanımlıdır.

Teorem 4.5.1 ’den a¸sa˘gıdaki sonu¸c elde edilir.

Teorem 4.5.2 Keyfi ε > 0 i¸cin

h_C Xp,µ0,X^H,Γ,Γ_p,µ₀ ^∗^,σ < ε olacak bi¸cimde H > 0, ∆ > 0, ∆∗ >0, σ > 0 vardır.

Kanıt. Verilen ε sayısı i¸cin

H(ε) = 4L∗

_p−1¹

olsun. S¸imdi H > 0 sayısını

H > H(ε) = 4L∗

_p−1¹

(4.5.1) bi¸ciminde se¸cersek, (4.5.1) ’den

L∗

H^p−1 < ε

4 (4.5.2)

olur.

(2.2.8), (4.2.6) ve (4.2.7) ’den ϕ(∆) = 1

1 − L₀ω₀(∆) + λω1(∆) (θ − t0) + λM1∆

+ λω2(∆) (θ − t0)^p−1^p µ0+ λM2∆^p−1^p µ0

ζ(∆) = 2ω2(ϕ (∆)) µ0(θ − t0)^p−1^p + 2µ0M₂∆^p−1^p olmak ¨uzere

χ(∆) = ζ(∆) λ 1 − L0

· exp L(λ) − L0

1 − L0

oldu˘gunu biliyoruz. Burada L(λ) sayısı (1.2.5) ile tanımlıdır. Bu durumda ∆ → 0⁺ iken χ(∆) → 0 olur. O halde, verilen ε > 0 i¸cin ∆ < δ(ε) iken

χ(∆) < ε

4 (4.5.3)

olacak bi¸cimde δ(ε) > 0 vardır.

(4.3.3) ’ten

ξ(∆∗) = ∆∗

λM₂(θ − t₀) 1 − L0

· exp L(λ) − L0

1 − L0

(4.5.4) oldu˘gundan,

∆∗ < 1 − L0

4λM2(θ − t0) · exp L(λ) − L0

1 − L₀

· ε (4.5.5)

olarak se¸cilirse, (4.5.4) ve (4.5.5) ’ten

ξ(∆∗) < ε

4 (4.5.6)

olur.

(4.4.6) ’dan

ψ(σ, H) = σHλM₂(θ − t0) 1 − L0

· exp L(λ) − L0

1 − L0

(4.5.7) oldu˘gundan, H > 0 sayısı (4.5.2) e¸sitsizli˘gini sa˘glayacak bi¸cimde se¸cildikten sonra, σ sayısı

σ < 1 − L0

4HλM₂(θ − t₀) · exp L(λ) − L0

1 − L0

· ε (4.5.8)

bi¸ciminde se¸cilirse, (4.5.7) ve (4.5.8) ’den ψ(σ, H) < ε

4 (4.5.9)

oldu˘gu bulunur.

B¨oylece, Teorem 4.5.1, (4.5.2), (4.5.3), (4.5.6) ve (4.5.9) ’dan, H sayısı (4.5.1) e¸sitsizli˘gini, ∆ sayısı ∆ < δ(ε) e¸sitsizli˘gini, ∆∗ sayısı (4.5.5) e¸sitsizli˘gini, σ sayısı ise (4.5.8) e¸sitsizli˘gini (H sayısı (4.5.1) e¸sitsizli˘gini sa˘glayacak bi¸cimde se¸cildikten sonra) sa˘glayacak bi¸cimde se¸cilirse

hC Xp,µ0,X^H,Γ,Γ_p,µ₀ ^∗^,σ

≤ L∗

H^p−1 + χ(∆) + ξ(∆∗) + ψ(σ, H)

< ε 4 +ε

4 +ε 4+ ε

4 = ε oldu˘gu elde edilir.

Teorem 4.5.1 ve Teorem 4.5.2 ’den a¸sa˘gıdaki teoremler elde edilir.

Teorem 4.5.3 Keyfi t ∈ [t0, θ] i¸cin hn Xp,µ0(t), X^H,Γ,Γ_p,µ₀ ^∗^,σ(t) ≤ L∗

H^p−1 + χ(∆) + ξ(∆∗) + ψ(σ, H)

e¸sitsizli˘gi do˘grudur. Burada Xp,µ0(t) ve X^H,Γ,Γ_p,µ₀ ^∗^,σ(t) k¨umeleri (1.2.7) ve (4.4.5) ile tanımlıdır.

Teorem 4.5.4 Herhangi ε > 0 verildi˘ginde, keyfi t ∈ [t0, θ] i¸cin hn Xp,µ0(t), X^H,Γ,Γ_p,µ₀ ^∗^,σ(t) < ε

olacak bi¸cimde H > 0, ∆ > 0, ∆∗ >0, σ > 0 vardır.

5 TARTIS¸MA, SONUC¸ VE ¨ONER˙ILER

Davranı¸sı integral denklem ile verilen s¨ure¸cler, fizik ve mekani˘gin bir ¸cok prob-lemlerinde ortaya ¸cıkmaktadır. Bu s¨ure¸cler bazı durumlarda dı¸sarıdan yapılan etkilerle kontrol edilebilir olmaktadır. Sisteme verilen dı¸s etkiler farklı nitelikte olabilir. ¨Orne˘gin, sisteme verilen etki enerji veya finans kaynaklı oldu˘gunda, bu etkiler kullanıldık¸ca t¨ukenen kontrol etki olur. Bundan dolayı bu t¨ur kontrol etki-ler integral kısıtlı kontrol etkietki-ler olur. U¸can bir ara¸c yakıt t¨uketerek hareket eder ve bu aracın k¨utlesi yakıt t¨ukendi˘gi i¸cin de˘gi¸sken olur. B¨oyle bir aracın hareketi, kontrol fonksiyonu integral kısıtlı olan diferansiyel denklemle verilmektedir.

Tezde, davranı¸sı kontrol vekt¨or¨une g¨ore afin, durum vekt¨or¨une g¨ore ise do˘grusal olmayan Volterra t¨ur integral denklem ile verilen, kontrol fonksiyonları ise integral kısıtlı olan sistemin y¨or¨ungeler k¨umesinin ¨ozellikleri ve diskretle¸stirilmesi incelen-mektedir. Herhangi bir sistemin y¨or¨ungeler k¨umesinin farklı ¨ozelliklerini ¨onceden bulmak ve bu k¨umeni yakla¸sık hesaplamak, sistem hakkında bir¸cok ¨ong¨or¨ude bu-lunmaya yardımcı olur.

Yapılan ara¸stırmalarda, sistemin y¨or¨ungeler k¨umesinin sınırlılık, kapalılık ve kompaktlık gibi topolojik ¨ozellikler incelenmi¸s ve sonu¸cta y¨or¨ungeler k¨umesinin s¨urekli fonksiyonlar uzayında sınırlı, kapalı ve kompakt oldu˘gu g¨osterilmi¸s, y¨o-r¨ungeler k¨umesinin kesitlerinin Hausdorff metri˘ginde s¨urekli de˘gi¸sti˘gi kanıtlan-mı¸stır. Daha sonra, y¨or¨ungeler k¨umesinin sistemin parametrelerine ba˘glantısı ara¸stırılmı¸stır. Sistemin y¨or¨ungeler k¨umesinin, kontrol kayna˘gı kısıtlayan paramet-reye ve kontrol fonksiyonların se¸cildi˘gi Lp uzayının p parametresine ba˘glantısının s¨urekli oldu˘gu g¨osterilmi¸stir. Bu sonu¸c, pratikte verilen kontrol sistemlerin model-leme s¨urecinde sistemin ele alınan parametrelerinin ¨ol¸c¨um¨unde olu¸sabilecek k¨u¸c¨uk hataların, sistemin y¨or¨ungeler k¨umesini az etkileyece˘gini g¨ostermektedir. Ba¸ska deyi¸sle, kontrol sistemin y¨or¨ungeler k¨umesi, verilen sistem hakkında ¨onbilgiler elde etmek i¸cin kullanılan en ¨onemli yapılardan biri oldu˘gundan, modelleme sırasında sistemin parametrelerinin ¨ol¸c¨um¨unde olu¸san k¨u¸c¨uk hatalar, sistem hakkında elde edece˘gimiz ¨onbilgileri az etkiler.

Tezde, davranı¸sı kontrol vekt¨or¨une g¨ore afin, durum vekt¨or¨une g¨ore ise do˘grusal olmayan Volterra t¨ur integral denklem ile, yani afin Volterra t¨ur integral denklem verilen, kontrol fonksiyonları ise integral kısıtlı olan sistemin y¨or¨ungeler k¨umesinin diskretle¸stirilmesi y¨ontemi verilmi¸stir. Y¨or¨ungeler k¨umesi ile sonlu sayıda y¨or¨ un-geden olu¸san bir k¨ume arasındaki Hausdorff uzaklı˘gının yeterince k¨u¸c¨uk yapılabi-lirli˘gi kanıtlanmı¸stır. Bu sonu¸c, y¨or¨ungeler k¨umesini yakla¸sık olarak hesaplamayı

m¨umk¨un kılmaktadır. Y¨or¨ungeler k¨umesinin yakla¸sık olarak hesaplanması, sis-teme belli bir optimallik ¨ozelli˘gini sa˘glayan y¨or¨ungenin daha ¨onceden bulunmasına imkan sa˘glamaktadır.

Tezde elde edilmi¸s sonu¸clar, matematiksel modellemenin ¸ce¸sitli problemlerinin

¸c¨oz¨umlerinde kullanılabilir.

KAYNAKLAR

[1] Aubin, J.P. ve Frankowska H., Set Valued Analysis, Birkh¨auser, Boston, 1990.

[2] Hu, Sh. ve Papageorgiou, N.S., Handbook of Multivalued Analysis. Vol.1.

Theory, Kluwer, Dordrecht, 1997.

[3] Clarke, F.H., Ledyaev Yu.S., Stern, R.J. ve Wolenski, P.R., Nonsmooth Ana-lysis and Control Theory, Springer, New York, 1998.

[4] Blagodatskikh, V.I. ve Filippov, A.F., ”Differential inclusions and optimal control,” Proc. of the Steklov Inst. of Math., 169. 199-256, 1986.

[5] Deimling, K., Multivalued Differential Equations, D.Gruyter, Berlin, 1992.

[6] Krasovskii, N.N., Theory of Control of Motion: Linear Systems, Nauka, Moscow, 1968. (In Russian)

[7] Krasovskii, N.N. ve Subbotin, A.I., Game-Theoretical Control Problems, Springer, New Yorki 1988.

[8] Soltanov, K.N., Some Applications of Nonlinear Analysis to Differential Equa-tions, Elm, Baku, 2002.

[9] Subbotin, A.I., Minimax Inequalities and Hamilton-Jacobi Equations, Nauka, Moscow, 1991.

[10] Warga, J., Optimal Control of Differential and Functional Equations, Aca-demic Press, New York, 1972.

[11] Pontryagin, L.S., Boltyanskii, V.G., Gamkrelidze, R.V. ve Mishenko, E.F., The Mathematical Theory of Optimal Processes, Interscience Publishers John Wiley and Sons, New York-London, 1962.

[12] Kalman, R.E., Ho, Y.C. ve Narendra, K.S., ”Controllability of linear dyna-mical systems,” Contributions to Differential Equations, 1, 189-213, 1963.

[13] Appell, J., Kalitvin, A.S. ve Zabreiko, P.P., ”Boundary value problems for integro-differential equations of Barbashin type,” J. Integr. Equ. Appl., 6, 1-30, 1994.

[14] Banas, J. ve Chlebowicz, A., ”On integrable solutions of a nonlinear Volterra integral equation under Carath´eodory conditions,” Bull. Lond. Math. Soc., 41, 1073-1084, 2009.

[15] Brauer, F., ”On a nonlinear integral equation for population growth prob-lems,” SIAM J. Math. Anal., 6, 312-317, 1975.

[16] Burton, T.A., ”Six integral equations and a flexible Lyapunov functional,”

Proc. Inst. Math. Mech. Ural Branch of Russian Acad. Sci., 16, No.5, 241-252, 2010.

[17] El-Abd, E.M., ”On the existence of solutions for nonlinear functional integral equation,” Filomat, 24, 17-23, 2010.

[18] Gohberg, I.G. ve Krein, M.G., Theory and Applications of Volterra Operators in Hilbert Space, Amer. Math. Soc., Providence, 1970.

[19] Guseinov, A.I. ve Mukhtarov, Sh.I., Singular Integral Equations, Nauka, Moscow, 1980.

[20] Hammerstein, A.,” Nichtlineare integralgleichungen nebst anwendungen,”

Acta Mathematica, 54, 1929.

[21] Krasnoselskii, M.A. ve Krein S.G., ” On the principle of avaraging in nonlinear mechanics,” Uspekhi Mat. Nauk, 10, 147-153, 1955. (in Russian)

[22] Krasnov, M.L., Integral Equations, Nauka, Moscow, 1975. (In Russian) [23] Lyapunov, A.M., ”Sur les figures d’equilibre peu differentes des ellipoides

d’une masse liquide homogene douee d’un mouvement de rotation, Premiere partle. Etude generale du probleme,” Zapiski Akademii Nauk, St.Petersburg, 1-25, 1925.

[24] Miller, R.K., Nonlinear Volterra Integral Equations, W. A. Benjamin, Menlo Park, California, 1971.

[25] Nemytskiy, V.V., Sur les Equations Integrates Non-Lineaires, C.R. Acad. Sci., 196, 1933.

[26] Petrovskii, I.G., Lectures on the Theory of Integral Equations, Moskow. Gos.

Univ., Moscow, 1984.

[27] Pluciennik, R. ve Szufia, S., ”Nonlinear Volterra integral equations in Orlicz spaces,” Demonstratio Math, 17, 515-532, 1984.

[28] Polyanin, A.D. ve Manzhurov, A.V., Handbook of Integral Equation, CRC Press, 1998.

[29] Precub, R., Methods in Nonlinear Integral Equations, Kluwer, Dordrecht, 2002.

[30] Soltanov, K.N., ”Remarks on separation of convex sets, fixed-point theorem, and applications in theory of linear operators,” Fixed Point Theory Appl., Art. ID 80987, 14 pp, 2007.

[31] Soltanov, K.N., ”Perturbation of the mapping and solvability theorems in Banach space,” Nonlinear Anal., 72, 164-175, 2010.

[32] Tricomi, F., Integral Equations, Dover Publications, New York, 1985.

[33] Urysohn, P.S., ”Ob odnom tipe nelineynikh integralnikh uravneniy,” Matem.

sbornik, 31, 1936. (In Russian)

[34] V¨ath, M., Volterra and Integral Equations of Vector Functions, M. Deccer.

Inc., New York, 2000.

[35] Heisenberg, W., Physics and Philosophy. The Revolution in Modern Science, Harper and Row, New York, 1958.

[36] Aubin, J-P. ve Cellina, A., Differential Inclusions. Set Valued Maps and Via-bility Theory, Springer-Verlag, Berlin, 1984.

[37] Filippov, A.F., Differential Equations with Discontinuous Right-Hand Sides, Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1998.

[38] Kurzhanskii, A.B., ”Differential equations in control synthesis problems: I.

Ordinary systems,” Differential Equations, 41, 10-21, 2005.

[39] Roxin, E., ”The existence of optimal controls,” Michigan Math. J., 9, 109-119, 1962.

[40] Markus, L. ve Lee, E.B., ”On the existence of optimal controls,” Trans. ASME Ser. D. J. Basic Engrg., 84, 13-22, 1962.

[41] Panasyuk, A.I., ”Equations of attainable set dynamics, part 1: integral funnel equations,” J. Optimiz. Theory Appl., 64, 349-366, 1990.

[42] Leigh, J.R., Functional Analysis and Linear Control Theory, Academic Press, London, 1980.

[43] Beletskii, V.V., Studies of Motions of Celestial Bodies, Nauka, Moscow, 1972.

(In Russian)

[44] Conti, R., Problemi di Controllo e di Controllo Ottimale, UTET, Torino, 1974.

[45] Formalskii, A.M., Controllability and Stability of Systems with Limited Re-sources. Theoretical Foundations of Engineering Cybernetics Series, Nauka, Moscow, 1974.

[46] Lawden, D.F., Optimal Trajectories for Space Navigation, Butterworth, Lon-don, 1963.

[47] Ukhobotov, V.I., One Dimensional Projection Method in Linear Differen-tial Games with Integral Constraints, Chelyabinsk State University press, Chelyabinsk, 2005. (In Russian)

[48] Guseinov, Kh.G., Moiseyev, A.N. ve Ushakov, V.N., ”On the approximation of reachable domains of control systems,” J. Appl. Math. Mech., 62, 169-175, 1998.

[49] Kurzhanskii, A.B. ve Valyi, L., Ellipsoidal Calculus for Estimation and Con-trol, Birkhauser, Boston, 1996.

[50] Zhu, Q.J., Zhang, N. ve He, Y., ”Algorithm for determining the reachability set of a linear control system,” J. Optim. Theory Appl., 72, 333-354, 1992.

[51] Akyar, E., ”Dependence on initial conditions of attainable sets of control systems with p-integrable controls,” Nonlinear Anal. Model. Control, 12, 293-306, 2007.

[52] Chentsov, A.G., Asymptotic Attainability, Kluwer, Dordrecht, 1997.

[53] Chentsov A.G., ”Asymptotic attainability with perturbation of integral con-straints in the abstract control problem. I,” Russian Math. (Iz. VUZ), 39.

P.57-68, 1995.

[54] Gozzi, F. ve Loretti, P., ”Regularity of the minimum time function and mini-mum energy problems: the linear case,” SIAM J. Control Optim., 37, 1195-1221, 1999.

[55] Guseinov, Kh.G., Ozer, O. ve Akyar, E., ”On the continuity properties of the attainable sets of control systems with integral constraints on control,”

Nonlinear Anal. Ser. A: Theory, Meth., Appl., 56 433-449, 2004.

[56] Guseinov, Kh.G. ve Nazlipinar, A.S., ”On the continuity property of Lp balls and an application,” J. Math. Anal. Appl., 335, 1347-1359, 2007.

[57] Lou, H.W., ”On the attainable sets of control systems with p-integrable con-trols,” J. Optim. Theory Appl., 123, 123-147, 2004.

[58] Motta, M. ve Sartori, C., ”Minimum time with bounded energy, minimum energy with bounded time,” SIAM J. Control Optim., 42. 789-809, 2003.

[59] Polyak, B.T., ”Convexity of the reachable set of nonlinear systems under L2

bounded controls,” Institut Mittag-Leffler. Report no. 02.2002/2003, spring, 2003.

[60] Solomatin, A.M., ”A game theoretic approach-evasion problem for a linear system with integral constraints imposed on the player control,” J. Appl.

Math. Mech., 48, 401-405, 1984.

[61] Soravia, P., ”Viscosity solutions and optimal control problems with integral constraints,” Systems Control Lett., 40, 325-335, 2000.

[62] Subbotin, A.I. ve Ushakov, V.N., ”Alternative for an encounter-evasion differ-ential game with integral constraints on the players controls,” J. Appl. Math.

Mech., 39, 367-375, 1975.

[63] Ushakov, V.N., ”Extremal strategies in differential games with integral con-straints,” J. Appl. Math. Mech., 36, 12-19, 1972.

[64] Zavalishchin, S.T. ve Sesekin, A.N., Dynamic Impulse Systems. Theory and Applications, Kluwer, Dordrecht, 1997.

[65] Guseinov, Kh.G., Neznakhin, A.A. ve Ushakov, V.N., ”Approximate con-struction of reachable sets of control systems with integral constraints on the controls,” J. Appl. Math. Mech., 63, 557-567, 1999.

[66] Guseinov, Kh.G., Ozer, O., Akyar, E. ve Ushakov, V.N., ”The approximation of reachable sets of control systems with integral constraint on controls,”

Nonlinear Different. Equat. Appl. (NoDEA), 14, 57-73, 2007.

[67] Sirotin, A.N. ve Formalskii, A.M., ”Reachability and Controllability of Discrete-Time Systems under Control Actions Bounded in Magnitude and Norm,” Autom. Rem. Contr., 64, 1844-1857, 2003.

[68] Huseyin, N. ve Huseyin, A., ”Compactness of the set of trajectories of the

Belgede DENKLEM İLE VERİLEN KONTROL. Doktora Tezi. Matematik Anabilim Dalı (sayfa 54-0)