6. SONUÇ VE TARTIŞMA
6.5. Termodinamik parametrelerin yorumlanması
Como j´a observamos (veja5.7, p.113) o mapa racional ψ′′ : G′′99K Gr(8, S3Fl0)
´e dado pela matriz
[ψ′′] = I7 ⋆7×10 01×7 P′ 2 .
O lugar de indetermina¸c˜ao desse mapa, Y0′′ ⊂ G′′, ´e definido localmente pelo ideal J1 =hd2, a4− a2a3, d4− a2d3i,
gerado pelas entradas de P′
2. Geometricamente, o ponto geral de Y0′′ corresponde a um triedro, cf. Fig.5.3, p.123.
Agora passemos `a explos˜ao bY′′ 0 : G
′′′ → G′′. Em coordenadas locais podemos escrever as equa¸c˜oes na forma
a4− a2a3 = d2λ1 d4− a2d3 = d2λ2 onde d2 ´e a equa¸c˜ao do divisor excepcional e
a1, a2, a3, t, d2, d3, λ1, λ2 s˜ao as coordenadas locais em G′′′.
Essa explos˜ao resolve a indetermina¸c˜ao de ψ′′ e produz um morfismo
ψ′′′ : G′′′ → Gr(8, S3Fl0). (5.31)
4.5.1 os sistemas de c´ubicas para os ponto de E′′′∩ eE′′
No que segue, iremos descrever, de modo livre de coordenadas, a imagem de ψ′′′ em cada ponto de E′′′ = P(NY′′
0/G′′′). Observamos que essa descri¸c˜ao ser´a ´util para a constru¸c˜ao do
c´odigo para maple para implementa¸c˜ao da f´ormula de Bott. Comecemos analisando um exemplo.
Exemplo 5.5.0.0.1. Consideremos a subvariedade X ⊂ G′′′ dada localmente pelo ideal ht, d2, a2i, correspondendo `as ternas (l0, l1, l2) tais que “l1 = l′′
2 e intersectam l0 no ponto (0, 0, 0, 1). Ou seja, X ´e uma se¸c˜ao de E′′′ ∩ eE′′, onde eE′′ ´e a transformada estrita de E′′⊂ G′′ por meio de b
Y′′
0 . Em cima de X, as 8 c´ubicas s˜ao as seguintes
c1 = x0(x0+ a1x2)2 = x3 0 + . . . c2 = x1(x0+ a1x2)2 = x2 0x1 + . . . c3 = x1(x0+ a1x2)(x1+ a1a3x2) = x0x2 1 + . . . c4 = x1(x1+ a1a3x2)2 = x3 1+ . . . c5 = x2(a3x0− x1)(x0+ a1x2) =−x0x1x2 + . . . c6 = x2(a3x0− x1)(x1+ a1a3x2) = x2 1x2+ . . . c7 = x2(d3x0(x0+ a1x2)− x2(a3x0− x1)) = x1x2 2+ . . .
c8 = x3((λ1(x0+ a1x2)− (x1+ a1a3x2))(a3x0− x1)− λ2(d3x0(x0+ a1x2) −x2(a3x0− x1)))
Com a ajuda do “Singular” podemos verificar que o ideal gerado por essas c´ubicas define um subesquema de P3, com polinˆomio de Hilbert 3t + 3 e tendo como suporte a
uni˜ao da reta l0 com a reta
l =hx0+ a1x2, x1+ a1a3x2i = hx0+ a1x2, a3x0− x1i.
Al´em disso, quando a1 6= 0, a reta l ´e uma componente “dupla planar”, contida no plano cuja equa¸c˜ao ´e h = a1d3(x0+ a1x2) + (a3x0− x1). Esse plano n˜ao tem nada de misterioso, ele pode ser entendido da seguinte forma. Se considerarmos uma reta do tipo
lλ =hx0+ (a1+ λ)x2, (a3+ d3λ)x0− x1i,
ou seja, incidente a l0 tamb´em no ponto (0, 0, 0, 1), ent˜ao h ´e exatamente o limite do plano determinado por l e lλ quando fazemos lλ tender a l. De fato, o plano determinado por l e lλ ´e um elemento da interse¸c˜ao vetorial
hx0+ a1x2, a3x0 − x1i ∩ hx0 + (a1+ λ)x2, (a3+ d3λ)x0− x1i. Portanto devemos “determinar” a, b, c, d∈ C tais que
a(x0+ a1x2) + b(a3x0− x1) = c(x0+ (a1+ λ)x2) + d((a3+ d3λ)x0− x1)
Uma manipula¸c˜ao elementar das rela¸c˜oes consequentes da igualdade acima fornece a iden- tidade
aλ = (d3a1 + d3λ)bλ
Agora dividindo por λ, obtemos a = (a1d3 + d3λ)b. Portanto, o plano determinado por l e lλ ´e
hλ = (a1d3+ d3λ)(x0+ a1x2) + (a3x0− x1) e tem como limite (quando λ→ 0) exatamente o plano h.
Vale observar que temos a rela¸c˜ao
a1c7+ c5 = x0x2h.
Portanto, se a1 6= 0 podemos substituir c7 por x0x2h. Aparentemente ´e por esse motivo que, quando a1 6= 0, a componente com suporte em l ´e planar. Ademais, como c7 ´e exatamente a nova c´ubica que surge ap´os a primeira explos˜ao, vemos que a fibra de E′′∩ Y′′
0 sobre (l0, l, l)∈ ∆′∩ Y0′, l 6= l0 pode ser pensada como um “P1” que parametriza os planos contendo l. Isto confirma o que j´a hav´ıamos dito na observa¸c˜ao 5.3.1.1, p.128.
Quando a1 = 0, a componente com suporte em l0 tem grau 3 e como a substitui¸c˜ao acima n˜ao pode ser feita, ela n˜ao ´e planar mas sim contida na qu´adrica
d3x20− x2(a3x0− x1) = 0,
que ´e um fator de c7. Novamente, confirmando o que dissemos na observa¸c˜ao 5.3.1.1, a fibra de E′′∩ Y′′
0 sobre (l0, l, l)∈ ∆′∩ Y0′, l = l0, ´e um P1 de qu´adricas bem determinadas contendo l0. Sem surpresas at´e aqui.
Objetivamente, o espa¸co formado pelas seis primeira c´ubicas ´e (F2
2(l0))(l0,l)· l ⊂ S3F
l0.
E ´e assim desde G′×G′, com l1 = l2 = l. Por outro lado, o fato de estarmos em E′′′, que se projeta em Y′′
0, implica que existe um plano h (no caso, a3x0−x1) contendo l0 e l. No caso em que l = l0, tal h ´e o fator de um representante da qu´adrica Q∈ S2F/l2
0 correspondente a um plano contendo l0. Temos tamb´em uma forma linear h1, representante de um elemento n˜ao nulo de F/l, respons´avel por marcar l0∩ l em l (no caso em que l = l0, o h1 ´e o fator linear de um representante da qu´adrica Q, que d´a origem a um elemento n˜ao nulo de F/l0).
Ademais, por estarmos em eE′′∩ E′′′, que se projeta em E′′∩ Y′′
0 , temos que a s´etima c´ubica ´e proveniente da multiplica¸c˜ao de h1, por um elemento eQ∈ F2
2(l0)(l0,l)bem definido
m´odulo h· l, ou seja, eQ representa um elemento de G2(l0)(l0,l) = (F
2
2(l0))(l0,l)/(h· l),
corroborando assim, com a identifica¸c˜ao
(E′′∩ Y0′′)(l0,l,l) = P(G2(l0)(l0,l)).
Por fim, o fator linear x3 da c´ubica c8 ´e simplesmente um representante para um elemento deF/l, independente de h1. O fator quadr´atico de c8, ´e para ser pensado como est´a escrito, ou seja, um elemento do espa¸co tridimensional
hh.l, eQi ⊂ F2
2(l0)(l0,l).
Para ilustrar a discuss˜ao acima, explicitemos por exemplo os sistemas de c´ubicas as- sociados aos pontos da fibra de E′′′ sobre (l0, l1, l2)∈ ∆′∩ Y′
com i = 0, 1 e j = 2, 3. Neste caso temos (F2
2(l0))(l0,l) =hx
2
i, xixk, xkxj, xixji e F/l = hxk, xmi, com {i, k} = {0, 1} e {j, m} = {2, 3}. Assim, h = xi e h1 = xk. As seis primeiras c´ubicas s˜ao
(F2
2(l0))(l0,l).l =hx
3
i, x2ixk, xixkxj, x2ixj, xkx2j, xix2ji
Para as outras, temos c7 = xkQ, onde ee Q deve ser um elemento deG2(l0)(l0,l) =hxixk, xkxji.
Portanto, c7 = x2 k(axi+ bxj), c8 = xm(cx2 i + dxixj + e(axixk+ bxkxj)).
Assim, temos um P1 de “escolhas” poss´ıveis para c7 e depois temos um P2 de liberdade para c8. Isso ´e coerente com as explos˜oes que foram feitas, pois E′′′ ∩ eE′′ tem dimens˜ao igual a 6 e se projeta sobre ∆′ ∩ Y′
0, que tem dimens˜ao igual a 3. Logo cada fibra tem dimens˜ao igual a 3, e pinta como um P2 -fibrado em cima de um P1-fibrado sobre ∆′∩ Y′
0. Vejamos um outro exemplo. Consideremos a fibra de E′′′ sobre
(l0, l1, l2)∈ ∆′ ∩ Y0′∩ (E′× E′). Nesse caso temos l0 = l1 = l2 = l e
(F2
2(l0))(l0,l) =hx
2
0, x0x1, x21, (a0x0+ a1x1)(b2x2 + b3x3)i
Vamos considerar os quatro casos em que a ´ultima qu´adrica Q ´e monomial. Escrevamos Q = xixj, com i = 0, 1 e j = 2, 3.
Temos que as seis primeiras c´ubicas s˜ao (F2
2(l0))(l0,l).l =hx
3
0, x20x1, x0x21, x31, x0xixj, x1xixji Al´em disso, h = xi e h1 = xj, donde h· l = hx2
i, xixki, com {i, k} = {0, 1}. Portanto, c7 = xj(ax2k+ bxixj),
c8 = xm(cx2
i + dxixk+ e(ax2k+ bxixj)),
(5.32)
com {j, m} = {2, 3}.
Tamb´em nesse caso, a fibra de E′′′ ∩ eE′′ aparece como um P2-fibrado em cima de um P1-fibrado sobre a variedade ∆′∩ Y′
0. Isso encerra a descri¸c˜ao para os sistemas de c´ubicas associados aos pontos de E′′′∩ eE′′.
4.5.2 os sistemas de c´ubicas associados aos pontos de E′′′\ eE′′
Para os pontos de E′′′\ eE′′, os sistemas de c´ubicas admitem descri¸c˜ao livre de coordenadas, an´aloga `a que acabamos de fazer na subse¸c˜ao anterior.
Os pontos de E′′′ \ eE′′ se projetam em Y′′
0 \ E′′. Neste caso o sistema de oito c´ubicas independentes ´e obtido a partir de um sistema de sete c´ubicas independentes, que na verdade j´a existem para os pontos de Y′
0 \ ∆′. De fato, vimos que fora de ∆′ temos pelo menos sete c´ubicas independentes (veja p.112). Os coeficientes dessas sete c´ubicas s˜ao modificados por meio das rela¸c˜oes determinadas pelas equa¸c˜oes locais das explos˜oes.
A oitava c´ubica, c8, aparece ap´os a explos˜ao de G′′ ao longo de Y0′′ e as contas locais (aqui, evitamos explicitar o sistema de c´ubicas em coordenadas locais como fizemos no exemplo5.5.0.0.1, p.137) revelam que c8 se escreve como o produto de um fator linear por um fator quadr´atico, que admitem a seguinte interpreta¸c˜ao global.
Para qualquer ponto (l0, l1, l2)∈ Y′
0\∆′ temos em correspondˆencia uma forma linear h1 que representa um elemento n˜ao nulo deF/l0. De fato, lembrando que (veja eq.5.21, p.122) Y0′ = eY0×l⊥
0 Y0, onde le
⊥
0 = P(F/l0), temos que um ponto de Y0′sempre vem acomphanhado de um elementos n˜ao nulo deF/l0. Assim, o fator linear da oitava c´ubica c8´e simplesmente um representante para o gerador de F/hl0, h1i. No caso l1 6= l0 6= l2, temos que h1 representa o plano determinado por l1 e l2. Caso contr´ario, se li = l0 para i = 1 ou i = 2, ent˜ao h1 ´e o fator (de um representante) da qu´adrica
Qi ∈ (F2
2(l0))(l0,li)=hl
2 0, Qii,
que marca um ponto em l0, o qual ´e componente imersa do esquema definido pelo ideal gerado pelas qu´adricashl2
0, Qii.
J´a o fator quadr´atico da c´ubica c8, observamos que ele ´e um elemento de (F2
2(l0))(l0,l1)∩ (F
2
2(l0))(l0,l2).
Portanto, a c´ubica c8 ´e proveniente de
F/hl0, h1i · ((F22(l0))(l0,l1)∩ (F
2
2(l0))(l0,l2)).
Vale destacar, que pelo fato de (l0, l1, l2)∈ Y0′\ ∆′, segue que dimC((F22(l0))(l0,l1)∩ (F22(l0))(l0,l2)) = 3.
Logo, temos um P2 de escolhas poss´ıveis para a c´ubica c8. Isso ´e exatamente o que esperamos, haja vista que o divisor excepcional E′′′ ´e um P2-fibrado, obtido como proje- tiviza¸c˜ao do fibrado normal de Y′′
0 em G′′.
Al´em disso, observe que o espa¸co tridimensional de c´ubicas onde escolhemos c8, apre- senta uma simetria desej´avel com respeito `a permuta¸c˜ao das retas l1 e l2.
Vejamos ent˜ao como ficam os sistemas de c´ubicas associados aos pontos de E′′′ que vivem em cima de (l0, l1, l2)∈ Y′
0 \ ∆′. Temos quatro tipos de pontos: (l0, l1, l2) ∈ Y0′ \ (∆′∪ E′× E′) (l0, l1, l2) ∈ Y0′ \ (∆ ′ ∪ (G′\ E′)× E′) (l0, l1, l2) ∈ Y0′ \ (∆′∪ E′× (G′\ E′)) (l0, l1, l2) ∈ (Y0′ \ ∆′)∩ E′× E′
No primeiro caso, tipicamente temos l1 =hx0, xji e l2 =hx1, xji, j = 2, 3. Assim, as sete c´ubicas iniciais s˜ao
(F2 2(l0))(l0,l1).l2+ (F 2 2(l0))(l0,l2).l1 = l0l1l2 =hx 2 0x1, x20xj, x0x21, x0x1xj, x0x2j, x21xj, x1x2ji. Al´em disso, F2 2(l0))(l0,l1)∩ (F 2 2(l0))(l0,l2) =hx0x1, x0xj, x1xji. Portanto, c8 = xm(ax0x1+ bx0xj + cx1xj), com{j, m} = {2, 3}.
Para os pontos do segundo tipo temos (l0, l1) ∈ eY0 ∩ E′. Consideremos por exemplo l2 =hxi, xji, com i = 0, 1; j = 2, 3. Assim, o ponto marcado em l0 tem equa¸c˜ao xj = 0. Portanto,
(F2
2(l0))(l0,l1) =hx
2
0, x0x1, x21, xj(a0x0+ a1x1)i.
Da´ı, vamos olhar para os casos a0 = 0 e a1 = 0. Logo, podemos escrever (F2 2(l0))(l0,l1) =hx 2 i, xixk, x2k, xnxji (F22(l0))(l0,l2) =hx 2 i, xixk, xkxj, xixji, com n = 0, 1 e {i, k} = {0, 1}. Desse modo, (F22(l0))(l0,l1).l2+ (F 2 2(l0))(l0,l2).l1 =hx 2 ixk, xix2k, x3k, x2kxj, x2ixj, xixkxj, xnx2ji.
Ademais, F2 2(l0))(l0,l1)∩ (F 2 2(l0))(l0,l2) =hx 2 i, xixk, xixji ou F2 2(l0))(l0,l1)∩ (F 2 2(l0))(l0,l2) =hx 2 i, xixk, xkxji, conforme tenhamos n = i ou n = k, respectivamente. Portanto,
c8 = xm(ax2i + bxixk+ cxixj) ou c8 = xm(ax2i + bxixk+ cxkxj).
Para os pontos do terceiro tipo, a descri¸c˜ao ´e a mesma que essa que acabamos de fazer. Por fim, para os pontos do quarto tipo teremos (l0, l1), (l0, l2) ∈ eY0 ∩ E′. Assim, os esquemas l0⊔ l1 e l0⊔ l2 tˆem l0 como suporte e possuem componente imersa com suporte em um mesmo ponto de l0. Desse modo, tipicamente teremos
(F22(l0))(l0,l1) =hx 2 0, x0x1, x21, x0xji (F22(l0))(l0,l2) =hx 2 0, x0x1, x21, x1xji. Da´ı, segue que
(F2 2(l0))(l0,l1).l2+ (F 2 2(l0))(l0,l2).l1 =hx 3 0, x20x1, x0x21, x31, x20xj, x0x1xj, x21xji F22(l0))(l0,l1)∩ (F 2 2(l0))(l0,l2) =hx 2 0, x0x1, x21i. Logo, c8 = xm(ax20+ bx0x1+ cx21).
Desse modo, em qualquer dos casos considerados acima, vemos que para cada ponto (l0, l1, l2)∈ Y′′
0 \ E′′, existe um P2 de escolhas poss´ıveis para a estrutura esquem´atica, com polinˆomio de Hilbert 3t+3 e suporte l0∪l1∪l2. Como n˜ao h´a uma maneira de escolher uma delas, a solu¸c˜ao ´e substituir cada ponto por um P2 e isso ´e feito por meio da explos˜ao. O P2 que aparece ´e simplesmente a fibra de E′′′, ou seja, a projetiviza¸c˜ao da fibra do fibrado normal de Y′′
0 em G′′. Vale notar que pontos distintos nesse P2 correspondem a subesquemas distintos de P3.
Observa¸c˜ao 5.5.0.1. Gostar´ıamos de enfatizar que todos os pontos de E′′′ s˜ao “bons”, no sentido que o polinˆomio de Hilbert dos ideais gerados pelas c´ubicas correspondentes ´e 3t + 3 e o espa¸co das qu´articas que contˆem o esquema correspondente, tem o posto esperado igual a 20. Mais precisamente, basta verificar essa afirma¸c˜ao para os sistemas de
c´ubicas que obtemos quando fazemos a = 0 ou b = 0 em 5.32, p.140, com i = 1 e j = 2, pois esses casos correspondem a olhar para as fibras de E′′′ sobre os representantes das ´orbitas fechadas em Y′′
0 .
No entanto, deve-se observar que o mapa ψ′′′ definido em 5.31, p.137 n˜ao ´e injetivo. Por exemplo, vimos em 5.30, p.128 que o sistema de c´ubicas correspondente ao ponto ϕ2030 ∈ E′′\ Y′′
0 (veja obs.5.4.0.3, p.136) ´e dado por hl3
0, x1x2l0, x1x3l0i.
Por outro lado, se tomarmos (ϕ20, ϕ30)∈ E′ × E′ ⊂ G′× G′, ent˜ao por 5.1, p.109 vemos que esse ponto est´a fora dos centros de explos˜ao (logo corresponde a um ponto de G′′′ distinto daquele que vive sobre ϕ2030) e o sistema de c´ubicas associado ´e (veja tamb´em obs.4.3.0.1, p.81e eq.4.9, p.83) o mesmo exposto acima.