Tanım 1.2.3. Bir topolojik grup, temelini olu¸sturan G k¨umesi bir topolojiye sahip
ve + : G × G → G, (x, y) 7→ x + y toplam, u : G → G, x 7→ −x ters d¨on¨u¸s¨umleri s¨urekli olan bir G grubudur [31].
¨
Onerme 1.2.8. G bir topolojik gruptur ⇔ G×G → G, (x, y) 7→ x−y fark d¨on¨u¸s¨um¨u
s¨ureklidir [31].
Di˘ger bir ifadeyle, bir G grubu (aynı zamanda topolojik uzayı) verildi˘ginde G’ nin topolojik grup oldu˘gunu g¨ostermek i¸cin G × G → G, (x, y) 7→ x − y fark d¨on¨u¸s¨um¨un¨un s¨urekli oldu˘gunu g¨ostermek yeterli olacaktır.
E˘ger topolojik uzay olarak G diskret uzay ise, G grubuna diskret topolojik grup denir. E˘ger G bir topolojik grup ve H da G’ nin bir altgrubu ise H grubu da G’ den indirgenmi¸s altuzay topolojisi ile bir topolojik gruptur. [31].
¨
Ornekler 1.2.1. 1. R reel sayılar k¨umesi alı¸sılmı¸s topoloji ve toplama i¸slemiyle bir
topolojik gruptur.
2. R∗ = R − {0}, alı¸sılmı¸s topoloji ve ¸carpma i¸slemi ile bir topolojik gruptur.
3. Herhangi bir G grubu diskret topoloji ile bir topolojik gruptur [31].
Bir G topolojik grubundan bir H topolojik grubuna f grup morfizmi i¸cin e˘ger f ,
G ve H’ nın temelini olu¸sturan topolojik uzaylar ¨uzerinde s¨urekli ise f ’ ye topolojik grup morfizmi denir [31].
Bir G topolojik grubunun N altgrubu i¸cin, e˘ger N grup olarak normal altgrup ise N’ ye topolojik normal altgruptur denir [31].
Yol ba˘glantılı, basit ba˘glantılı, lokal basit ba˘glantılı ve lokal yol ba˘glantılı topolojik gruplar a¸sa˘gıdaki gibi tanımlanır.
G bir topolojik grup olmak ¨uzere; e˘ger G topolojik uzay olarak yol ba˘glantılı ise G’ ye yol ba˘glantılıdır, e˘ger G’ nin temelini olu¸sturan topolojik uzayın esas grubu
sadece birim elemandan olu¸suyorsa G’ ye basit ba˘glantılıdır, e˘ger her bir x ∈ G ve x’ in U kom¸sulu˘gu i¸cin u¸c noktaları x’ de olan ve V tarafından i¸cerilen her bir kapalı yol U’ da 0’ a homotopik olacak ¸sekilde x’ in bir V ⊆ U kom¸sulu˘gu var ise G’ ye
lokal basit ba˘glantılıdır, e˘ger x noktası ve x’ in bir U kom¸sulu˘gu i¸cin, her bir y ∈ V , U’ daki bir yol ile x’ e birle¸stirilebilecek ¸sekilde x’ in bir V ⊆ U kom¸sulu˘gu var ise G’ ye lokal yol ba˘glantılıdır denir [31].
Teorem 1.2.1. G bir topolojik grup ve a ∈ G olmak ¨uzere a¸sa˘gıdaki morfizmlerin
her biri homeomorfizmdir [31].
1. f : G → G, x 7→ a + x sol ¨oteleme d¨on¨u¸s¨um¨u, 2. f : G → G, x 7→ x + a sa˘g ¨oteleme d¨on¨u¸s¨um¨u, 3. f : G → G, x 7→ −x ters d¨on¨u¸s¨um¨u.
¨
Onerme 1.2.9. G ve H topolojik gruplar ve f : G → H grupların bir morfizmi
olsun. Bu takdirde,
1. f a¸cıktır gerek ve yeter ¸sart G’ deki e biriminin her W kom¸sulu˘gu i¸cin f (W ) da H’ da a¸cıktır.
2. f s¨ureklidir gerek ve yeter ¸sart f , e biriminde s¨ureklidir [31].
Tanım 1.2.4. N (x), x noktasının kom¸suluklar ailesi olsun. G topolojik grup olmak
¨uzere kom¸suluklar t¨ur¨unden s¨ureklilik a¸sa˘gıdaki gibi tanımlıdır [31].
1. G × G → G, (x, y) 7→ x + y d¨on¨u¸s¨um¨u s¨ureklidir ⇔ her x, y ∈ G ve her W ∈ N (x + y) i¸cin U + V ⊆ W olacak ¸sekilde en az bir U ∈ N (x) ve en az bir V ∈ N (y) kom¸sulukları vardır.
2. G → G, x 7→ −x d¨on¨u¸s¨um¨u s¨ureklidir ⇔ her x ∈ G ve her W ∈ N (−x) i¸cin −U ⊆ W olacak ¸sekilde en az bir U ∈ N (x) kom¸sulu˘gu vardır.
3. G × G → G, (x, y) 7→ x − y d¨on¨u¸s¨um¨u s¨ureklidir ⇔ her x, y ∈ G ve her W ∈ N (x − y) i¸cin U − V ⊆ W olacak ¸sekilde en az bir U ∈ N (x) ve en az bir V ∈ N (y) kom¸sulukları vardır.
Teorem 1.2.2. G bir topolojik grup olsun. Bu takdirde,
1. a ∈ G, F ⊆ G kapalı bir k¨ume, U ⊆ G a¸cık bir k¨ume, C ⊆ G herhangi bir k¨ume olmak ¨uzere a + F, F + a, −F kapalı k¨umeler ve U + C, C + U, −U a¸cık k¨umelerdir.
2. A ve B kompakt altk¨umeler ise A + B kompakttır. A kapalı ve B kompakt ise A + B ve B + A kapalı k¨umelerdir. A ve B k¨umelerinin her ikisi de kapalı iken A + B ve B + A k¨umeleri kapalı olmak zorunda de˘gildir [31].
Teorem 1.2.3. G bir topolojik grup, Ue de e birim elemanının kom¸suluklar tabanı
olsun.
i) Her U ∈ Ue i¸cin, V + V = V2 ⊂ U olacak ¸sekilde en az bir V ∈ Ue vardır,
ii) her U ∈ Ue i¸cin, −V ⊂ U olacak ¸sekilde en az bir V ∈ Ue vardır,
iii) her U ∈ Ue ve x ∈ U i¸cin, V + x ⊂ U olacak ¸sekilde en az bir V ∈ Ue vardır,
iv) her U ∈ Ue ve x ∈ G i¸cin, x + V − x ⊂ U olacak ¸sekilde en az bir V ∈ Ue vardır,
v) her U, V ∈ Ue i¸cin, W ⊂ U ∩ V olacak ¸sekilde en az bir W ∈ Ue vardır,
¸sartları sa˘glanıyorsa {U +x | x ∈ G, U ∈ Ue} ve {x+U | x ∈ G, U ∈ Ue} ailelerinin
her biri G’ nin topolojisi i¸cin birer taban olu¸sturur [31].
Teorem 1.2.4. G bir cebirsel grup ve Ue de G’ nin altk¨umelerinin Teorem 1.2.3’ de
verilen ¸sartları sa˘glayan sonlu arakesit ¨ozelli˘gine sahip bir ailesi olsun. Bu takdirde G ¨uzerinde, G’ yi topolojik grup yapan bir tek topoloji tanımlanabilir. Burada Ue
ailesi, bu topolojik gruptaki birim elemanın a¸cık kom¸suluklar tabanıdır [31].
Tanım 1.2.5. G bir topolojik grup, X bir topolojik uzay olsun. G’ nin X ¨uzerine
bir sol etkisi, a¸sa˘gıdaki ¸sartları sa˘glayan bir G × X → X, (g, x) 7→ g · x s¨urekli d¨on¨u¸s¨um¨ud¨ur.
i) ∀x ∈ X, ∀g1, g2 ∈ G i¸cin g1· (g2· x) = (g1g2) · x
Benzer olarak bir sa˘g etki (x · g1) · g2 = x · (g1g2) ve x · e = x olacak ¸sekilde s¨urekli
bir X × G → X, (x, g) 7→ x · g d¨on¨u¸s¨um¨ud¨ur. Her sa˘g etki, g · x = x · g−1 oldu˘gunu
dikkate alırsak bir sol etki belirler.
Etki tanımından her bir g ∈ G i¸cin x 7→ g · x d¨on¨u¸s¨um¨un¨un X’ den X’ e s¨urekli bir d¨on¨u¸s¨um olaca˘gı a¸cıktır. C¸ ¨unk¨u bu d¨on¨u¸s¨um, etkinin {g} × X ⊂ G × X altuzayına kısıtlamasıdır. Bu ¸sekildeki her d¨on¨u¸s¨um bir homeomorfizmdir, ¸c¨unk¨u grup etkisinin tanımı onun bir s¨urekli x 7→ g−1 · x tersine sahip olmasını garanti
eder.
Herhangi x ∈ X i¸cin G · x = {g · x | g ∈ G} k¨umesine x’ in y¨or¨ungesi denir. E˘ger her x, y ∈ X nokta ¸cifti i¸cin g · x = y olacak ¸sekilde bir g ∈ G varsa, ya da denk olarak tek y¨or¨unge X uzayının kendisi ise etkiye ge¸ci¸slidir (transitive) denir. E˘ger
G’ nin noktaları sabit bırakan tek elemanı birim eleman ise, yani sadece g = e i¸cin g · x = x oluyorsa etkiye serbest (free)’ tir denir [6, 7].
¨
Ornek 1.2.1. Herhangi bir G topolojik grubu, g · g0 = Lg(g 0
) = gg0 sol d¨on¨u¸s¨um aracılı˘gıyla kendisi ¨uzerine soldan serbest olarak ve ge¸ci¸sli olarak etki eder. Benzer ¸sekilde sa˘g d¨on¨u¸s¨um aracılı˘gıyla kendisi ¨uzerine sa˘gdan etki eder [6, 7, 31].
G’ nin bir X uzayı ¨uzerine bir etkisi verilsin. X ¨uzerinde bir denklik ba˘gıntısını
¸su ¸sekilde tanımlayalım: x1 ∼ x2 ⇔ en az bir g ∈ G var ¨oyle ki g · x1 = x2. Denklik
sınıfları tam olarak grup etkisinin y¨or¨ungeleridir. Kar¸sılık gelen b¨ol¨um uzayı X/G ile g¨osterilir ve ona etkinin y¨or¨unge uzayı denir. E˘ger etki ge¸ci¸sli ise y¨or¨unge uzayı bir tekil noktadır [6, 7].
¨
Onemli bir ¨ozel durum, bir G topolojik grubunun (altuzay topolojisi ile) bir Γ altgrubunu d¨u¸s¨und¨u˘g¨um¨uzde ortaya ¸cıkar. Sol veya sa˘gdan grup ¸carpımı, Γ’ nın G ¨uzerinde bir sol veya sa˘g etkisini tanımlar. Bu etki tam olarak G’ nin kendisi ¨uzerine etkisinin Γ × G ya da G × Γ’ ya kısıtlamasıdır. Bu etki s¨ureklidir ve serbesttir, fakat genellikle ge¸ci¸sli de˘gildir. Γ’ nın G ¨uzerine sa˘g etkisinin bir y¨or¨ungesi {gγ | γ ∈ Γ} ¸seklindeki bir k¨umedir ve ona gΓ sol yan k¨umesi (coset) denir. B¨oylece Γ’ nın
G ¨uzerine sa˘g etkisinin y¨or¨unge uzayı, b¨ol¨um topolojisi ile sol yan k¨umelerin G/Γ
k¨umesidir. Bu b¨ol¨um uzayına Γ aracılı˘gıyla G’ nin (sol) yan k¨ume uzayı denir [6, 7, 31].
E˘ger Γ, G topolojik grubunun bir normal altgrubu ise G/Γ yan k¨ume uzayı da bir topolojik gruptur [31].
X bir topolojik uzay olmak ¨uzere e˘ger her x, y ∈ X i¸cin x’ i y’ ye g¨ot¨uren bir ϕ : X → X homeomorfizmi varsa X’ e homojendir denir. Ayrıca belirtelim ki her
yan k¨ume uzayı homojendir [7].
G, X topolojik uzayı ¨uzerine s¨urekli olarak etki eden bir topolojik grup olsun.
Bu takdirde π : X → X/G b¨ol¨um d¨on¨u¸s¨um¨u a¸cıktır. Ayrıca X/G Hausdorff’ tur
⇔ {(x1, x2) ∈ X × X | x2 = g · x1, g ∈ G} y¨or¨unge ba˘gıntısı X × X’ de kapalıdır
[6, 7, 31].
S¸imdi ayrı bir b¨ol¨um olu¸sturmaksızın topolojik halka kavramını verelim.
Tanım 1.2.6. Bir R topolojik halkası, temelini olu¸sturan k¨ume topolojiye sahip ve
m : R × R → R, (x, y) 7→ x + y grup i¸slemi, n : R × R → R, (x, y) 7→ xy halka i¸slemi, u : R → R, x 7→ −x ters d¨on¨u¸s¨um¨u s¨urekli olan bir R halkasıdır [9].
H’ dan R’ ye topolojik halkaların bir morfizmi, H ve R’ nin temelini olu¸sturan
halkaların s¨urekli bir p : H → R halka morfizmidir.