Thomas-Fermi yaklaşımı ilk olarak çok elektronlu atomlarda elektron yoğunluğunu elde edebilmek için Thomas ve Fermi tarafından ortaya atılan bir yöntemdir (Thomas 1927; Fermi 1928). Kullanım alanları çok elektronlu atomlarla başlamış, Katıhal Fiziğinde çok geniş bir uygulama alanı bulmuştur. Thomas-Fermi yaklaşımı, özellikle elektron dalga fonksiyonunun çok gerekli olmadığı yüksek sayıda elektron içeren sistemlerde, doğrudan elektron yoğunluğunu veren hızlı işleyen bir yöntem olarak uzun yıllardan beri kullanılmaktadır. Örneğin hareketli elektronların dalga boyu, belirgin potansiyel değişiminin görüldüğü uzaklık yanında ihmal edilebilecek ölçüde küçük kaldığında çok iyi sonuçlar vermektedir. Bu nedenle Thomas-Fermi yaklaşımı KUHO da çokça kullanılır hale gelmiştir (Lier ve Gerhardts 1994; Oh ve Gerhardts 1997; Güven ve Gerhardts 2003; Siddiki ve Gerhardts 2003).
Thomas Fermi yaklaşımında elektron yoğunluğu yani elektronların dağılımı
𝑛𝑛𝑒𝑒𝑒𝑒(𝐻𝐻⃗) = � 𝑑𝑑𝐸𝐸 𝐷𝐷(𝐸𝐸) 𝑓𝑓([𝐸𝐸 + 𝑉𝑉(𝐻𝐻⃗) − 𝜇𝜇]/𝑘𝑘𝑏𝑏𝑇𝑇) (5.1)
şeklinde verilir (Güven ve Gerhardts 2003, Siddiki ve Gerhardts 2003). Burada 𝐷𝐷(𝐸𝐸) durum yoğunluğunu, 𝑉𝑉(𝐻𝐻⃗) üç boyutlu Poisson denkleminin çözümünden elde edilen kapıların ve verici atomların oluşturduğu potansiyeli ve aynı zamanda elektronların kendi aralarındaki etkileşmesinden oluşan potansiyeli de içeren potansiyel fonksiyonunu, 𝜇𝜇 kimyasal potansiyeli ve 𝐻𝐻⃗ iki boyutlu uzaysal değişkeni göstermektedir. 𝑓𝑓([𝐸𝐸 + 𝑉𝑉(𝐻𝐻⃗) − 𝜇𝜇]/𝑘𝑘𝑏𝑏𝑇𝑇) fonksiyonuna Fermi Fonksiyonu denir ve
𝑓𝑓([𝐸𝐸 + 𝑉𝑉(𝐻𝐻⃗) − 𝜇𝜇]/𝑘𝑘𝑏𝑏𝑇𝑇) =1 + e([𝐸𝐸+𝑉𝑉(𝐻𝐻⃗)−𝜇𝜇]/𝑘𝑘1 𝑏𝑏𝑇𝑇) (5.2)
ifadesi ile verilir ( Güven ve Gerhardts 2003, Siddiki ve Gerhardts 2003). Burada kb
Thomas-Fermi yaklaşımında elektronların dağılımını elde ederken en önemli parametrelerden birisi durum yoğunluğu diye adlandırdığımız 𝐷𝐷(𝐸𝐸) dir. Biz iki boyutlu elektron gazı ile ilgilendiğimiz için, kenarları L boyutunda olan sonsuz derin
bir kare kuyudaki etkileşmeyen elektronları düşünelim. Burada elektronların durumlarını ifade eden dalga fonksiyonu kuyunun kenarlarında sıfır olması gerektiği için dalga sayısı k, hem x hem de y yönünde
𝑘𝑘𝑥𝑥 =𝑛𝑛𝑥𝑥𝐿𝐿𝜋𝜋 (5.3a)
𝑘𝑘𝑥𝑥 = 𝑛𝑛𝑥𝑥𝐿𝐿𝜋𝜋 (5.3b)
şeklinde kuantumlu olacaktır. Kuyunun içindeki elektronlar potansiyel etkisinde olmadıkları için serbest bir parçacıkta olduğu gibi toplam enerjileri sadece kinetik enerjilerinden ibaret olacaktır. Serbest hareket eden bir parçacığın momentumu de
Broglie hipotezine göre bu parçacığa eşlik eden dalganın dalga boyuna 𝑝𝑝⃗ = ℏ𝑘𝑘�⃗
ifadesiyle bağlıdır. Buna göre kuyu içersindeki elektronun enerjisi
𝐸𝐸 = 2𝑚𝑚 =𝑝𝑝2 ℏ2𝑚𝑚2𝑘𝑘2 (5.4)
ile verilir. 𝑘𝑘�⃗ dalga vektörünün büyüklüğü iki bileşenin karelerinin toplamının kareköküne eşittir. Yani
𝑘𝑘2 = 𝑘𝑘
𝑥𝑥2+ 𝑘𝑘𝑥𝑥2 =𝜋𝜋 2
𝐿𝐿2�𝑛𝑛𝑥𝑥2+ 𝑛𝑛𝑥𝑥2� (5.5)
dir. Bulduğumuz 𝑘𝑘2 ifadesini Denk. (5.4) de yerine yazarsak
𝐸𝐸 = 2𝑚𝑚ℏ2 𝜋𝜋2�𝑛𝑛𝑥𝑥2𝐿𝐿2+ 𝑛𝑛𝑥𝑥2� (5.6)
eşitliğini elde ederiz. Son eşitlikten 𝑛𝑛2 = �𝑛𝑛 𝑥𝑥 2 + 𝑛𝑛 𝑥𝑥 2� çekilerek 𝑛𝑛2 = �𝑛𝑛 𝑥𝑥 2+ 𝑛𝑛 𝑥𝑥 2� =2𝑚𝑚𝐸𝐸𝐿𝐿2 ℏ2𝜋𝜋2 (5.7) elde edilir.
Burada her farklı �𝑛𝑛𝑥𝑥, 𝑛𝑛𝑥𝑥� seti bir enerji seviyesini belirtir. Bu seviyeler girilebilir durumları gösterir. Şekil 5.1 de girilebilir durumlar gösterilmektedir. Burada elektronlar en düşük enerji seviyesinden başlayarak seviyeleri doldurmaya başlarlar bütün elektronlar yerleşene kadar doldurma devam eder. Şekil 5.1 de görüldüğü gibi 𝑛𝑛𝑥𝑥, 𝑛𝑛𝑥𝑥 düzleminde girilebilir durumlar bir çeyrek daire şeklini almaktadır. Bu durumda toplam girilebilir durum sayısını 𝑊𝑊(𝐸𝐸) ile gösterirsek
Şekil 5.1 Girilebilir durumlar. Izgaradaki her kesişim noktası bir enerji seviyesine
karşılık gelir.
𝑊𝑊(𝐸𝐸) =𝑔𝑔𝑠𝑠𝜋𝜋𝑛𝑛2 4 =
𝑔𝑔𝑠𝑠𝜋𝜋�𝑛𝑛𝑥𝑥2 + 𝑛𝑛𝑥𝑥2�
4 (5.8)
olur. Burada 𝑔𝑔𝑠𝑠 spin dejenereliğini göstermektedir. Yani her seviyeye bir yukarı bir aşağı spinli olmak üzere iki elektron yerleşebileceği için 𝑔𝑔𝑠𝑠 = 2 dir. Bundan sonra Denk. (5.7) deki 𝑛𝑛2 ifadesini Denk. (5.8) de kullanırsak girilebilir durum sayısı için
𝑊𝑊(𝐸𝐸) =𝑔𝑔𝑠𝑠2ℏ𝑚𝑚𝐸𝐸𝐿𝐿2𝜋𝜋2 (5.9)
ifadesine ulaşırız. Burada birim alan başına girilebilir durum sayısı da
ile verilir. Birim alanda birim enerji başına düşen girilebilir durum sayısına Durum yoğunluğu denir ve
𝐷𝐷(𝐸𝐸) = 𝐷𝐷0 =𝑑𝑑𝑤𝑤(𝐸𝐸)𝑑𝑑𝐸𝐸 =2ℏ𝑔𝑔𝑠𝑠2𝑚𝑚𝜋𝜋 (5.11) şeklinde verilir. Denklem (5.11) de görüldüğü gibi manyetik alan yokken iki boyuttaki durum yoğunluğu enerjiden bağımsız bir sabittir. Bu nedenle bundan sonra 𝐷𝐷0 olarak adlandıracağız.
Şimdi 𝑇𝑇 = 0 ve 𝐵𝐵 = 0 da Thomas-Fermi yaklaşımına göre elektron dağılımının nasıl olacağına bakalım. Burada iki durum söz konusudur. Eğer (𝐸𝐸 + 𝑉𝑉(𝐻𝐻⃗) − 𝜇𝜇) > 0 ise 𝑇𝑇 = 0 için e([𝐸𝐸+𝑉𝑉(𝐻𝐻⃗)−𝜇𝜇]/𝑘𝑘𝑏𝑏𝑇𝑇) ifadesi ∞ olur. Fermi
fonksiyonu ise bu durumda sıfıra gider. Sonuç itibari ile Denk.(5.1) ile verilen 𝑛𝑛(𝐻𝐻⃗) sıfır olur. Diğer taraftan eğer (𝐸𝐸 + 𝑉𝑉(𝐻𝐻⃗) − 𝜇𝜇) < 0 ise 𝑇𝑇 = 0 için e([𝐸𝐸+𝑉𝑉(𝐻𝐻⃗)−𝜇𝜇]/𝑘𝑘𝑏𝑏𝑇𝑇)
ifadesi sıfıra gider. Bu durumda Fermi fonksiyonu 𝑓𝑓([𝐸𝐸 + 𝑉𝑉(𝐻𝐻⃗) − 𝜇𝜇]/𝑘𝑘𝑏𝑏𝑇𝑇) = 1 olur ve Denklem (5.1) den durum yoğunluğu ifadesini de yazarsak
𝑛𝑛𝑒𝑒𝑒𝑒(𝐻𝐻⃗) =ℏ𝑚𝑚2𝜋𝜋 � 𝑑𝑑𝐸𝐸 𝜇𝜇−𝑉𝑉(𝐻𝐻⃗)
0
(5.12)
halini alır. Bu integralin sonucu da
𝑛𝑛𝑒𝑒𝑒𝑒(𝐻𝐻⃗) =ℏ𝑚𝑚2𝜋𝜋 �𝜇𝜇 − 𝑉𝑉(𝐻𝐻⃗)� (5.13)
olur. Sonuç olarak 𝑇𝑇 = 0 ve 𝐵𝐵 = 0 da elektron dağılımı bir basamak fonksiyonuna 𝑛𝑛𝑒𝑒𝑒𝑒(𝐻𝐻⃗) =ℏ𝑚𝑚2𝜋𝜋 �𝜇𝜇 − 𝑉𝑉(𝐻𝐻⃗)�𝛩𝛩�𝜇𝜇 − 𝑉𝑉(𝐻𝐻⃗)� (5.14)
dönüşür. Burada 𝛩𝛩�𝜇𝜇 − 𝑉𝑉(𝐻𝐻⃗)� basamak fonksiyonudur.
Şimdi 𝑇𝑇 ≠ 0 ve 𝐵𝐵 = 0 için elektron dağılımını Thomas-Fermi yöntemi ile türetelim. Denklem (5.10) dan görüldüğü gibi manyetik alan yokken 𝐷𝐷(𝐸𝐸) = 𝐷𝐷0
enerjiden bağımsız bir büyüklük olduğu için Denk. (5.1) ile verilen integralin dışına çıkar. Böylece ifade
𝑛𝑛𝑒𝑒𝑒𝑒(𝐻𝐻⃗) = 𝐷𝐷0� 𝑑𝑑𝐸𝐸𝑓𝑓([𝐸𝐸 + 𝑉𝑉(𝐻𝐻⃗) − 𝜇𝜇]/𝑘𝑘𝑏𝑏𝑇𝑇) (5.15)
halini alır. Burada 𝑓𝑓([𝐸𝐸 + 𝑉𝑉(𝐻𝐻⃗) − 𝜇𝜇]/𝑘𝑘𝑏𝑏𝑇𝑇) fermi fonksiyonunun açık ifadesi olan Denk. (5.2) yi yerine yazarsak, birkaç işlem sonucunda ifadeyi
𝑛𝑛𝑒𝑒𝑒𝑒(𝐻𝐻⃗) = −𝐷𝐷0𝑘𝑘𝑏𝑏𝑇𝑇� −𝑘𝑘1 𝑏𝑏𝑇𝑇e −([𝐸𝐸+𝑉𝑉(𝐻𝐻⃗)−𝜇𝜇]/𝑘𝑘𝑏𝑏𝑇𝑇) e−([𝐸𝐸+𝑉𝑉(𝐻𝐻⃗)−𝜇𝜇]/𝑘𝑘𝑏𝑏𝑇𝑇)+ 1 𝑑𝑑𝐸𝐸 (5.16)
şekline çeviririz. İntegraldeki kesrin paydası u ile gösterilirse pay 𝑑𝑑𝑑𝑑 olur. Böylece integral
𝑛𝑛𝑒𝑒𝑒𝑒(𝐻𝐻⃗) = −𝐷𝐷0𝑘𝑘𝑏𝑏𝑇𝑇�𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 (5.17)
halini alır. Buradaki integralin sonucu doğal logaritma ℓ𝑛𝑛 𝑑𝑑’dur. Gerekli bütün dönüşüm ve işlemlerden sonra
𝑛𝑛𝑒𝑒𝑒𝑒(𝐻𝐻⃗) = −𝐷𝐷0𝑘𝑘𝑏𝑏𝑇𝑇𝑒𝑒𝑛𝑛�𝑒𝑒([𝜇𝜇−𝑉𝑉(𝐻𝐻⃗)]/𝑘𝑘𝑏𝑏𝑇𝑇)+ 1� (5.18) sonucuna ulaşılır.
Manyetik alanın varlığında durum yoğunluğu değişmektedir. Artık enerji seviyeleri sürekli olmaktan çıkıp Landau seviyeleri olarak bildiğimiz kesikli enerji seviyeleri halini alır (Landau ve Lifshitz 1991). Bu durumda durum yoğunlukları da Şekil 5.2 de görüldüğü gibi kesikli hale gelir. Yani elektronlar sadece izinli olan Landau seviyelerine yerleşebilirler. İzinli olmayan seviyelere ise hiçbir elektron yerleşemez. Bölüm 3.2 de gördüğümüz gibi bir Landau seviyesi belli bir dejenereliğe sahiptir. Denk. (3.28) de doluluk çarpanını tanımladık ve doluluk çarpanının Landau seviyelerinin doluluğunu gösterdiğini belirttik. O ifadede görülen elektron elektron yoğunluğunu çekersek
𝑛𝑛𝑒𝑒𝑒𝑒 = 2𝜋𝜋ℓ𝜈𝜈 2 (5.19) buluruz. Doluluk çarpanı 1 olduğunda bir Landau seviyesi tam dolu olur. Bu durumda bu sayı sözü edilen Landau seviyesinin dejenereliğini gösterir. Yalnız bu hesap yapılırken elektronların spinleri hesaba katılmamıştı. Bu durumda spin yukarı ve spin aşağı olmak üzere dejenerelik iki katına çıkar. Sonuç olarak bir Landau seviyesinin dejenereliği
𝑔𝑔𝑠𝑠
2𝜋𝜋ℓ2 (5.20)
şeklinde olur. Burada 𝑔𝑔𝑠𝑠 = 2 spin dejenereliğidir. Bu halde durum yoğunluğu
𝐷𝐷(𝐸𝐸) = 2𝜋𝜋ℓ𝑔𝑔𝑠𝑠2� 𝛿𝛿(𝐸𝐸 − 𝐸𝐸𝑛𝑛) ∞
𝑛𝑛=0
(5.21)
şeklinde olur.
Şimdi bu durum yoğunluğunu kullanarak 𝑇𝑇 ≠ 0 ve 𝐵𝐵 ≠ 0 için Thomas Fermi yaklaşımı ile elektron dağılımını elde edelim. Denk. (5.1) ve (5.21) den
𝑛𝑛𝑒𝑒𝑒𝑒(𝐻𝐻⃗) =2𝜋𝜋ℓ𝑔𝑔𝑠𝑠2� � 𝑑𝑑𝐸𝐸𝛿𝛿(𝐸𝐸 − 𝐸𝐸𝑛𝑛)𝑓𝑓([𝐸𝐸 + 𝑉𝑉(𝐻𝐻⃗) − 𝜇𝜇]/𝑘𝑘𝑏𝑏𝑇𝑇) ∞
𝑛𝑛=0
(5.22)
ifadesine ulaşırız. Burada Dirac delta fonksiyonunun integral özelliğini kullanılarak Denk. (5.22) in sonucunun
𝑛𝑛𝑒𝑒𝑒𝑒(𝐻𝐻⃗) =2𝜋𝜋ℓ𝑔𝑔𝑠𝑠2� 𝑓𝑓([𝐸𝐸𝑛𝑛 + 𝑉𝑉(𝐻𝐻⃗) − 𝜇𝜇]/𝑘𝑘𝑏𝑏𝑇𝑇) ∞
𝑛𝑛=0
(5.23)