Tek Değişkenli ve Çok Değişkenli Kontrol Bölgesi

Şekil 3.1’de iki değişken için değişkenlerin tek tek kontrol çizelgelerinin (a,b) yanı sıra çok değişkenli kalite kontrol yöntemlerinden biri olan Hotelling T² çizelgesi

(c) yer almaktadır ⁽²⁸⁾. Daha ilerki bölümlerde ayrıntılı anlatılacağı üzere, Hotelling T² çizelgesi üzerindeki her nokta, tek değişkenli çizelgelerdeki noktaların ve iki değişken arasındaki kovaryans matrisinin bir fonksiyonudur.

Birinci değişkenin tek değişkenli çizelgesinde kontrol dışı noktalar mevcut iken ikinci değişkende kontrol dışı nokta yoktur. 8. ve 24. noktalar incelendiğinde; 8.

noktanın her iki tek değişkenli çizelgede kontrol bölgesinde yer aldığı ancak birinci değişken için orta çizginin altında ikinci değişken için ise orta çizginin üstünde yer aldığı görülmektedir. Ayrıca bu nokta T² kontrol çizelgesinde kontrol dışı olarak görülmektedir. Benzer şekilde 24. nokta her iki tek değişkenli çizelgede kontrol bölgesinde yer alıp birinci değişken için orta çizginin altında, ikinci değişken için orta çizginin üzerinde yer almaktadır. Ancak bu nokta T² çizelgesinde üst kontrol sınırının üzerinde yer almaktadır. İki ayrı tek değişkenli çizelgede kontrol bölgesinde yer alan noktaların T² çizelgesinde kontrol bölgesi dışında yer alması, sinyalin bu iki değişken arasındaki ilişkiden kaynaklandığını ifade etmektedir. Burada da görüleceği gibi çok değişkenli kontrol çizelgeleri tek değişkenli kontrol çizelgelerinin yakalayamadığı kontrol dışı durumları yakalayabilmektedir.

Şekil 2.2.a. Birinci Değişken için Kontrol Çizelgesi b. İkinci Değişken için Kontrol Çizelgesi c. İki Değişken için Hotelling T² Çizelgesi

(a)

(b)

(c)

Bağımsız iki değişkenin tek tek kontrol çizelgelerinin ( Shewhart çizelgeleri) oluşturulması ve incelenmesi de kullanılan bir yöntemdir. Ancak bu hem çok sayıda çizelgenin incelenmesi anlamına gelmektedir, hem de aralarında ilişki bulunan değişkenlerin hatalı yorumlanmasına neden olmaktadır. Çünkü Shewhart çizelgelerinde değişkenler bağımsız olarak ele alınmakta, diğer değişkenlerin etkisi göz ardı edilmektedir. Çok değişkenli kalite kontrol yöntemleri değişkenler arasındaki korelasyonu da dikkate aldığı için tercih edilmektedir. Şekil 2.3’de bir süreci etkileyen iki değişkenin tek değişkenli kontrol çizelgeleri ve çok değişkenli kontrol çizelgelerine geçişi görülmektedir ⁽¹⁾.

Şekil 2.3 Tek Değişkenli Kontrol Çizelgelerinden Çok Değişkenli Kontrol Çizelgelerine Geçiş

Değişkenlerin bağımsız olduğu kabul edildiğinde her iki değişkenin de kontrol bölgesinde yer alması durumunda süreç kontrol altında olacaktır. Bu

durumda gözlem değerlerinin her iki kontrol sınırlarının birlikte düşünülmesi ile oluşturulan dikdörtgen alan içerisinde yer alması sürecin kontrol altında olduğunu gösterir. Ancak çok değişkenli kalite kontrol çizelgelerinde değişkenler arasındaki ilişki de göz önüne alınmaktadır. Wierda’nın örneğinde⁽²⁸⁾, Shewhart çizelgelerinin yakalayamadığı noktaları Hotelling T² çizelgesinin yakalamasının nedeni de korelasyon yapısının hesaba katılmasıdır. Bu durumda değişkenler arasındaki korelasyonun da hesaba katıldığı yeni bir kontrol bölgesi (elips) oluşmaktadır. Elips, korelasyonun yönü ve büyüklüğüne göre değişmektedir. Ayrıca değişken sayısı arttıkça iki boyuttaki elips üç, dört, vs. boyutta elipsoid şeklini alır.

Şekil 2.4 Elips ve Korelasyon Arasındaki İlişki (r= korelasyon katsayısı)

Kontrol elipsini çizerek T² istatistik değerlerini Şekil 2.3’te olduğu gibi elips üzerinde işaretlemek mümkündür, ancak bunun iki dezavantajı vardır. Birincisi, çizilen noktaların zaman ardışıklığı kaybolacak ve bunun sonucu olarak gerekli işlemler kolaylıkla uygulanamayacaktır. İkincisi ise kalite değişkeninin ikiden fazla olması durumunda elipsleri (elipsoidleri) çizmek zorlaşacaktır. Bu zorlukları gidermek için χ² ya da F dağılımlarına dayalı Hotelling T² kontrol çizelgeleri kullanılmaktadır. Böylece zaman ardışıklığı korunmuş olur, ayrıca iki veya daha

r = 0 r <0 r >0

fazla değişkenden oluşan süreçler için sürecin durumu tek bir Hotelling T² istatistik değeri ile ifade edilir. Bu çizelgeler ile kontrol dışı durumlar daha isabetli şekilde saptanmakta ancak bu şekilde p boyutlu gözlem vektörünün tek bir değere indirgenmesi de kontrol dışı durum sinyalinin yorumunu zorlaştırmaktadır ⁽¹⁾.

Hotelling T² çizelgeleri yerine tek değişkenli çizelgeleri eş zamanlı izlemenin bir önemli dezavantajı Tip I hatasını belirlemenin değişken sayısının artması ve korelasyon matrisinin genişlemesiyle zorlaşmasıdır. Bağımsız varsayılan, Tip I hatası α olan tek değişkenli çizelgelerin eş zamanlı izlenmesi halinde, p adet değişken için Tip I hatasının değeri αs =1-(1- α )^p olur. Örneğin, Shewart çizelgesinde kontrol sınırlarının orta çizgiden ±3σ uzakta olması durumunda Tip I hatası α = 0,0027 (1-α = 0,9973) olarak hesaplanır. İki değişkenli bir süreçte değişkenlerin eşzamanlı olarak kontrol bölgesinde yer alması olasılığı (0.9973 x 0,9973) = 0,9946; eş zamanlı tip I hatası ise (1-0,9946 = 0,0053) olacaktır. Şekil 2.5’de iki değişkenli süreç için eşzamanlı kontrol bölgesinin grafiksel gösterimi yer almaktadır.

Şekil 2.5 İki Değişkenin Eş Zamanlı Kontrol Bölgesi

Korelasyon göz önünde bulundurulduğunda (değişkenler bağımsız olmadığında), yukarıdaki hesaplama geçersiz sayılacak ve Tip I hatası değerleri

farklı olacaktır. Değişkenler arasındaki kovaryans matrisinin yapısına göre Tip I hatası değerini belirlemek zorlaşacaktır. Hayter vd⁽¹⁴⁾, bunun için Monte-Carlo benzetimini önermiştir.

Tip I hatasının belirlenmesi Tip II hatası (β) ile birlikte düşünülmelidir. α ve β ters orantılıdır. Örneğin bir kimyasal süreçte bir bileşenin üst kontrol sınırı ile belirtilen bir seviyenin üstünde değer almasının tehlikeli sonuçlar oluşturacağını düşünelim. Bu süreçte Tip II hatasının yapılması durumunda bileşenin tehlikeye neden olacak değeri kabul edilecektir. Tip I ve Tip II hataları dengeli olmalıdır ⁽²⁹⁾.