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IEZZI, G.; DOLCE, O.; MACHADO, A. Matemática e realidade. 6º ao 9º Ano do Ensino Fundamental. 6. ed. São Paulo: Atual, 2009.

A coleção foi publicada pela editora Atual em 2009, em 6º edição, tendo como autores Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce e Antônio Machado. A obra foi aprovada e teve sua avaliação divulgada no guia do PNLD referente ao ano de 2011. O guia do PNLD de 2011 observa que há espaço destinado para o aluno demonstrar resultados, mas poucas oportunidades de conjecturar.

Os livros contêm as seções ―Matemática em notícia‖, ―Desafios‖, ―Teste seu conhecimento‖. Os conteúdos abordados são seguidos por alguns exemplos. Em seguida, encontram-se os exercícios de aplicação e fixação dos conteúdos matemáticos estudados. Há também a seção ―Matemática no tempo‖, que aborda temas da história da matemática. Uma característica dos livros é a presença, em praticamente todos os capítulos, de desafios relacionados aos temas estudados.

Na tabela abaixo, organizamos as informações referentes ao espaço que tem a seção de geometria nos livros didáticos e as demonstrações dentro desta seção:

Tabela 8- Informações quanto à coleção ―Matemática e realidade‖

Volume Número de páginas do

livro Número de páginas destinadas à geometria Demonstrações na exposição do conteúdo de geometria Demonstrações em exercícios propostos na seção de geometria 6º ano 04 53 0 0 7º ano 71 42 5 0 8º ano 52 138 33 21 9º ano 35 127 26 4

Na coleção ―Matemática e realidade‖, as demonstrações escolares ocupam 18%

do total de páginas destinada à geometria. Os tipos de demonstração mencionados para a coleção ―Projeto Araribá‖ também estão presentes nesta coleção.

Na tabela a seguir, organizamos de acordo com cada volume da coleção os tipos de demonstrações escolares obtidos e sua frequência nos livros didáticos para cada nível:

Tabela 9 - Informações quanto aos tipos de demonstração escolar na coleção ―Matemática e realidade‖

Nível de

ensino casos particulares Experimentos e

Procedimentos lógico- dedutivos com caráter de

exploração Demonstrações formais Explicações e justificações de propriedades 6º ano 0 0 0 0 7º ano 4 1 0 0 8º ano 3 30 0 0 9º ano 0 22 2 2

Observamos que, nos livros didáticos dos 6º e 7º anos, os autores procuraram

fazer uma abordagem mais intuitiva, experimental e concreta, enquanto nos 8º e 9º anos há um avanço nas abstrações, no simbolismo e no encadeamento lógico, não deixando de lado as bases concretas. Para exemplificar, nas figuras 29 e 30 apresentamos a forma como é tratado o cálculo da área do trapézio nos volumes do 7º e 9º ano.

Com as figuras 29 e 30, mostramos como os autores determinam a fórmula para cálculo da área de trapézios. No primeiro caso, o autor faz uso de um caso particular de um trapézio com as seguintes medidas: 6 cm (base maior), 4 cm (base menor) e 3cm (altura).

Em seguida, esse trapézio é dividido em dois triângulos cujas áreas somadas equivalem à área do trapézio. A partir dessa constatação e da organização dos dados do problema, deduz-se a

fórmula para cálculo dessa figura. Com a figura 30, o mesmo procedimento é realizado, entretanto, ao invés de haver uma medida da base maior, menor e altura determinada, o que se tem é o uso de símbolos para representar essas medidas.

Figura 29 – Área do trapézio

Figura 30 - Área do Trapézio

Fonte - (MATEMÁTICA E REALIDADE, 9º ano, 2009, p. 203).

No livro didático do 6º anoa seção de geometria se inicia com uma pequena introdução histórica. Por meio de ilustrações de objetos reais, os autores buscam apresentar

conceitos geométricos abstratos como ponto, reta e plano. São apresentadas também outras figuras geométricas, bem como o cálculo de áreas. No livro do 7º ano, continua-se a apresentar

conceitos geométricos, relacionando-os a objetos reais. É no volume do 8º ano que se concentra a maior parte dos conceitos de geometria. Há para este nível e para o 9º ano o aprofundamento dos conceitos estudados nas séries passadas; é desenvolve-se conceitos geométricos; articula-se álgebra e geometria; e trabalha-se com construções geométricas. Observamos que há a articulação entre procedimentos intuitivos e dedutivos.

As nossas percepções quanto às duas primeiras obras se repetem para esta. Nas duas primeiras séries são poucos os momentos em que há demonstrações escolares. No livro didático do 6º ano não há demonstrações. Já no livro didático do 7º ano, das poucas demonstrações presentes na seção de geometria, praticamente todas são feitas por meio de

últimos volumes. E da mesma forma como nas demais obras o procedimento mais mobilizado é o lógico-dedutivo. No caso dos volumes dos 8º e 9º anos, as demonstrações escolares fazem

parte e são importantes para o desenvolvimento dos conteúdos.

No que se refere aos dois últimos níveis do ensino fundamental vemos, assim como nas coleções anteriores, um considerável uso de procedimentos lógico-dedutivos, sendo 83% do total de procedimentos obtidos.

Da mesma forma como nas duas últimas coleções descritas, o tipo de demonstração que visa explicar e justificar a validade de determinado resultados e que, ao nosso ver, contribuem para a prática da argumentação e para a compreensão dos conceitos matemáticos, é o menos utilizado, aparecendo em conteúdos específicos: ―soma dos ângulos internos de um polígono‖ e ―número de diagonais de um polígono convexo‖.

Quanto aos exercícios, observamos que são poucos os que podemos considerar

como mobilizadores de demonstração (tabela 9). Nos volumes dos 6º e 7º anos não encontramos nenhum exercício. Nos volumes do 8º ano e 9º ano, obtemos, respectivamente 21

e 4. Encontramos os seguintes tipos de exercícios: (1) demonstrações lógico-dedutivas; (2) justificativas de afirmativas; (3) tarefas para indicar a verdade ou falsidade de afirmativas; e (4) o uso de experimento ou tabelas para levantar conjecturas e após deve-se justificá-las.

Veja na tabela a seguir os tipos de exercícios de acordo com o nível de escolaridade:

Tabela 10 - Informações quanto aos exercícios e desafios

Nível de ensino Tipos de exercícios e desafios obtidos em cada nível

6º ano -

7º ano -

8º ano (1), (2) e (3)

9º ano (1) e (4)

A maior parte dos exercícios que exigiam algum tipo de justificativa estava presente no volume do 8º ano, em que encontramos um número considerável de exercícios do tipo ―prove‖, ―demonstre‖ ou ―mostre‖.

Não há tarefas que fazem uso da observação de padrões para estimular a conjecturação e a justificação de percepções. Podemos afirmar, assim como para a coleção anterior, que este não é um ponto a que é dada importância na seção de geometria da coleção.

O guia do PNLD indica que há poucas atividades experimentais, o que também constatamos. Além disso, apesar de haver atividades para se demonstrar raramente ao estudante é dado a oportunidade de conjecturar.

Quanto à formalização dos conceitos, os autores trazem esclarecimentos quanto a suas posições assumidas na escrita da coleção. Há um texto no manual do professor esclarecendo a opção dos autores contra a formalização, argumentando que apresentar a geometria em termos de enunciado, hipótese, tese e demonstração pode trazer dificuldades à aprendizagem. Da seguinte forma os autores apresentaram as suas opções:

Quanto à formalização da Geometria, definir conceitos e colocar as proposições em termos de enunciado, hipótese, tese e demonstração – como se fazia no passado – continuaria trazendo as dificuldades já conhecidas à aprendizagem. Isso porque esse método desrespeita as etapas básicas em que o indivíduo incorpora significativamente novos conhecimentos.

Não podemos subestimar o fato de que a Geometria é a parte da Matemática Elementar que mais se presta à exemplificação do que é uma estrutura lógico- formal. Entretanto, somos da opinião que, numa primeira etapa, o estudante deve ter contato com os ―fatos‖ geométricos e suas justificativas lógicas para depois, ter acesso à formalização.

De acordo com essa concepção, optamos por apresentar gradualmente os conceitos e as proposições, reduzindo-os ao número mínimo necessário. Optamos também por usar a intuição do aluno antes de dar novos conceitos e por argumentar com lógica antes de enunciar uma nova proposição. Cabe ao professor decidir se isso é suficiente (IEZZI; DOLCE; MACHADO, 2009, p. 9).

Mesmo argumentando em favor da não formalização da geometria, vemos no

decorrer do livro do 8º ano um excesso de simbolismo matemático e grande parte dos procedimentos de validação são rigorosos e com alto grau de abstração, mesmo que os autores utilizem raramente a palavra demonstração. Observamos no livro didático de todos os níveis que a formalização no sentido em que os autores usam (definir conceitos e colocar as proposições em termos de enunciado, hipótese, tese e demonstração) realmente não está presente em seu conteúdo. No entanto, nos livros didáticos dos 8º e 9º anos, mesmo que não se faça uso de tais termos, há significativo uso do método dedutivo. Essa afirmativa pode ser justificada pelo número de demonstrações lógico-dedutivas que listamos acima.

Assim como na coleção anterior, no 6º ano já se traz a história da matemática destacando o desenvolvimento da geometria. Citam-se os povos (chineses, assírios, babilônios e gregos) que deram grandes contribuições para a geometria, mas se destaca a participação dos gregos, bem como o papel de Euclides:

O pensador grego que mais se destacou em Geometria foi Euclides (século III A. C.). Ele reuniu as descobertas já feitas, complementou-as e as organizou de forma sistemática em uma obra chamada Os elementos, escrita em 12 volumes. (...) A importância do trabalho de Euclides para a Geometria foi tanta que os conhecimento reunidos em Os elementos – somados aos que derivaram – passaram a ser conhecidos como Geometria euclidiana (IEZZI,; DOLCE; MACHADO, 2009, p. 85).

Há no livro didático do 8º ano, na seção ―Matemática no tempo‖, um texto

primitivo, em que mesmo ―notável a geometria‖ não se apoiava em nenhuma base científica. Comenta-se que os egípcios estabeleceram relações geométricas, por meio de um método indutivo rudimentar, que se baseava na observação e na experimentação. Após, passa-se a falar dos gregos, que inauguraram o padrão da geometria moderna. Nesse padrão, ―a certeza de um resultado geométrico deriva de uma justificativa baseada em raciocínios lógicos consistentes, e não em um processo experimental indutivo‖ (IEZZI; DOLCE; MACHADO, 2009, p. 143). O método dedutivo é citado como o que fundamenta toda a matemática, sendo que nesse contexto os autores citam os feitos de Euclides na obra Os Elementos.

3.1.2. As coleções de livros didáticos do ensino médio