Teorem 4.2.3 ün Sonuçlar

Teorem 4.2.1 deki tüm özel haller, f(2r+1) tek mertebeli türevlere yakla³m için de geçerlidir.

5.2.4 Teorem 4.2.4 ün Sonuçlar

Teorem 4.2.2 deki tüm özel haller, f(2r+1) _{tek mertebeli türevlere yakla³m için} de geçerlidir.

5.3 Uygulamalar

Bu ksmda yapm³ oldu§umuz çal³mann özel bir örne§i grak üzerinden gösterilecektir. uk(x)fonksiyon dizisi uk : [0, 1] → R uk(x) := ( x2 _{; k} tek 2 − x2 _{; k} çift

³eklinde tanmlansn. C[0, 1] uzaynda Lk(f ; x) pozitif lineer operatörü f ∈ C[0, 1], x ∈ [0, 1], k ∈ N olmak üzere Lk(f ; x) = k P j=0 k j
f ( j k)uk(x){jx j−1_{(1 − x)}k−j _{− (k − j)x}j_{(1 − x)}k−j−1_{} (5.9)} ³eklinde tanmlansn. Lk operatörünün tanmndan ∀k ∈ N için

Lk(f ; x) = uk(x)Bk0(f ; x) (5.10) oldu§u görülebilir. Burada Bk(f ; x) =

k P j=0 k j  f (j k)x j_{(1 − x)}k−j _{Bernstein poli-} nomlarn ve B0

k(f ; x) ise Bernstein polinomunun türevini göstermektedir. [0, 1] aral§nda tanml Borel ölçülebilir altkümelerinin olu³turdu§u σ−cebir üzerinde tanml (sonlu) Borel ölçümü kullanlarak [5], kümülatif da§lm fonksiyonlar [23] göz önünde bulunduruldu§unda (5.9) daki Lk operatörünün (3.1) ³eklinde yazlabildi§i görülebilir. A = {C1} alnrsa [0, 1] aral§nda

lim n→∞ 1 n n P k=1 uk(x) = 1, (x e göre düzgün) yani lim n→∞ 1 n n P k=1 uk− 1 = 0 (5.11)

oldu§u görülür. Ayrca [19] dan [0, 1] aral§nda ∀f ∈ C1_{[a, b] için} lim k→∞B 0 k(f ; x) = f 0 (x) (düzgün) (5.12)

oldu§u biliniyor. (5.12) de Teorem 2.3.1 den lim n→∞ 1 n n P k=1 kB_k0(f ) − f0k = 0 (5.13)

oldu§u görülebilir. (5.10) dan a³a§daki e³itsizlik yazlabilmektedir: Lk(f ; x) − f0(x) = (uk(x) − 1) (Bk0(f ; x) − f 0_{(x)) + f}0_{(x) (u} k(x) − 1) + B_k0(f ; x) − f0(x). Bu e³itlikten 1 n n P k=1 Lk(f ; x) − f0(x) = 1 n n P k=1 (uk(x) − 1) (Bk0(f ; x) − f 0 (x)) + f0(x) 1 n n P k=1 uk(x) − 1  + 1 n n P k=1 (B_k0(f ; x) − f0(x)) oldu§u görülür. ∀k ∈ N için kuk− 1k ≤ 1 oldu§undan, M := kf0k ³eklinde tanmlanrsa 1 n n P k=1 Lk(f ) − f0 ≤ 2 n n P k=1 kB_k0(f ) − f0k + M 1 n n P k=1 uk− 1 (5.14)

e³itsizli§i elde edilir. (5.14) te (5.11) ve (5.13) göz önüne alnp n → ∞ için limit alnrsa [0, 1] aral§nda

lim

n→∞Sn(f ; x) = f 0

(x) (x e göre düzgün) sonucuna ula³lr. Burada Sn(f ; x)

Sn(f ; x) :=

L1(f ; x) + L2(f ; x) + ... + Ln(f ; x)

n . (5.15)

³eklinde tanmldr. Dolaysyla Lk operatörü Teorem 4.2.3 teki A = {C1} özel halini sa§lam³ oldu. Fakat dikkat edilirse f0 _{fonksiyonuna L}

k(f ) operatörüyle klasik manada yakla³lmas sabit fonksiyonlar d³nda imkanszdr. Çünkü (uk(x)) dizisi [0, 1) aral§nda yaknsak olmayan bir fonksiyon dizisidir.

Ayrca herhagi bir regüler A matrisi için Lk(f ) operatörünün f0 türevine A−istatistiksel yaknsamas da imkanszdr. Çünkü

stA− lim sup k→∞

uk(x) = 2 − x2 ve stA− lim inf

k→∞ uk(x) = x

2 _(5.16) ³eklindedir. Burada stA− lim supve stA− lim inf üst ve alt A−istatistiksel limiti göstermektedir [9, 12]. (5.16) dan anlyoruz ki sabit bir x ∈ [0, 1) için uk(x)dizisi hem klasik manada hem de A−istatistiksel manada yaknsak de§ildir.

“imdi f(x) = x + x

10sin (10x) + 1

100cos (10x) fonksiyonunu ve bu fonksiyonun türevi olan f0_{(x) = 1 + x cos (10x)fonksiyonunu ele alalm. “ekil 5.1 ve “ekil 5.2} bize, (5.9) da tanmlanan Lk(f ) operatörünün f0 türevine yaknsayamayaca§n göstermektedir. Çünkü k nn tek de§erleri için operatörümüz x2_f0_{(x) fonksiyo-} nuna, çift de§erleri için ise (2 − x2_)f0_{(x) fonksiyonuna yakla³maktadr.}

“ekil 5.1: f(x) = x + x

10sin (10x) + 1

100cos (10x) fonksiyonu için (5.9) da tanmlad§mz Lk(f ; x) operatörü k nn yeterince büyük tek de§erleri için x2f0(x) fonksiyonuna yakla³maktadr.

“ekil 5.2: f(x) = x + x

10sin (10x) + 1

100cos (10x) fonksiyonu için (5.9) da tanmlad§mz Lk(f ; x) operatörü k nn yeterince büyük çift de§erleri için (2 − x2_)f0_{(x) fonksiyonuna yakla³maktadr.}

Fakat “ekil 5.3 ten anla³lyor ki yeterince büyük k de§erleri için Lk(f ) opera- törünün aritmetik ortalamas f0 _{türevine yakla³maktadr.}

“ekil 5.3: f(x) = x + x

10sin (10x) + 1

100cos (10x) fonksiyonu için (5.15) te tanmlad§mz Sn(f ; x) operatörü k nn yeterince büyük de§erleri için f0(x) fonksiyonuna yakla³maktadr.

5.4 De§erlendirmeler

Bu tez ile birlikte yakla³mlar teorisi ile toplanabilme teorisi arasnda güçlü bir köprü kurulmu³tur. Daha önceden benzer dü³ünceler baz di§er yakla³mlarda kullanlm³ olsa da (bkz: [4, 21, 24]), bu çal³mada sunulan graksel gösterimler, konunun daha elle tutulur ve derinlemesine incelenmesi için imkan sa§lamaktadr. Pozitif lineer operatörleri kapsayan geni³ bir operatör ailesi yardmyla, fonksiyon- lara ve türevlerine toplanabilme metotlar yardmyla çe³itli yakla³m teoremleri elde edilmi³tir.

Bütün tez boyunca yaplan çal³malar tek de§i³kenli fonksiyonlara yakla³m için incelenmi³tir. Dolaysyla çok de§i³kenli fonksiyonlar üzerinde yakla³m sonuçlarnn ara³trlmas do§al bir problemdir. Gelecekte bu konu üzerinde yaplacak çal³malar, sadece bu tezdeki sonuçlara de§il, ayn zamanda çok de§i³enli Korovkin teorisine de önemli katklar sa§layacaktr. Dolaysyla bu probleme bulunacak çözümler, gelecekteki öncelikli hedeerimiz arasndadr.

Bu tezdeki sonuçlarn derlenmesiyle elde edilen bir bilimsel makale, uluslararas indekse giren hakemli bir dergide yaynlanmas iste§iyle gönderilmi³tir. Ayrca ayn çal³ma "International Conference: Mathematics Days in Soa MDS 2014" isimli bir uluslararas konferasn "Approximation Theory and Special Functions" isimli özel serisinde sunulmu³ olmakla birlikte "International Conference on Recent Advances in Pure and Applied Mathematics (ICRAPAM 2014)" isimli uluslararas konferansta sunulacaktr.

KAYNAKLAR

[1] Altomare, F., Campiti, M., Korovkin-type Approximation Theory and Its Applications, de Gruyter Studies in Mathematics, vol. 17, Walter de Gruyter & Co., Berlin, 1994.

[2] Anastassiou, G. A., Duman, O., A Baskakov type generalization of statistical Korovkin theory, J. Math. Anal. Appl., 340 476486, 2008.

[3] Anastassiou, G. A., Duman, O., Towards Intelligent Modeling: Statistical Approximation Theory, Intelligent Systems Reference Library, vol. 14, Springer-Verlag, Berlin, 2011.

[4] Atlihan, Ö. G., Orhan, C., Summation process of positive linear operators, Comput. Math. Appl., 56 11881195, 2008.

[5] Baskakov, V. A., Generalization of certain theorems of P. P. Korovkin on positive operators, Mat. Zametki, 13 785794, 1973.

[6] Bell, H. T., A−summability, Dissertation, Lehigh University, Bethle- hem.,Pa.,1971.

[7] Bell, H. T., Order summability and almost convergence, Proc. Amer. Math. Soc., 38 548552, 1973.

[8] Cesàro, E., Cesàro Summability, Pure and Applied Mathematics, Volume 123, 28-47, 1986.

[9] Demirci, K., A-statistical core of a sequence, Demonstratio Math., 33 343- 353, 2000.

[10] Fast, H., Sur la convergence statistique, Colloquium Math., 2 241244, 1951. [11] Freedman, A. R., Sember, J. J., Densities and summability, Pacic J. Math.,

95 293305, 1981.

[12] Fridy, J. A., Orhan, C., Statistical limit superior and limit inferior, Proc. Amer. Math. Soc. 125 3625-3631, 1997.

[13] Gadjiev, A. D., Orhan, C., Some approximation theorems via statistical convergence, Rocky Mountain J. Math. 32 129138 2002.

[14] Hardy, G. H., Divergent Series, Oxford Univ. Press, London,1949.

[15] Jurkat, W. B., Peyerimho, A., Fourier eectiveness and order summability, J. Approx. Theory, 4 231244, 1971.

[16] Jurkat, W. B., Peyerimho, A., Inclusion theorems and order summability, J. Approx. Theory, 4 245262, 1971.

[17] Korovkin, P. P., Linear Operators and Approximation theory, Hindustan Publishing Corp., Delhi, 1960.

[18] Lorentz, G. G., A contribution to the theory of divergent sequences, Acta Math. 80 167190, 1948.

[19] Lorentz, G. G., Bernstein Polynomials (2nd edition), Chelsea Publishing Co., New York, 1986.

[20] Maddox, I.J., Elements of Functional Analysis, Cambridge University Press, 1970.

[21] Mohapatra, R. N., Quantitative results on almost convergence of a sequence of positive linear operators, J. Approx. Theory, 20 239250, 1977.

[22] Niven, I., Zuckerman, H.S., An Introduction to the Theory of Numbers, John Wiley&Sons, 4th_{ed., New York, 1980.}

[23] Royden, H. L., Real Analysis (3rd edition), Macmillan Publishing Company, New York, 1988.

[24] Swetits, J. J., On summability and positive linear operators, J. Approx. Theory, 25 186188, 1979.

ÖZGEÇM“

Ki³isel Bilgiler

Soyad, Ad : ASLAN, smail

Uyru§u : T.C.

Do§um tarihi ve yeri : 01.07.1988 Bursa Medeni hali : Bekar

Telefon : 0507 824 06 46

e-mail : iaslan@etu.edu.tr

E§itim

Derece E§itim Birimi Mezuniyet Tarihi

Y. Lisans TOBB ETÜ 2014

Lisans Hacettepe Üniversitesi 2011

³ Deneyimi

Yl Yer Görev

2012-2014 TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi Burslu Y. L. Ö§rencisi

Yabanc Dil ngilizce (Çok yi)

Yaynlar

• . Aslan and O. Duman, Summability Process On The Baskakov-Type Approximation (submitted for publication).

Uluslarars Konferans Bildirileri

• . Aslan and O. Duman, Summability Process On The Baskakov-Type Approximation Theory, Mathematics Days in Soa MDS 2014, July 7-10, 2014, Soa, Bulgaria.

• . Aslan and O. Duman, Application of Summability Process on Baskakov- Type Korovkin Theory, International Conference on Recent Advances in Pure and Applied Mathematics (ICRAPAM 2014), November 6-9, 2014, Antalya, Turkey (submitted for presentation).