Tanımsal Programın Dışında Öğretim Elemanlarına Ait Bir Programın Uygulama İhtiyaçları ve Bu Programın Program Geliştirme

1.5

Conclusões

Neste capítulo observamos para as séries em análise basicamente que:

- todas as séries foram inuenciadas, em maior ou menor proporção, pelas crises que abalaram o mercado naceiro ao longo da segunda metade da década de 90. A consequên- cia destes choques foi um grande aumento da volatilidade, além de uma diminuição dos retornos, para os períodos imediatamente subsequentes a estas crises.

- as séries brasileiras, Índice Bovespa e série de Petrobrás, são muito mais voláteis que as duas séries americanas em análise.

- todas as séries apresentam uma clara assimetria de respostas a choques, sendo que são muito mais sensíveis a choques negativos que a choques positivos, ou seja, quando o mercado cai a série tem uma volatilidade muito maior do que quando este sobe.

- as séries em análise apresentam alguma assimetria, esta entretanto pode estar ligada aos valores extremos observados.

- há presença de caudas pesadas, ou seja, leptocurtose para todas as séries de retornos. Com isto, distribuições leptocurticas, como a t-Student, podem ser mais adequadas para modelarmos os retornos das séries.

- existem evidências de estrutura autoregressiva para as séries, em especial para as séries brasileiras, porém, dado a presença de estruturas não-lineares para as séries esta evidência é não pode ser conrmada.

- as séries claramente apresentam estruturas não-lineares, devido a presença de estru- tura na volatilidade.

1.5 Conclusões 30

- existe tanto para as séries brasileiras, Índice Bovespa e Petrobrás, quanto para as séries americanas uma clara correlação tanto na média quanto na volatilidade destas. Entre as séries dos dois países esta relação não se verica ou é muito tênue.

1.5 Conclusões 31 0 50 100 150 200 250 300 -0.10 -0.05 0.00 0.05

11.Histograma da série de retornos do Índice Nasdaq

0 100 200 300 400 -0.06 -0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04

1.5 Conclusões 32 -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 -0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 Retorno da Petrobrás

Retorno do Índice Bovespa

13.Diagrama de dispersão -0.15 -0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10 -0.10 -0.05 0.00 0.05

Retornos do Índice Dow Jones

Retornos do Nasdaq

Appendix A

Apêndice: Conceitos Básicos

A.0.1

Autocovariância e autocorrelação

Seja uma sérief Yt; t = 0; §1; §2; :::g. A função de autocovariância desta série será dada

por:

°(h) = Cov(Yt + h; Yt)

De outra parte, a função de autocorrelação será dada por:

½(h)´ °(h)

°(0) = Cor(Yt + h; Yt)

A.0.2

Ergodicidade

Uma sérief Yt; t = 0; §1; §2; :::gé dita ergódica na média quando:

¹ yt ´ 1 T T X t = 1 yt P ! E(Yt)

onde !P representa convergência em probabilidade27_{. Além disto, temos que a série é dita}

ergódica na variância quando:

27 _{Uma referência dos conceitos de convergência é dada em Mittelhammer (1996).}

Appendix A Apêndice: Conceitos Básicos 34 · 1 T ¡ j ¸ _XT t = j + 1 (Yt ¡ ¹)(Yt ¡ h ¡ ¹) P ! °(h),8 h 2 Z

A.0.3

Estacionariedade

Uma série f Yt; t = 0; §1; §2; :::g é dita estacionária, de forma geral, se ela tem pro-

priedades estatísticas similares para outro período da série f Yt + h; t = 0; §1; §2; :::g 8

t 2 Z:Os processos estacionários podem ser dividido em dois tipos: 1. Covariantes estacionários

2. Estritamentes estacionários

O processo é covariante estacionário - ou estacionário de segunda ordem - se possui média constante, variância nita e as autocovariâncias independem do tempo. Matemati- camente teremos que:

E[Yt] = ¹ ; 8 t 2 Z

E[Yt2] = const ante < 1 ; 8 t 2 Z

E[(Yt ¡ ¹)(Yt ¡ h ¡ ¹)] = °h; 8 t; h 2 Z

O processo estritamente estacionário f Yt; t = 0; §1; §2; :::gé dado pela condição

de que(Y1; Y2;:::; Yn) e(Y1+ h;Y2+ h; :::; Yn+ h) 8 n; h 2 Z tem a mesma distribuição. Triv-

ialmente observamos que qualquer processo estritamente estacionário é covariante esta- cionário.

Appendix A Apêndice: Conceitos Básicos 35

A.0.4

Linearidade

Uma sérief Yt; t = 0;1;2; :::gé dita linear se puder ser descrita da seguinte forma:

Yt = 1

X

i = 0 ª i"t ¡ i

onde o processo f "t; t = 0;1;2; :::gé ruído branco estrito, e fª i; i = 0;1;2; :::gé

uma sequência de constantes tal que:

1

X

i = 0

ª 2_i < 1

A.0.5

Estatística Q

Ljung et alli (1978) apresentam a estatística dada por:

Q= T(T+ 2) s X k= 1 °2_k (T ¡ k)

onde Q tem distribuiçãoÂ2_{comsgraus de liberdade.}

A.0.6

Ruído Branco

Uma sérief Yt; t = 0; §1; §2; :::gé dita ruído branco se possui média constante -E[Yt] =

¹ ; 8 t 2 Z -, e as autocovariâncias são nulas -E[(Yt ¡ ¹)(Yt ¡ h ¡ ¹)] = 0; 8 t; h 2 Z:

Para esta série ser covariante estacionária teremos ainda que a variância deve ser nita e constante -E[Yt2] = ¾2< 1 ; 8 t 2 Z:

Appendix A Apêndice: Conceitos Básicos 36

A.0.7

Ruído Branco Estrito

Uma série f Yt; t = 0; §1; §2; :::gé dita ruído branco estrito se as observações Yt são

independentes.

A.0.8

Teste LM ARCH - Engle (1982)

Engle (1982) apresenta um teste simples para testar se os resíduos de uma regressão ex- ibem alguma estrutura na variância. Este teste é baseado no princípio do multiplicador de Lagrange. Primeiro é estimado a regressão dada por:

yt = xt0¯ + ut (1)

Com os resíduos da regressão (A.1) -ut - fazemos a seguinte regressão:

u2_t = ! + ®1u2t ¡ 1+ ®2u2t ¡ 2+ :::+ ®mu2t ¡ m + "t

para t = 1,2,....,T. O tamanho da amostra - T - vezes oR2_{centrado da regressão converge}

em distribuição para umaÂ2_{commgraus de liberdade sobre a hipótese nula queu}

t é i.i.d.

N(0; ¾2):

A.0.9

Teste de viés de sinal - Engle e Ng (1993)

Engle e Ng (1993) apresentam um teste para vericar se há leverage effect nos resíduos da regressão (A.1). Com os resíduos desta regressão são calculadas três regressões dadas por:

Appendix A Apêndice: Conceitos Básicos 37 u2_t = ! + ¯1St ¡ 1¡ ut ¡ 1+ ®1ut ¡ 12 + ®2u2t ¡ 2+ :::+ ®mu2t ¡ m + "t (A.2) u2_t = ! + ¯₁S_{t ¡ 1}+ ut ¡ 1+ ®1ut ¡ 12 + ®2u2t ¡ 2+ :::+ ®mu2t ¡ m + "t (A.3) u2t = ! + ¯1S + t ¡ 1ut ¡ 1+ ¯2S ¡ t ¡ 1ut ¡ 1+ ®1u2t ¡ 1+ ®2u2t ¡ 2+ :::+ ®mu2t ¡ m + "t(A.4)

onde S_{t ¡ 1}¡ é uma variável dummie igual a 1 quando ut ¡ 1 < 0e 0 quando ut ¡ 1 ¸ 0; e

S_{t ¡ 1}+ = 1¡ S_{t ¡ 1}¡ :

Para as regressões (A.2) e (A.3) temos que o teste será dado pela estatística t do parâmetro¯1:De outra parte, para a regressão (A.4) temos que o tamanho da amostra - T

- vezes oR2centrado da regressão converge em distribuição para umaÂ2com 2 graus de liberdade sobre a hipótese nula queut é i.i.d.N(0; ¾2):

Chapter 2

Modelos de Volatilidade Condicional

Ao longo da década de 90, o mercado nanceiro mundial sofreu um conjunto de choques - as crises nanceiras - que abalaram em muito a grande maioria dos mercados, conforme ilustramos no capítulo anterior. Estas crises provocaram grandes prejuízos a gru- pos nanceiros mundiais, entre outros: Barings Bank, Long Term Capital Management,

Metallgesellschaft, Orange County e a grupos brasileiros: FonteCidam e Banco Marka28_.

Estes prejuízos ocorreram principalmente porque estas instituições não monitoraram de forma apropriada o risco inerente as posições que possuíam no mercado nanceiro. Várias instituições nanceiras e/ou acadêmicas, durante os últimos anos, tentaram criar ferramen- tas de controle de risco para o mercado nanceiro, dado as crises e perdas nanceiras provocadas por estas.

A ferramenta mais importante e que ganhou maior destaque e respeitabilidade no mercado nanceiro, para monitorar o risco de mercado, foi o Value-at-Risk (VaR), de- senvolvida por J. P. Morgan (1994). Para uma análise mais detalhada deste método ver, entre outros, Jorion (2000) e Dowd (1998)29_{. Um insumo importante para este modelo de}

risco, assim como os demais, é o cálculo da volatilidade condicional. O dois primeiros métodos utilizados pelos sistemas de risco para o cálculo da volatilidade foram o desvio- padrão histórico e o alisamento exponencial (EWMA). O primeiro método depende muito

28 _{Uma análise das perdas nanceiras das instituições internacionais mencionadas é encontrada entre outros}

em Jorion (2000) e Duarte (1998).

29 _{Para uma análise das ferramentas disponíveis para controle de risco no mercado brasileiro ver o site}

http://www.risktech.com.br.

2 Modelos de Volatilidade Condicional 39

do tamanho da janela escolhida e dá um peso igual a todas as observações desta janela. De outra parte, o EWMA apresenta para os retornos uma distribuição não-condicional degen- erada, sem encontrar base empírica para este fato.

Na literatura econométrica duas classes de modelos lidam com o problema da esti- mação da dinâmica e previsão das volatilidades dos ativos nanceiros. A primeira classe de modelos que tenta modelar a volatilidade dos ativos nanceiros foi apresentada na lit- eratura inicialmente por Taylor (1980). Neste estudo, onde a volatilidade condicional é modelada como uma variável não-observada, temos a classe de modelos de volatilidade es- tocástica. Devido as diculdades teóricas e computacionais existentes na época este modelo só se tornou popular na literatura econométrica após o trabalho de Harvey et alli (1994) e Ruiz (1994). Nestes dois trabalhos é utilizada a estimação pelo método de quase-máxima verossimilhança e a estimativa para a volatilidade é obtida pelo ltro de Kalman (1960). Nos últimos anos com o desenvolvimento computacional foi possível que outros méto- dos intensivos computacionalmente surgissem. Entre estes podemos destacar o trabalho de Jacquier et alli (1994), que propõe um procedimento bayesiano para a estimação de modelos bayesianos, e Andersen e Sorensen (1996), que propõe uma aplicação do método generalizado dos momentos (GMM) para estimar aos parâmetros dos modelos de volatili- dade estocástica. Neste trabalho não desenvolveremos esta classe de modelos, devido a sua maior complexidade para os modelos que incorporam mudança de regime.

Outro modelo que surge na literatura econométrica para tentar modelar a volatilidade condicional surge com o trabalho de Engle (1982), que tenta modelar a volatilidade da in- ação inglesa entre 1955 e 1977 utilizando a volatilidade passada. Este é denominado Au-