Teorem: G merkezi geni şleme grubunun sunuşu (4.3) ile verildiği gib

G

℘ olsun ve (4.6) koşulunu sağlasın. Ayrıca p sayısı asal veya 0 olsun. Bu

durumda ℘ sunuşunun p-Cockcroft olması için gerek ve yeter koşullar _G

i) m=(m₁, m₂,K,m_s) olmak üzere, m≡0(mod p), ii) Her a∈a ve R∈r için, expa(R)≡0 (mod p),

iii) Her 1≤i≤s ve 1≤ j≤tiçin, _≡0

j i

k (mod p),

iv) ℘ sunuşu p-Cockcroft, Q

v) Her a∈a,
∈Y ve1≤i≤s için, αa,i(
)≡0 (mod p),

vi) Her
∈Y ve 1≤i≤s için, λ
)_i( ≡ 0 ( mod m p), _i

şeklindedir.

İspat: Q ve K gruplarının sunuşları sırasıyla 〈 = ℘Q a ; r〉 ve ℘ =〈 , , , ; , , , ,[ , ](1≤ < )〉 2 2 1 1 2 1 x x x x x x x i n x ms _{i n} s m m s K L L

biçiminde olsun. Ayrıca K nın Q grubu ile olan merkezi genişlemesi olan G grubunun sunuşu (4.3) de verildiği gibi olup, (4.6) koşulunu sağlasın.

İlk olarak [11] yardımıyla π₂(℘_G) ikinci homotopi modülünün üreteç resimlerini oluşturalım. Buradaki amacımız bu üreteç resimlerindeki disklerin toplamını hesaplamaktır. Çünkü ℘ sunuşunun p-Cockcroft yapan koşullar, elde G

edilen bu üreteç resimlerindeki disklerin toplamı kullanılarak belirlenir.

(I) ₁, ₂ ve ₃ Köşe (Vertex) Resimleri:

Bu resimler Şekil 4.2, Şekil 4.3 ve Şekil 4.4 de çizilmiş olup, aslında π₂(℘_K) ikinci homotopi modülünü üreten resimlerdir.

Şekil 4.2 Şekil 4.3

Şekil 4.4

Her bir 1≤i≤s için, m_{i =}0 oluyorsa, yani K grubu rankı s olan serbest değişmeli grup oluyorsa, yukarıda verilen ₁ ve ₂ resimleri boş resim olurlar. Ancak bu durum ₃ resmini etkilemez.

(II) 1_a ve 2_a Kenar (Edge) Resimleri:

Her a∈a ve her mi i

x için, Şekil 4.5 de gösterildiği gibi, 1

a küresel resmine sahip

oluruz. Yukarıda (I) durumuyla belirtildiği gibi, her bir 1≤i≤s için, mi =0 olursa, Şekil 4.5 ile verilen 1

a resmi boş resim olur. Ayrıca, her a∈a ve i<n

}) , , 2 , 1 { ,

(i n∈ K s için, Şekil 4.6 de gösterildiği gibi, 

2

a küresel resmine sahip

oluruz.

Şekil 4.5 Şekil 4.6

(III) x ,_iR Şeklindeki 2-hücre Resimleri:

Her bir R∈r ve 1≤i≤s için, Şekil 4.7 (W bo_R ş kelime olduğunda, Şekil

4.8) de gösterildiği üzere, x ,_iR küresel resimlerine sahip oluruz. Şekil 4.7 de

bulunan  alt resmi Şekil 4.9 da gösterildiği gibi [xi,xn](1≤i,n≤s) biçimindeki komutator disklerinden oluşur.

Şekil 4.7 Şekil 4.8

Şekil 4.9

(IV)
# Resmi:

Her bir
∈Y resmi için, (4.4) ile verildiği biçimde γ₁,γ₂,K,γ_t spreyleri vardır. Şimdi, her bir 1≤ j≤t için, Rjj

ε

ile etiketlenen, her bir ∆j∈
diski için,

j

γ sprey çizgisini, Şekil 4.10 ve Şekil 4.11 de gösterildiği gibi, −1 −1 ∆ ∆jWRjB jWRj

B

sınırı ile etiketlenmiş [a,xi] (a∈a,1≤i≤s) komutator disklerini içeren bir resim ile yer değiştirelim. Burandan da

B(
)= 2 1 2 1 1 ) ( t − t R R R W W Wε ε K ε =(( 22 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 ) ( ) ( ) ) − t t s k s t k t k s k s k k s k s k k x x x x x x x x x L ε L ε L L ε (4.7)

sınır etiketine sahip
* resmini elde ederiz (Şekil 4.12). Bunu yaparak sınır etiketleri üzerinde elde edeceğimiz disklerin toplam sayısını bulabilir, başka bir değişle, [a,xi] komutator disklerini diğer resimler içerisindeki aynı komutator

diskleri ile karşılaştırabilir ve sayısını hesaplayabiliriz. Ayrıca yine bu sınır etiketini kullanarak
nun alt tarafında,
** ile göstereceğimiz yeni bir alt-resim elde edebiliriz [11], [31]. Sonuç olarak
ile
* ın birleşiminden yeni bir üreteç resmi olan ve
# resmini elde ederiz. (Bununla ilgili çizimler Şekil 4.12 ve 4.13 de gösterilmiştir). Aslında
** resmi ₁ ve ₂ biçiminde iki alt resme sahiptir. Burada ₁ resmi [xi,xn](1≤i<n≤s) biçiminde komutatör disklerinden ve 2 resmi ise mi

i

x (1≤i≤s) disklerinden meydana gelir.

Şekil 4.11

Şekil 4.13

₁ alt resminde bulunan [x_i,x_n] komutatör disklerini kullanılarak (4.7) ile verilen ifade, aslında,

∏

= − s i Q i i x 1 ) ( λ

ifadesine eşit olur. Ayrıca, her 1≤i≤s için, 2 alt resminde bulunan

i m i x disklerinin sayısı i i m Q) ( λ

tanedir. Burada K özel olarak, serbest değişmeli grup olarak alınırsa (yani m=(m1 =0,m2 =0,K,ms =0)=0 olursa),

i i m Q) ( λ değeri 0 olur. Eğer λ (
)>0 ise, _i mi

i

x diskleri pozitif biçimde ve λ (
)<0 ise yine bu diskler _i negatif biçimde seçilmiş olarak düşünülecektir.

Dolayısıyla [11] den, (4.3) ile verilen ve (4.6) koşulunu sağlayan ℘_G sunuşunun, π₂(℘_G) ikinci homotopi modülünün üreteç kümesi

1, 2, 3,  1

a, 

2

Şimdi YG kümesinde bulunan resimleri kullanarak sonucumuzun gereklilik

kısmını aşağıdaki şekilde gösterebiliriz:

Bunun için, işlemlerimizde kolaylık sağlaması açısından, her a∈a, R∈r ve s

n i < ≤

≤

1 için, CR,Ca,i ve Ci,n notasyonlarını, sırasıyla,

1 − R RW , [a,xi] ve ] ,

[x_i x_n bağıntıları olarak alalım.

İspatta m 0≠ ve m 0= durumları göz önüne alınacaktır. m=1 durumu ise [31] de yapılmış olduğundan burada incelenmeyecektir.

i) m≠ durumu: 0

İlk olarak 1, 2, 3,  1

a ve 

2

a resimlerini düşünelim. Her bir 1≤i≤ s

için, exp m_i i x (1)= expx_imi (2)= expx_imi ( 1 a)= 1 – 1 = 0

dır. Ayrıca, her 1≤ i < n ≤ s ve a∈a için,

exp i a C , ( 1 a)=mi= exp_{C ,in} (2)

dir. Böylece m_{i ≡}0(mod p) olur. Dolayısıyla teoremin (i) koşulu sağlanmış olacaktır. Bunlardan başka

exp n i C , ( 2 a)= exp_{C ,ai}( 2 a)= exp_{C ,in}(3)= 1 – 1 = 0

dır. Her bir i,n,q∈{1,2,K,s}, i< ve n q≠i,n için, Şekil 4.4 ile verilen  3

resminden kolayca görüleceği üzere, [xi,xq] ve [xn,xq] şeklinde komutatör diskler

vardır. Ancak bu diskler aslında Ci,n komutatör formundaki disklerdir. Yine 3 resmine göre, elimizde sadece bir tane pozitif ve bir tane negatif [xi,xq] diski

(benzer olarak sadece bir pozitif ve bir negatif [xn,xq] diski) olduğundan, bu disklerin üstler toplamı 0 değerine eşit olacaktır.

Şimdi, her ∈R r ve 1≤i≤s için, Şekil 4.7 ve Şekil 4.8 de verilen x ,_iR

resmini düşünelim. Burada

expC_R(x ,_iR)=1-1=0 ve exp_{C ,ai}( x ,_iR)= expa(R) (a∈a)

dir. Böylece sonucumuzun (ii) koşulu sağlanmış olur. Şekil 4.9 ile verilen  resminden, her R∈r ve 1≤i≤s için,

exp_{C ,in}()= exp_{C ,in} (x ,_iR)=expx_i(WR)

elde edilir. Böylece W kelimesinde bulunan her bir _R x_i elemanının üstler toplamı sıfıra denktir. Ancak, her bir 1≤ j≤t için, W_Rj kelimelerini göz önüne aldığımızda, exp ( )_≡0 j R i x W (mod p)

olacaktır. Dolayısıyla, her 1≤i≤s ve 1≤ j≤t için, ki_j ≡0(mod p) olur. O halde teoremin üçüncü koşulunu elde etmiş oluruz.

Son olarak Şekil 4.12 de gösterilmiş olan
# resmini göz önüne alalım. Bu resimden kolayca görüleceği üzere

expC_R(
#)≡ (mod p) 0

dir. Bununla birlikte exp

R

C (
#)= expR(
) olduğundan,

exp_R(
) 0_{≡ (mod p)}

exp_{C ,ai}(
#)=αa,i(
)

eşitliği vardır. Burada
resminde görüleceği üzere, αa,i(
) 0≡ (mod p) dır. O

halde (v) sağlanmış olur.

Tüm bunlardan başka, her 1≤i < n ≤ s için,
** ya ait ₁alt resminde

n i

C, komutatör disklerinin üstler toplamı, ℘ sunuşunun p-Cockcroft olması G

kabulünden dolayı, p moduna göre 0 sayısına denk olmalıdır. Ayrıca
** resminde

n i

C_, komutatör diskleri sadece ₁alt resminde bulunduğundan, exp_{C ,in}(₁)= exp_{C ,in} (
**)

eşitliği her zaman sağlanıp, buradaki üstler toplam yine mod p ye göre 0 a denk olmalıdır. Bununla birlikte, her 1≤ j≤t ve 1≤i<s için, 0≤ k_ij <m_i, εj =±1 ve

= j R W sksj j k j k x x x L 2 2 1

1 olmak üzere, ℘ sunuşu için G 1

1 =

∏

= t j j j R Wε eşitliği sağlanmış olup, (iii) koşulundan, k_ij ≡0(mod p) olduğunu biliyoruz. Aslında bu paragrafta

anlatılan yukarıdaki iki durum ₁ resminde bulunan her [xi,xn] (1≤ i < n ≤ s) komutatör diskinin üstler toplamını da etkileyeceğini söylemektedir. Kısaca (iii) ve (4.5) den, ₁ resminde bulunan [x_i,x_n] komutatör disklerinin üstler toplamı p moduna göre 0 sayısına denk olur.

Şimdi 2 resmini göz önüne alarak, içindeki disk için üstler toplam hesabına

bakmalıyız. Aslında her bir 1≤i<s için, 2 alt resminde bulunan mi i x disklerinin sayısının i i m Q) ( λ

olduğunu yukarıda belirtmiştik. Buradan

exp m_i i x (
#_{)= exp} i m i x (
**_{)= exp} i m i x (2)= i i m Q) ( λ

λ
)_i( ≡ 0 ( mod m p) _i

şartı sağlanmalıdır. O halde (vi) koşulunun varlığı gösterilmiş olur.

(ii) m=0 durumu: ) , , , (m₁ m₂ m_s m= K = (her bir 0 =0 i

m ) olsun. Böylece K grubu s elemanlı

üreteç kümesine sahip bir serbest değişmeli grup olacağından, 4.2.2 Teoremde

verilen (i) ve (vi) koşulları çıkarılarak gerekli olan koşullar ii) Her a∈a ve R∈r için, expa (R)≡0 (mod p),

iii) Her 1≤i≤s ve 1≤ j≤tiçin, k_ij ≡0(mod p),

iv) ℘ sunuşu p-Cockcroft, Q

v) Her a∈a,»∈Y ve1≤i≤s için, α (»)a,i ≡0 (mod p)

şeklinde ifade edilir. Burada ispat m 0≠ durumunun aynısı olarak yapılır. ◊

Belgede Grup ve monoid yapılarına geometrik yaklaşımlar (sayfa 106-116)