Temel Sınır Değer Problemleri

Bu kesimde belli tipten bazı kompleks kısmi türevli denklemler için sınır değer

sınır koşullarını sağlayan ^{w z}

 

çözümünün bulunması problemi analitik fonksiyonlar için “Schwarz Sınır Değer Problemi” olarak adlandırılır.

18

Schwarz sınır değer problemi bir tek çözüme sahiptir ve bu çözüm

   

İspat: Teoremin ispatı (2.17) Schwarz-Poisson formülünden açıktır.

Tanım 2.3.2. (Dirichlet Sınır Değer Problemi) ^{D }



^{z : z 1}



birim diskinde

z 0

w  denkleminin

 

,



;



w_D  z C D

sınır koşulunu sağlayan çözümünün bulunması problemine analitik fonksiyonlar için

“Dirichlet Sınır Değer Problemi” denir.

Teorem 2.3.2. ^{D }



^{z : z 1}



^{ve C}



^D;



olmak üzere

19 eşitliğinin sağlanmasıdır. Bu durumda problemin tek çözümü

   

Cauchy integral formülüyle verilir.

İspat: Cauchy integral formülünün hipotezleri altında

   

formülü olarak bilinir. Plemelj-Sokhotzki formülünden,  1 için

     

20 fonksiyondur. Böylece

   

olup  1 için Poisson çekirdeğinin özelliğinden

 

¹

 

21

Ayrıca (2.28) in homogen Cauchy-Riemann denklemini sağladığı açıktır.

Üçüncü bir sınır değer problemi, regüler bir bölgenin sınırındaki dış normal vektöre dayanır. z a r çemberi üzerinde normal doğrultudaki türev, yarıçap vektörünün yönüdür. ^{  }



^{z a}



^{/r dış} normal vektördür ve bu yöndeki türev

w  denkleminin

   

, ; ; 0 ,

w D C D w c c

 _  

     

22

sınır koşullarını sağlayan çözümünün bulunması problemine “Neumann Sınır Değer Problemi” denir. olmasıdır. Bu durumda çözüm tektir ve

     

İspat: w analitik bir fonksiyon olduğundan, Neumann sınır koşulu



z z

    

çözümünün mevcut olması için gerek ve yeter koşul, z 1 birim diskinde

 

23

olmasıdır. ^{zw z}

 

fonksiyonu orijinde sıfır olduğundan

 

dır. Bu taktirde

 

1

   

yazılabilir. Bu ifadenin her iki tarafının z ye göre integrali alınırsa,

     

çözümü ortaya çıkar. Diğer taraftan (2.33) ve (2.34) eşitlikleri taraf tarafa toplanırsa

   

olur. Gerekli düzenlemeler yapılırsa

   

elde edilir. Bu ise istenilen (2.31) koşuludur.

24

Bu kısımdan sonra aynı sınır değer problemleri homogen olmayan Cauchy-Riemann denklemleri için verilecektir. T operatörü kullanılarak bu problemler analitik _D fonksiyonlar için verilen sınır değer problemlerine indirgenebilir.

Teorem 2.3.4. D birim diskinde, f L D1



;



,^C



^D;



^{, c} olmak üzere

 

, Re , Im 0

z D

w  f w_  w c

homogen olmayan Cauchy-Riemann denklemi için Schwarz sınır değer problemi bir tek çözüme sahiptir ve bu çözüm

dir. Bu teoremin ispatı için [4] e bakılabilir.

Teorem 2.3.5. D birim diskinde, f L D₁



;



, C



D;



olmak üzere

z , D

w  f w_ 

homogen olmayan Cauchy-Riemann denklemi için Dirichlet sınır değer probleminin çözülebilir olması için gerek ve yeter koşul, z 1 birim diskinde

   

olmasıdır. Bu durumda Dirichlet probleminin tek çözümü

     

25 dir.

İspat: Problemin çözümünün var olduğu kabul edilirse, (2.37) çözümü (2.11) gösteriliminden açıktır. Çözümün tekliği ise Teorem 2.3.2 nin bir sonucudur.

(2.37) eşitliği ile verilen fonksiyonun (2.36) koşulu altında homogen olmayan Dirichlet sınır değer probleminin çözümü olduğu gösterilmelidir.

     

sağlar. (2.36) ve (2.37) taraf tarafa toplanırsa

     

homogen Dirichlet problemi elde edilir. Bu problemin çözülebilir olması için gerek ve yeter koşul Teorem 2.3.2 den z 1 olmak üzere

26

olmasıdır ve bu durumda çözüm

       

şeklindedir. Gerekli düzenlemeler yapılırsa (2.36) çözülebilme koşulu ve (2.37) çözümü elde edilir.

Teorem 2.3.6. D birim diskinde, ^{f C}

 

^{D; , 0  1, C}

^

^D;

^

^{, c}

homogen olmayan Cauchy-Riemann denklemi için Neumann probleminin çözülebilir olması için gerek ve yeter koşul, z 1 olmak üzere

eşitliğinin sağlanmasıdır. Bu durumda tek çözüm

          _ ^{ } _

27

analitik fonksiyonlar için homogen Neumann sınır değer problemi elde edilir.

Teorem 2.3.3 den bu problemin çözülebilir olması için gerek ve yeter koşul z 1

olmasıdır. Bu durumda çözüm

             

olduğundan, çözülebilme koşulu

       

28 biçiminde elde edilir. Benzer şekilde

     

olarak elde edilir.

Teorem 2.3.7. D birim diskinde, ^{f C}



^D;



^{, 0  1, C}

^

^D;

^

^{, c} eşitliğinin sağlanmasıdır. Bu durumda tek çözüm

29 ispatı bir öncekine benzer şekilde yapılır.

İkinci basamaktan iki temel türev operatörü vardır. Bunlardan birisi  _{z z} Laplace operatörü ve diğeri _z² Bitsadze operatörüdür. Üçüncü bir operatör de Bitsadze operatörünün kompleks eşleniği olan _z²operatörüdür. Bu operatör için araştırılacak bütün formüller ve sonuçlar, Bitsadze operatörü için elde edilecek sonuçlarda kompleks eşlenik alınarak bulunabilir.

Şimdi Bitsadze operatörü için temel sınır değer problemlerini inceleyelim:

Teorem 2.3.8. f L D1



;



,  0, 1C



D;



, c c₀, ₁ olmak üzere birim diskte

30

İspat: Verilen problem

 

31

eşitlikleri kullanılırsa (2.42) çözümü elde edilir.

Teorem 2.3.9. D birim diskinde w_zz 0, w_D 0 Bitsadze denklemi için Dirichlet problemi sonsuz çoklukta lineer bağımsız çözüme sahiptir.

İspat: w_z

 

z , D bölgesinde analitik bir fonksiyondur. O halde 

 

z ve 

 

z keyfi analitik fonksiyonlar olmak üzere Bitsadze denkleminin çözümü

     

w z  z z z

dir. z 1 için, D sınırında w_D 0 olduğundan ^

 

^{z z}

 

^{z 0 dır.}

 

z z

 

z

   analitik olduğundan, bu eşitlik D bölgesinin tamamında doğrudur. O halde ^

 

^{z  z}

 

^z olduğundan, keyfi analitik  fonksiyonu için

  

^{1 2}

 ^{ }

w z   z  z

32 yazılabilir. Özel olarak ^

 

^{z zk, k} alınırsa,

  

^{1 2}



^k,

w zk   z z k

fonksiyonu Bitsadze denklemi için Dirichlet probleminin çözümüdür ve k için

k

 

w z çözümleri, bölgesinde lineer bağımsızdır.

Teorem 2.3.10. f L D₁



;



,  ₀, ₁C



D;



olmak üzere, D birim diskinde

0 1

, ,

zz D z D

w  f w_  w _ 

homogen olmayan Bitsadze denklemi için Dirichlet sınır değer probleminin çözülebilir olması için gerek ve yeter koşul z 1için olmasıdır. Bu durumda çözüm

 

0

 

1

   

33 İspat: Verilen sınır değer problemi

0

sistemine eşdeğerdir. Teorem 2.3.5 ten z 1 birim diskinde

   

çözülebilme koşulları altında

 

1

   

çözümleri mevcuttur. (2.48) fonksiyonu (2.49) da yerine yazılırsa

       

34 çözümü elde edilir. Bu ifadede

  

değerinin yerine yazılmasıyla (2.45) çözümü elde edilir. (2.48) fonksiyonu (2.46) da yerine yazılırsa

koşulu elde edilir.

  

değerinin son ifadede yerine yazılmasıyla (2.43) koşulu elde edilir.

Teorem 2.3.11. f L D1



;



C



D;



, ,  0 1C



D;



, c olmak üzere

homogen olmayan Bitsadze denklemi için Dirichlet-Neumann sınır değer probleminin çözülebilir olması için gerek ve yeter koşul zD olmak üzere

35 eşitliklerinin sağlanmasıdır. Bu durumda çözüm

 

⁰

  

¹

    

²

 

İspat: Verilen sınır değer problemi

 

36

çözülebilme koşulları altında

 

0

   

çözümleri mevcuttur. (2.53) ve (2.56) birlikte ele alınırsa

   

elde edilir. Diğer taraftan

37

(2.55) ve (2.56) birlikte ele alınırsa

           

olması nedeniyle (2.52) elde edilir.

Teorem 2.3.12. f L D1



;



, ,  0 1C



D;



, c olmak üzere, birim diskte

0 1

 

, , , 0

zz D zz D z

w  f w_  zw _  w c

38

eşitliğinin sağlanmasıdır. Bu durumda çözüm

       

İspat: Teoremin ispatı Teorem 2.3.6 yerine Teorem 2.3.7 kullanılarak bir öncekine benzer biçimde yapılabilir.

Teorem 2.3.13. f C^



D;



, 0  1, ,  _{0 1}C



D;



, , c₀ c₁ olmak üzere birim diskte

   

0 1 0 1

, , , 0 , 0

zz D z D z

w  f _w_  _w _  w c w c

homogen olmayan Bitsadze denklemi için Neumann probleminin çözülebilir olması için gerek ve yeter koşul zD için

39

eşitliklerinin sağlanmasıdır. Bu durumda çözüm

           

şeklindedir. Teoremin ispatı için [4] e bakılabilir.

Teorem 2.3.14. f L D1



;



, ,  0 1C



D;



, , c0 c1 olmak üzere birim

sınır değer probleminin çözülebilir olması için gerek ve yeter koşul, zD için

 

 

^{ }

 

  eşitliklerinin sağlanmasıdır. Bu durumda çözüm

40 dir. Teoremin ispatı için [4] e bakılabilir.

41

Belgede Poısson ve beltramı denklemleri için sınır değer problemleri (sayfa 23-47)