Tanım ve Karşılaştırmalar

Tanım 4.2.1. f :



X, , I

 

 Y,



bir fonksiyon olsun. Her xX noktası ve

Y uzayının f

 

x _{noktasını içeren her V açık kümesi için,} f pıCl U



 

V olacak şekilde bir UPIO X x



,



kümesi varsa f fonksiyonuna strongly -pre-I sürekli fonksiyon denir. Kısaca str.θ.pre.I.c. fonksiyon olarak gösterilir.

Uyarı 4.2.1. Bir ideal topolojik uzaydaki her strongly θ-sürekli fonksiyon strongly θ-pre-I süreklidir fakat karşıtı aşağıdaki örnekte de görüldüğü gibi doğru değildir. Örnek 4.2.1.



, ,



,



, ,

 

,



,

 

, ,



, ,{ } ,





,

 

X  a b c    X b c Y  b c   Y c I   a



 



: , , ,

f X  I  Y  f a( ) f c( )b, f b( )c şeklinde tanımlı bir fonksiyon olsun. f _{fonksiyonu strongly θ-pre-I süreklidir fakat strongly θ-sürekli değildir.}

Uyarı 4.2.2. Bir ideal topolojik uzaydaki her strongly θ-pre-I sürekli fonksiyon pre-I süreklidir fakat karşıtı aşağıdaki örnekte de görüldüğü gibi doğru değildir. Yani strongly θ-pre-I süreklilik kavramı strongly θ-süreklilik kavramından daha zayıf, pre-I-süreklilik dolayısıyla da pre süreklilik ve weakly I-pre süreklilik kavramlarından da daha kuvvetli bir süreklilik çeşididir.

Örnek 4.2.2.



, ,



,



, ,{ },

 

,



,

 

, ,



, ,{ } ,





,

 

X  a b c    X b a b Y  b c   Y b I   a



 



: , , ,

f X  I  Y  f a( ) f c( )c, f b( )b şeklinde tanımlı bir fonksiyon olsun. f _{fonksiyonu pre-I-süreklidir fakat strongly θ-pre-I sürekli değildir.}

Uyarı 4.2.3. Bir ideal topolojik uzaydaki her strongly θ-pre-I sürekli fonksiyon strongly θ-pre süreklidir fakat karşıtı aşağıdaki örnekte de görüldüğü gibi doğru değildir.

Örnek 4.2.3.



, ,



,



, ,{ , } ,





, ,{ , } ,





,

 

X  a b c    X a b   X a c I   b ve f :



X, , I

 

 X,



birim fonksiyon olsun. f _{fonksiyonu strongly θ-pre süreklidir fakat strongly θ-pre-I}

sürekli değildir

Uyarı 4.2.4. Bir ideal topolojik uzaydaki strongly θ-pre-I süreklilik ve süreklilik kavramları tamamen birbirinden bağımsız kavramlardır:

Örnek 4.2.4. 4.2.1. Örnekte verilen fonksiyon strongly θ-pre-I süreklidir fakat sürekli değildir.

Örnek 4.2.5. 4.2.2. Örnekte verilen fonksiyon süreklidir fakat strongly θ-pre-I sürekli değildir.

Uyarı 4.2.5. Bir ideal topolojik uzaydaki strongly θ-I sürekli fonksiyon ve strongly θ-pre-I sürekli fonksiyon kavramları tamamen birbirinden bağımsız kavramlardır:

Örnek 4.2.6. X 



a b c, ,



, 



,X b,{ } ,



Y

 

a c, ,



, ,{ } ,Y c



I



,

 

b





 



: , , ,

f X  I  Y  f a( ) f c( )a, f b( )c şeklinde tanımlı bir fonksiyon olsun. f _{fonksiyonu strongly θ -I süreklidir fakat strongly θ-pre-I sürekli değildir.}

Örnek 4.2.7. 4.2.1. Örnekte verilen fonksiyon strongly θ-pre-I süreklidir fakat strongly θ -I sürekli değildir.

Uyarı 4.2.7. Bir ideal topolojik uzaydaki weakly I sürekli fonksiyon ve strongly θ-pre-I sürekli fonksiyon kavramları tamamen birbirinden bağımsız kavramlardır:

Örnek 4.2.8. X 



a b c, ,



, 



,X c,{ } ,







,X a,{ } ,



I 



,

 

c





 



: , , , ,

f X  I  X  I f a( )b f b, ( )c f c, ( )a, şeklinde tanımlı bir fonksiyon

Örnek 4.2.9. X 



a b c, ,



, 



,X a b,{ , } ,







,X b,{ },{ , } ,a c



I 



,

 

c





 



: , , , ,

f X  I  X  I _{birim fonksiyon olsun.} f _{fonksiyonu strongly θ-pre-I}

sürekli fakat weakly I- sürekli değildir.

Teorem 4.2.1. f :



X, , I

 

 Y,



fonksiyonu için, aşağıdaki özellikler eşdeğerdir:

(1) f fonksiyonu strongly θ-pre-I süreklidir;

(2) Y uzayının her açık kümesinin ters görüntüsü pre-θ-I-açık kümedir; (3) Y uzayının her kapalı kümesinin ters görüntüsü pre-θ-I-kapalı kümedir; (4) X uzayının her A alt kümesi için, f pıCl



_

 

A



Cl f A



 

;

(5) Y uzayının her A alt kümesi için, pıCl_



f1

 

B



 f1



Cl B

 

.

İspat. (1)(2) : V kümesi Y uzayının açık bir alt kümesi ve x f1

 

V

noktası olsun. f fonksiyonu str.θ.pre.I.c. olduğundan, f pıCl U



( )



V olacak şekilde x noktasının pre-I-açık bir U komşuluğu vardır. Yani;

x U  pıCl U

 

 f1

 

V

dir. O halde, Lemma 4.1.2. gereği, f1

 

V kümesi pre-θ-I-açık kümedir. (2)(3): Tümleme işleminden açıktır.

(3)(4) :AX olsun. Cl f A



 

kümesi Y uzayının kapalı bir alt kümesidir. (3) ifadesinden 1





 

f Cl f A kümesi pre-θ-I-kapalıdır. Böylece;

 



1



 



1





 

1





 

pıCl_ A  pıCl_ f f A  pıCl_ f Cl f A  f Cl f A

olur. Buradan,

f pıCl



_

 

A



Cl f A



 

(4)(5) :BY olsun.(4) ifadesinden ; f pıCl( _(f1( ))B Cl f f( ( 1( ))B Cl B( ) dır. Buradan, 1 1 ( ( )) ( ( )) pıCl_ f B  f Cl B

sonucunu elde ederiz.

(5)(1) : xX noktası ve f x( ) V  olsun. Y V kümesi Y uzayında

kapalı bir kümedir. (5) ifadesinden 1 1 1

( ( )) ( ( )) ( )

pıCl_ f Y V  f Cl Y V  f Y V

olur. Buradan f1(Y V )kümesi pre-θ-I-kapalıdır. O halde f1( )V kümesi pre-θ-I- açıktır.

Teorem 4.2.2. f :



X, , I

 

 Y,



bir fonksiyon ve Y uzayı regular uzay olsun. f fonksiyonu için, aşağıdaki özellikler denktir:

(1) f fonksiyonu weakly I-pre süreklidir; (2) f fonksiyonu pre-I-süreklidir;

(3) f fonksiyonu strongly θ-pre-I süreklidir.

İspat. xX _{noktası ve} f x( ) V  kümesi olsun. Y uzayı regular uzay olduğundan, f x( ) W Cl W( )V olacak şekilde W açık kümesi vardır. f

fonksiyonu weakly pre-I-sürekli fonksiyon olduğundan, f U( )Cl W*( )olacak şekilde UPIO X x( , ) _{kümesi vardır. Buradan,} f U( )V olur. Bu sonuç bize f

fonksiyonunun pre-I-sürekli fonksiyon olduğunu gösterir.

(2)(3): xX noktası ve f x( ) V  kümesi olsun. Y uzayı regular uzay olduğundan, f x( ) W Cl W( )V olacak şekilde W açık kümesi vardır. f

fonksiyonu pre-I-sürekli fonksiyon olduğundan f U( )W olacak şekilde ( , )

UPIO X x _{kümesi vardır. Şimdi} f pıCl U( ( ))Cl W( ) olduğunu göstermeliyiz. ( )

noktasının açık bir G komşuluğu vardır. f fonksiyonu pre-I-sürekli olduğundan 1 ( ) ( ) f G PIO X _ve 1 ( ) f G  U  _{dır. Böylece} 1 ( ) ( ) f G pıCl U  olur. O halde Gf pıCl U( ( )) dır. Buradan, yf pıCl U( ( )) olur ki bu da bize

( ( )) ( )

f pıCl U Cl W V olduğunu gösterir.

(3)(1) : Uyarı 4.2.2. den açıktır.

Sonuç 4.2.1. f :



X, , I

 

 Y, , I₁



bir fonksiyon ve Y uzayı regular-I-uzay ve I 

 

 olsun. f fonksiyonu için aşağıdaki özellikler denktir:

(1) f fonksiyonu weakly I-pre süreklidir; (2) f _{fonksiyonu pre-I-süreklidir;}

(3) f fonksiyonu strongly θ-pre-I süreklidir.

Tanım 4.2.2.



X, , I



ideal topolojik uzay olsun. F X kapalı kümesi ve

xF noktası için, ayrık, pre-I-açık U V, komşulukları varsa



X, , I



ideal topolojik uzayına p-I-regular uzay denir.

Lemma 4.2.1.



X, , I



ideal topolojik uzayının p-I-regüler uzay olması için

gerek ve yeter şart her x X noktası ve x noktasının her açık U komşuluğu için,

( )

x W  pıCl W U olacak şekilde WPIO X x( , ) kümesinin olmasıdır.

İspat.  : x X noktası ve U kümesi de x noktasının açık bir komşuluğu

olsun. U kümesi açık küme olduğundan X U kümesi kapalı ve x X U olur.



X, , I



uzayı p-I-regular uzay olduğundan x W X ,  U V olacak şekilde ayrık, pre-I-açık W V, kümeleri vardır.

V  W   V X W  V pıInt V( )pıInt X W(  )XpıCl W( )

O halde,

dır. Buradan, pıCl W( )U sonucunu elde ederiz.

: F kapalı ve xF alalım. O halde, X F kümesi açık ve x X F dir. Hipotezden, x V  pıCl V( )X F olacak şekilde VPIO X x( , ) _{kümesi vardır.} Buradan, FX pıCl V( ) dır ve böylece X uzayı p-I-regular uzaydır.

Teorem 4.2.3. f :



X, , I

 

 Y,



sürekli fonksiyonunun strongly θ-pre-I sürekli fonksiyon olması için gerek ve yeter şart X uzayının p-I-regular uzay olmasıdır.

: f X: X fonksiyonu birim fonksiyon olsun. xX noktası ve U kümesi de x noktasının açık bir komşuluğu olsun. Bu durumda x f x( )U olur ve f

fonksiyonu strongly θ-pre-I sürekli fonksiyon olduğundan f pıCl G( ( ))U olacak şekilde GPIO X x( , ) kümesi vardır. Buradan; x G pıCl G( )U ifadesini elde ederiz. Böylece X uzayı p-I-regular uzaydır.

: xX noktası ve V kümesi f x( ) noktasının açık bir komşuluğu olsun. f fonksiyonu sürekli olduğundan 1

( )

xf V ve f1( )V  dur. X uzayı p-I-regular

uzay olduğundan, 1

( ) ( )

pıCl U  f V _{olacak şekilde bir} UPIO X x( , ) kümesi vardır. Buradan, f pıCl U( ( ))Volur ki bu sonuçta bize f fonksiyonunun strongly θ-pre-I sürekli fonksiyon olduğunu gösterir.

Tanım 4.2.3.



X, , I



ideal topolojik uzay olsun. F X pre-I-kapalı kümesi ve xF noktası için, ayrık, pre-I-açık U V, komşulukları varsa



X, , I



ideal topolojik uzayına pre-I-regular uzay denir ( [4], Açıkgöz ve ark.).

Lemma. 4.2.2.



X, , I



ideal topolojik uzayının pre-I-regüler uzay olması için

gerek ve yeter şart her x X noktası ve x noktasının her pre-I-açık U komşuluğu

için x V  pıCl V( )U olacak şekilde VPIO X x( , ) kümesinin olmasıdır ( [4], Açıkgöz ve ark.) .

Teorem 4.2.4.



X, , I



uzayı pre-I-regüler uzay olsun. f :



X, , I

 

 Y,



fonksiyonunun strongly θ-pre-I sürekli olması için, gerek ve yeter şart f

fonksiyonunun pre-I-sürekli olmasıdır. İspat. : Uyarı 4.2.2. den açıktır.

: xX noktası ve V kümesi f x( ) noktasının açık bir komşuluğu olsun. f fonksiyonu pre-I-sürekli fonksiyon olduğundan 1

( ) ( , )

f V PIO X x dir. X uzayı pre-I-regular uzay olduğundan pıCl U( ) f1( )V olacak şekilde bir UPIO X x( , ) kümesi vardır. Buradan f pıCl U( ( ))Volur ki bu sonuçta bize f fonksiyonunun strongly θ-pre-I sürekli fonksiyon olduğunu gösterir.

Tanım 4.2.4.



X, , I



ideal topolojik uzay olsun. X uzayının her alt kümesi I- lokal kapalı küme ise



X, , I



uzayına I-submaximal uzay denir ([32], Yüksel ve ark.) .

Lemma 4.2.3. [32]



X, , I



ideal topolojik uzayı I-submaximal uzay ise ( )

PIO X  eşitliği vardır.

Teorem 4.2.5.



X, , I



uzayı I-submaximal uzay olsun. f :



X, , I

 

 Y,



fonksiyonu strongly θ-pre-I sürekli fonksiyon ise strongly θ-I-sürekli fonksiyondur. İspat. : xX noktası ve V kümesi f x( ) noktasının açık bir komşuluğu olsun. f fonksiyonu strongly θ-pre-I sürekli fonksiyon olduğundan,

( ( ))

f pıCl U Volacak şekilde bir UPIO X x( , ) kümesi vardır.



X, , I



uzayı I-

submaximal olduğundan U _{dur ve}

*

( ) (int ( )) ( ) ( )

pıCl U  U Cl U  U Cl U Cl U

olduğundan, *

( ( )) ( ( ))

f Cl U  f Cl U V olur ki buradan f fonksiyonu strongly θ-

Teorem 4.2.6.



X, , I



uzayı I-submaximal uzay olsun.



 



: , , , ,

f X  I  Y  I fonksiyonu strongly θ-pre-I sürekli fonksiyon ise weak I

sürekli fonksiyondur. İspat. İspat açıktır.

Belgede İdeal topolojk uzaylarda strongly ?-pre-I sürekli fonksiyonlar (sayfa 46-54)