mica de risers, a partir do Teorema de Pi-Buckingham, a fim de avaliar a importância dos parâmetros adimensionais apresentados e definidos na Equação 3.29. A avalia- ção será feita tendo como base os resultados analíticos desenvolvidos em (Aranha & Pinto, 2001). Outros trabalhos poderão ser, eventualmente, citados.
Πd=
Td(s, t)
T0
= Ψ2(ΠH, ΠA, ΠL, Πλ, ǫ0, Πθ, ΠT, ΠK, Πc0, Πat, Cm, Cd, Πs, Πt) (3.53)
A importância relativa dos adimensionais será avaliada, parâmetro a parâmetro da re- ferida equação, de maneira a avaliar sua função em cada termo para, posteriormente, findar a avaliação em busca de uma associação global entre os coeficientes adimen- sionais e o comportamento dinâmico do riser.
Neste ponto, cabe uma nota importante: a formulação de Aranha & Pinto (2001) uti- lizou a Teoria de Cabos para determinar o equacionamento para a tração dinâmica. Nese sentido, quando necessário, serão recuperados trechos da formulação de Pesce (1997), de maneira a evidenciar o papel de determinados adimensionais.
Além disso, na equação para Πd, aqui recuperada, é possível perceber a introdução de
dois novos parâmetros adimensionais, inexistentes na Equação 3.29 original, ΠA= ALms
e ΠL = L
′
Ls =
Πat
ηΠθ, esse último escrito como função de outros adimensinais.
A formulação analítica para a tração dinâmica proposta por Aranha & Pinto (2001) pode ser resumida pelas Equações 3.40, para a amplitude da tração dinâmica ao longo da coordenada curvilínea s; 3.50, que incorpora o caráter oscilatório da resposta dinâmica; e 3.51 que modula ajusta a amplitude τ(s) pela tração elástica definida anteriormente, sob as definições que as acompanham.
Percebe-se, então, das definições da tração elástica e das equações citadas, a re- lação de proporcionalidade direta entre a amplitude Am do movimento imposto e a
magnitude da resposta em tração. Assim, usando os adimensionais ΠAe ΠL: b TD(s, t) = EA a · ΠA 1 + ΠL ! · τ(s) · e−i(ωt+φ) (3.54)
Ademais, o fator 1 + ΠL > 1 corresponde a um termo de redução da amplitude de
resposta, visto que, por definição, ΠL > 0.
Nos casos em que o riser não estiver ancorado, é possível que o trecho repousado no solo, Lg, devido ao seu peso próprio imerso e ao coeficiente de atrito entre a linha e o
Nessa situação, é possível explicitar outra relação para a resposta dinâmica em tração, obtida a partir da Equação 3.54 e da definição dos coeficientes adimensionais obtidos para o problema em questão. Assim:
b TD(s, t) = EA a · η · ΠA· Πθ Πat+ ηΠθ ! · τ(s) · e−i(ωt+φ) (3.55)
Nesses casos, a curvatura no TDP, bem como o citado coeficiente de atrito estático, são diretamente proporcionais a Πd e, consequentemente, à tração efetiva ao longo
do comprimento suspenso e do tempo.
A frequência reduzida Ω, definida pela Equação 3.43, é uma das variáveis que mais aparece na formulação para a tração dinâmica, o que torna mais complexa a avaliação do seu efeito sobre a resposta dinâmica do riser – vide a dependência de b(Ω), c2(s),
d(Ω) e (Ω) com relação a esse parâmetro.
É possível reescrever a expressão para a frequência reduzida, com base nos adimen- sionais definidos anteriormente:
Ω = Πco · (1 + ΠL) Λ = Πco · q (1 + ΠL) Πθ·√I2·√ǫ0 (3.56)
Mesmo diante dessa complexa relação entre Ω e TbD(s, t), é possível deduzir alguns
resultados interessantes, a partir dos valores limítrofes da frequência reduzida.
Por exemplo, nos casos em que Ω ≫ 1, com ω
ωe ≪ 1, segue que τ(s) → a. Tal con-
clusão é facilmente comprovada, a partir do fato de que, para essa situação particular,
b(Ω) → 0, c1 = c2 = 1 e e(Ω) → a. Substituindo essas relações na Equação 3.40, fica
evidente que |TbD(s, t)| → a · TE.
Na prática, essa situação corresponde a cabos com altas relações entre as projeções horizontal e vertical, sob excitações de baixa frequência, de sorte que os efeitos da rigidez axial prevaleçam sobre a rigidez geométrica. Economicamente, esse caso é pouco provável, embora facilmente verificável em experimentos. Nesse sentido, recomenda-se uma investigação pormenorizada dos resultados de (Simos & Fujarra, 2006). No limite, um cabo horizontal retesado é capaz de reproduzir esse resultado com bastante fidelidade. Essas deduções são facilmente depreendidas da 3.56, desde que o leitor entenda os efeitos físicos relacionados aos adimensionais envolvidos. O mesmo resultado para a amplitude da tração dinâmica, |TbD(s, t)| → a · TE, pode ser
recuperado nas situações em que σU
D ≫ 1, o que implica em ζ0 ≫ 1. Essa relação é
diretamente apresentada na Equação 3.41 e corresponde a casos em que a amplitude de excitação no topo é muito maior que o diâmetro externo da linha, ou seja, Am
D ≫ 1.
Nos ensaios realizados para os objetivos desta tese, 3, 4 . Am
Nas situações descritas, a tração dinâmica pode ser considerada constante ao longo da linha. Cumpre notar, adicionalmente, que o parâmetro ζ0 encerra, explicitamente,
uma dependência linear com o coeficiente de arrasto CD, bem como uma relação
ímplicita com o coeficiente de inércia de Morison, Cm.
Outro adimensional recorrente na formulação da amplitude da tração dinâmica é Πs,
pelo fato de exprimir a posição ao longo do comprimento suspenso do riser. O mesmo poderia ser, facilmente, feito com relação a Πt, por exemplo. Para os objetivos do
presente trabalho, é essencial o conhecimento da série de tração dinâmica no TDP, o que corresponde à nulidade de Πs e consequente unidade dos valores de c1 e c2.
Postas essas considerações, a análise dimensional permitiu a elucidação de diversos termos da formulação para a tração dinâmica. Considerando o trabalho de Aranha & Pinto (2001) como um todo, apenas alguns dos adimensionais relacionados com a dinâmica de risers não foram explicitados no equacionamento considerado:
• ΠH, dada a suposição de que o movimento imposto é prescrito na linha d’água;
• Πλ, pela aproximação do riser pela “Teoria de Cabos”, o que desconsidera os
efeitos da rigidez flexional; e
• ΠK, visto que a interação com o solo não foi considerada, no sentido da incorpo-
ração de efeitos relacionados à sua rigidez.
O Capítulo 2 apresentou diversos trabalhos em que tais efeitos são considerados, dentre os quais é possível citar: (Aranha et al., 1993), (Aranha et al., 1997), (Pesce et al., 1998b), (Pesce et al., 2006), dentre outros.
3.3 Compressão Dinâmica em Risers
A presente seção apresentará o problema da compressão dinâmica de risers em ca- tenária, a partir da mesma estrutura das seções precedentes, iniciando com a apre- sentação dos adimensionais que regem o problema, seguida pela apresentação das formulações analíticas para, por fim, discutir a relação entre ambas as abordagens. 3.3.1 Adimensionais que regem a compressão dinâmica de risers em catenária Inicialmente, é possível proceder à adimensionalização da carga crítica de Euler, na forma apresentada na Equação A.15, pela tração horizontal.
PE T0 = q (m + ma) · EI T0 · ω = λf · ω c0 = Πc0 (3.57)
Cumpre notar que a relação estabelecida aponta para o significado físico do adimen- sional Πc0, que representa a relação entre os efeitos das rijezas flexional e geométrica,
a partir dos seus respectivos comprimentos de onda.
Em (Aranha et al., 2001), a dedução da carga crítica para vigas curvas (no caso, um riser em catenária), é feita a partir da formulação para vigas retas, considerando a curvatura no TDP como condição de contorno. Assim, as variáveis escolhidas para a avaliação da carga crítica de flambagem de vigas são µ = m + ma, dado o caráter
dinâmico do problema; T = 2π
ω e Am, relativas aos parâmetros de excitação; além de q
e T0, a fim de incorporar a curvatura da catenária no TDP. Assim:
Pcr = Ψ3(q, T0, EA, EI, Am, T, µ)
De maneira que a aplicação do Teorema de Pi-Buckingham leva a:
Pcr T0 = Ψ3 T · s T0 m + ma · s T0 EI, Am· s T0 EI, q T0 · s EI T0 ,EA T0 (3.58)
Utilizando os adimensionais definidos anteriormente e estabelecendo, a partir do re- sultado anterior, ΠAm =
Am
λf =
ΠA
Πλ, é possível reescrever a Equação 3.58. Assim :
Πcd =
Pcr
T0
= Ψ3(Πc0, ΠA, Πλ, ǫ0) (3.59)
Por enquanto, o estabelecimento dos coeficientes adimensionais é suficiente para os propósitos da presente seção. Essa formulação será retomada adiante, no Item 3.3.3.