Tek Değişkenli Lineer Olmayan Genetik Algoritma (NLGA1)

Bölüm 3’te eşitlik (3.1) ile verilen tek değişkenli lineer olmayan model,

n t e θ x f Y_t = ( _t, )+ _t, =1,2,...,

ve modelin bilinmeyen parametreleri θ=(θ₁,θ₂,...,θ_p)′ olmak üzere θ parametre vektörünün tahmin edilmesi için,

[

]

2 min

∑

= − = n 1 t t t f(x ,θ) Y ) θ Q( (4.1)

hata kareler toplamı ifadesini minimum yapan θ değeri araştırılacaktır. Bu amaçla oluşturulan genetik algoritma tek değişkenli lineer olmayan genetik algoritma NLGA1 olarak adlandırılmıştır. NLGA1’e ilişkin seçilen parametreler başlangıç değerleri ve kullanılan operatör bilgileri aşağıda verildikten sonra algoritmanın işleyiş adımları örnek üzerinde gösterilmiştir.

NLGA1’de kullanılan parametreler,

N : Gözlem sayısı

i

Y : Bağımlı değişken gözlem değerleri (i=1 …,2, ,N ) i

X : Bağımsız değişken gözlem değerleri (i=1 …,2, ,N )

p : Modeldeki toplam parametre sayısı

) , (x_t θ f : Tepki fonksiyonu i θ : Bilinmeyen i.parametre c p : Çaprazlama olasılığı m p : Mutasyon olasılığı i

alt : i. parametre alt sınır değeri

i

üst : i. parametre üst sınır değeri

pop

N : Her bir nesildeki populasyon büyüklüğü

nesil

Max : Maksimum nesil büyüklüğü t

i

hkt : t. nesildeki i.bireyin uygunluk değeri (t =1,2,...,Max_nesil) t

i

f : t. nesildeki i. bireyin tepki fonksiyonu değeri (t=1,2,...,Max_nesil)

olmak üzere gerçek kodlama kullanılan NLGA1’de seçim yöntemi olarak rulet çemberi yöntemi, mutasyon operatörü için çok nokta mutasyon operatörü kullanılmıştır. NLGA1’de elitist seçim stratejisi kullanılarak optimum çözüme daha hızlı yakınsama amaçlanmıştır. Örnek1 üzerinde NLGA1’in uygulaması yapılarak algoritmanın işleyişi gösterilmiştir.

Örnek1 : 3 t _t 2 t 1 1 e x θ e θ x θ

Y = + + ₁ , 3 parametreli modelin parametre değerleri 5

1 =

θ , θ₂ =3, θ₃ =1 ve e_1t hata değerleri normal dağılımdan üretilerek elde edilen X ve Y değerleri çizelge (4.1.) de verilmiştir(Genç 1997).

Çizelge 4.1. Örnek1 için üretilen değerler

X -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1.5 2

1

Y _{-16.29 -14.71 -10.81 -7.06 -7.03 -0.083 2.11 8.45 20.24 31.69}

2

Y _{6.94 -1.21 3.52 -3.65 -1.56} 0.56 3.96 4.48 13.88 22.38

Örnek1 için kullanılan amaç fonksiyonu (4.1) eşitliği ile verilen hata kareler toplamı olmak üzere NLGA1 parametre değerleri,

N=10 (Gözlem sayısı)

10

0 =

= _i

i üst

alt i=1,2,3 ( Parametre alt ve üst sınır değerleri)

x e x x f 3 2 1 ) ( =θ +θ θ , tepki fonksiyonu pop

N =2000, her bir nesildeki populasyon büyüklüğü 90 . 0 = c p ve p_m =0.10

şekilde belirlenmiştir. NLGA1’in işleyiş adımları aşağıda verilmiştir.

1. İterasyon indisi t=1 alınır. Her bir parametre için (alt_i ≤θ_i ≤üst_i i=1,2,..p) değerleri düzgün dağılımdan rasgele üretilir. Üretilen bu değerler GA’da bir bireyi dolayısıyla bir çözümü ifade eder. Npop parametre değeri aynı şekilde rasgele üretilerek başlangıç populasyonu oluşturulur.

2. Başlangıç populasyonundaki bireylerin ( Npop adet) f x θ x θ eθ3x 2 1 + = ) ( tepki fonksiyonundaki değerleri ( t

i

f ) hesaplanır.

3. Hesaplanan tepki değerleri (4.1) eşitliğinde yerine yazılarak her bir bireyin uygunluk değeri (Hata Kareler Toplamı) hesaplanarak t

i

hkt değerleri

oluşturulur. 4. t

i

hkt değerlerine göre bireyler küçükten büyüğe sıralanır. Uygunluk değeri en

kötü olan populasyon büyüklüğünün %75’i kadar birey yeniden üretilerek t

i

hkt değerleri hesaplanır ve bireyler küçükten büyüğe sıralanır. t i

hkt değeri

küçük olan bireyler çözüm için daha uygun bireyleri temsil ettikleri için güçlü olan yaşar ilkesine göre bu bireylerin sonraki nesillere aktarılma olasılıklarının yüksek olması gerekir. Populasyondaki bireylerin t

i

hkt

değerleri ile ters orantılı olarak sonraki nesle seçilme olasılıkları,

∑ = = pop N t i t i i hkt hkt i p 1 1 1 1 ) ( (4.2) ve

∑

= = pop N i i p 1 1 )

( olacak şekilde hesaplanır.

5. Adım 4’te hesaplanan p(i) değerleri rulet çemberi seçim yönteminde oluşturulan her bir çember diliminin büyüklüğünü temsil eder. Bir sonraki nesle aktarılacak birey sayısı N_pop kadardır. [0,1] aralığından N_pop adet rasgele sayı üretilir, üretilen sayıların rulet çemberindeki karşılığı olan birey bir sonraki nesle seçilerek N_pop adet birey sonraki nesil için aday populasyonu oluşturur.

6. Adım 5’te oluşturulan aday populasyondaki her bir birey için [0,1] aralığından rasgele bir r sayısı üretilir. Eğer r< p_c oluyorsa ilgili birey çaprazlama işlemine tabi tutulur. Çaprazlama işlemi gerçekleştirilirken iki birey birey1=

{

a₁,a₂,…,a_p

}

ve birey2=

{

b₁,b₂,…,b_p

}

ebeveyn olarak

seçilir.a ve _i b ebeveyn bireylerin parametre değerlerini ifade etmek üzere p _i

parametreli problem için [1,p] aralığından rasgele bir tamsayı değeri üretilir. Rasgele üretilen tamsayı değeri(i) ile ebeveyn bireylerin çaprazlama noktası oluşturulur. Çaprazlama noktası oluşturulduktan sonra 0<α_i <1 rasgele sayısı üretilir. a_i′ =α_ia_i +(1−α_i)b_i ve b_i′ =α_ib_i +(1−α_i)a_i olmak üzere yeni evlatlar,

{

a a ai bi bn

}

evlat1= ₁, ₂,…, ′, ₊₁,…,

{

b b bi ai an

}

evlat2= ₁, ₂,…, ′, ₊₁,…,

şeklinde oluşturulur. Bu işlem N_pop kez tekrarlanarak çaprazlama işlemi tamamlanır.

7. Çaprazlama işleminden sonra populasyondaki her bir birey için [0,1] aralığından rasgele bir r sayısı üretilir. Eğer r< p_m oluyorsa ilgili birey mutasyon işlemine tabi tutulur. Mutasyon işlemine tabi tutulacak birey (birey1=

{

a₁,a₂,…,a_p

}

) seçilir. Seçilen bireyin mutasyona uğrayacak geni [1,p] aralığından rasgele bir tamsayı değeri (i) üretilerek belirlenir. Populasyondan rasgele bir birey birey2=

{

b₁,b₂,…,b_p

}

seçildikten sonra birinci bireyin mutasyona uğrayacak geni (a ) için _i 0<α_i <1 rasgele sayısı üretilir. Mutasyona uğrayan yeni gen a_i″ =α_ia_i +(1−α_i)b_ive b ile _i

değiştirilerek mutasyon işlemi gerçekleştirilir. Bu işlem N_pop birey için uygulanarak mutasyon işlemi tamamlanır.

8. Bu adımda çaprazlama ve mutasyon işlemi sonunda oluşturulan bireyler bir sonraki nesil için başlangıç populasyonu ile değiştirilir. Bu nesildeki en küçük t

i

hkt değerine sahip birey bir sonraki nesildeki başlangıç

populasyonuna gönderilerek en iyi çözüm saklanmış olur böylece elitist seçim stratejisi gerçekleştirilerek sonraki nesillerde daha küçük t

i

hkt

9. Max_nesildeğerine ulaşıldıysa işlem durdurulur ve en küçük t i

hkt değerine sahip

bireyler çözüm olarak belirlenir. Max_nesil değerine ulaşılana kadar t = t+1 alınarak 2. adıma dönülür.

Çizelge 4.2. Örnek1 verisi için parametre tahmin değerleri

Parametre Gauss Newton NLGA1

θ₁ 5.659 5.702

θ₂ 2.807 2.627

θ3 0.985 1.019

HKT 9.386 9.159

Gauss-Newton yöntemi için parametre başlangıç noktaları θ₁ =3.5 θ₂ =4 ve 5

. 1

3 =

θ alınarak elde edilen modellerin tahmin değerleri ve NLGA1 ile elde edilen tahmin değerleri çizelge (4.2.)de verilmiştir. Çizelge (4.2.)’deki sonuçlara göre Gauss Newton algoritması ile elde edilen parametre tahmin değerleri incelendiğinde NLGA1 ile elde edilen hata kareler toplamının daha düşük olduğu görülmektedir.

Örnek 2 : Y x_t x_t2 e_2t

6 5 4

2 =θ +θ +θ + , 3 parametreli modelin parametre değerleri

2

4 =

θ , θ5 = 5, θ6 = 2 ve e1t hata değerleri normal dağılımdan üretilerek elde edilen değerler çizelge (4.1.)’de verilmişti. Bu değerler kullanılarak NLGA1 ile elde edilen tek değişkenli modele ilişkin parametre tahmin değerleri çizelge (4.3.)‘de verilmiştir.

Parametre Gauss Newton NLGA1 4 ˆθ 2.041 2.083 5 ˆθ 5.425 5.420 6 ˆθ 2.193 2.183 HKT 39.526 39.535

Gauss-Newton yöntemi ve NLGA1 ile elde edilen modellerin tahmin değerleri çizelge (4.3.)’de verilmiştir. Çizelge (4.3.)’deki sonuçlara göre Gauss Newton algoritması ile elde edilen parametre tahmin değerleri ile NLGA1 ile elde edilen değerlerin birbirine yakın olduğu görülmektedir.

Belgede Çok değişkenli lineer olmayan modellerde genetik algoritma (sayfa 61-67)