Bu bölümde (2.24) ve (2.25) ile ifade edilmiş tam olmayan Pochhammer sembolü (𝜆, 𝑥)𝑛 ve [𝜆, 𝑥]𝑛 yardımıyla oluşturulmuş tam olmayan Srivastava hipergeometrik fonksiyonları ve bu fonksiyonların bazı özellikleri verilecektir.
5.1. 𝜸𝑨𝑯 ve 𝜞𝑨𝑯 Tam Olmayan Srivastava Üçlü Hipergeometrik Fonksiyonları
Bu kısımda, [12] de J. Choi ve R.K. Parmar tarafından ifade edilmiş olan 𝛾𝐴𝐻 ve 𝛤𝐴𝐻 tam olmayan Srivastava üçlü hipergeometrik fonksiyonlarının birtakım özellikleri verilmiştir.
Tanım 5.1.1: Tam olmayan Srivastava üçlü hipergeometrik fonksiyonları 𝛾𝐴𝐻[(𝑎, 𝑥), 𝑏1, 𝑏2; 𝑐1, 𝑐2; 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3]
= ∑ (𝑎, 𝑥)𝑚+𝑝(𝑏1)𝑚+𝑛(𝑏2)𝑛+𝑝 (𝑐1)𝑚(𝑐2)𝑛+𝑝
∞
𝑚,𝑛,𝑝=0
𝑥1𝑚 𝑚!
𝑥2𝑛 𝑛!
𝑥3𝑝
𝑝! (5.1) ve
𝛤𝐴𝐻[(𝑎, 𝑥), 𝑏1, 𝑏2; 𝑐1, 𝑐2; 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3]
= ∑ [𝑎, 𝑥]𝑚+𝑝(𝑏1)𝑚+𝑛(𝑏2)𝑛+𝑝 (𝑐1)𝑚(𝑐2)𝑛+𝑝
∞
𝑚,𝑛,𝑝=0
𝑥1𝑚 𝑚!
𝑥2𝑛 𝑛!
𝑥3𝑝
𝑝! (5.2) olarak tanımlanmıştır [12, syf. 194]. (5.1) ve (5.2) ifadelerinde (2.26) özelliğini kullanarak aşağıdaki ayrışma formülü
𝛾𝐴𝐻[(𝑎, 𝑥), 𝑏1, 𝑏2; 𝑐1, 𝑐2; 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3] + 𝛤𝐴𝐻[(𝑎, 𝑥), 𝑏1, 𝑏2; 𝑐1, 𝑐2; 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3]
= 𝐻𝐴 [𝑎, 𝑏1, 𝑏2; 𝑐1, 𝑐2; 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3] (5.3) elde edilir [12, syf. 194].
51
Teorem 5.1.1: Tam olmayan Srivastava üçlü hipergeometrik fonksiyonları 𝛾𝐴𝐻 ve 𝛤𝐴𝐻 nın kısmi diferensiyel denklemleri aşağıdaki gibi mevcuttur [12, syf. 194].
{
İspat: (5.4) diferensiyel denklemi, (5.3) ayrışma ilişkisinden dolayı (2.61) de verilen Srivastava üçlü hipergeometrik fonksiyonunun denkleminin bir sonucudur. ∎
Teorem 5.1.2: Tam olmayan Srivastava üçlü hipergeometrik fonksiyonu 𝛤𝐴𝐻 nın integral gösterimi aşağıdaki gibi sağlanır [12, syf. 195].
𝛤𝐴𝐻[(𝑎, 𝑥), 𝑏1, 𝑏2; 𝑐1, 𝑐2; 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3] = 1
Burada, 1𝐹1 (2.33) te ifade edilen konflüent hipergeometrik fonksiyondur [1, syf.
36].
İspat: (2.25) te tanımlı olan tam olmayan Pochhammer sembolü ve (2.21) de ifade edilen Pochhammer sembolünün özellikleri (5.2) de yerlerine yazılırsa,
𝛤𝐴𝐻[(𝑎, 𝑥), 𝑏1, 𝑏2; 𝑐1, 𝑐2; 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3] = 1 olur. Yukarıdaki ifadede yakınsaklıktan dolayı toplam ve integral sembollerinin yerleri değiştirilirse, (5.5) ifadesi kolaylıkla elde edilir. ∎
52
Teorem 5.1.3: Tam olmayan Srivastava üçlü hipergeometrik fonksiyonu 𝛤𝐴𝐻 nın integral gösterimi aşağıdaki gibi sağlanır [12, syf. 195].
𝛤𝐴𝐻[(𝑎, 𝑥), 𝑏1, 𝑏2; 𝑐1, 𝑐2; 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3] = 1
𝛤(𝑎)𝛤(𝑏1)𝛤(𝑏2) (5.6)
∫ ∫ ∫ 𝑡𝑎−1
∞
0
∞
0
∞
𝑥
𝑠𝑏1−1𝑢𝑏2−1𝑒−𝑡−𝑠
. 𝐹0 1[−; 𝑐1; 𝑡𝑠𝑥1]. 𝐹0 1[−; 𝑐2; 𝑠𝑢𝑥2+ 𝑡𝑢𝑥3]𝑑𝑡𝑑𝑠𝑑𝑢 (𝑥 ≥ 0; 𝑥 = 0 𝑖𝑘𝑒𝑛 𝑚𝑖𝑛{𝑅𝑒(𝑎), 𝑅𝑒(𝑏1), 𝑅𝑒(𝑏2) } > 0 ).
İspat: [2, syf. 678] de verilen aşağıdaki formülü
𝐹1
1 [𝑏; 𝑐; 𝑧] = 1
𝛤(𝑏)∫ 𝑡𝑏−1𝑒−𝑡 0𝐹1[−; 𝑐; 𝑧𝑡]𝑑𝑡
∞
0
(5.5) teki integral gösteriminde yerine yazılırsa, bizden istenilen sonuç olan (5.6) kolaylıkla sağlanır. ∎
Teorem 5.1.4: Tam olmayan Srivastava üçlü hipergeometrik fonksiyonu 𝛤𝐴𝐻 nın türev formülü aşağıdaki gibi sağlanır [12, syf. 198].
𝐷𝑥𝑟+𝑠+𝑡1,𝑥2,𝑥3{𝛤𝐴𝐻[(𝑎, 𝑥), 𝑏1, 𝑏2; 𝑐1, 𝑐2; 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3]} (5.7)
=(𝑎)𝑟+𝑡(𝑏1)𝑟+𝑠(𝑏2)𝑠+𝑡 (𝑐1)𝑟(𝑐2)𝑠+𝑡
. 𝛤𝐴𝐻[(𝑎 + 𝑟 + 𝑡, 𝑥), 𝑏1+ 𝑟 + 𝑠, 𝑏2+ 𝑠 + 𝑡; 𝑐1+ 𝑟, 𝑐2+ 𝑠 + 𝑡; 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3].
(𝑟, 𝑠, 𝑡 ∈ ℕ0).
Burada, 𝐷𝑥1,𝑥2,𝑥3𝑓 =𝜕𝑓
𝜕𝑥1𝜕𝑥2𝜕𝑥3
⁄ dür.
İspat: Tam olmayan Srivastava üçlü hipergeometrik fonksiyonunun (5.2) deki tanımında sırasıyla 𝑥1, 𝑥2 ve 𝑥3 e göre 𝑟, 𝑠 ve 𝑡 kez türevi alınırsa
𝐷𝑥𝑟+𝑠+𝑡1,𝑥2,𝑥3{𝛤𝐴𝐻[(𝑎, 𝑥), 𝑏1, 𝑏2; 𝑐1, 𝑐2; 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3]}
53
elde edilir. (5.9) da Pochammer sembolünün (2.17) ve (2.27) de verilen özelliğinden faydalanarak yineleme formülü aşağıdaki gibi mevcuttur [12, syf. 198].
𝛤𝐴𝐻[(𝑎, 𝑥), 𝑏1, 𝑏2; 𝑐1, 𝑐2; 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3] (5.10)
= 𝛤𝐴𝐻[(𝑎, 𝑥), 𝑏1, 𝑏2; 𝑐1− 1, 𝑐2; 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3] + 𝑎𝑏1𝑥1
𝑐1(1 − 𝑐1)𝛤𝐴𝐻[(𝑎 + 1, 𝑥), 𝑏1+ 1, 𝑏2; 𝑐1+ 1, 𝑐2; 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3] İspat: Tam olmayan Srivastava üçlü hipergeometrik fonksiyonu 𝛤𝐴𝐻 nın (5.5) te bulunan integral gösteriminde, [1, syf.198] de verilen aşağıdaki formül
𝐹1
0 [−; 𝑐1− 1; 𝑥1] − 𝐹0 1[−; 𝑐1; 𝑥1] − 𝑎𝑏1𝑥1
𝑐1(1 − 𝑐1). 𝐹0 1[−; 𝑐1+ 1; 𝑥1] = 0 yerine yazılırsa, bizden istenilen sonuç olan (5.10) kolaylıkla elde edilir.∎
54
Teorem 5.1.6: Tam olmayan Srivastava üçlü hipergeometrik fonksiyonu 𝛤𝐴𝐻 nın yineleme formülü aşağıdaki gibi mevcuttur [12, syf. 198].
(𝑏2+ 𝑐2− 1)𝛤𝐴𝐻[(𝑎, 𝑥), 𝑏1, 𝑏2; 𝑐1, 𝑐2; 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3] (5.11)
= 𝑏2𝛤𝐴𝐻[(𝑎, 𝑥), 𝑏1, 𝑏2+ 1; 𝑐1, 𝑐2; 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3]
−(𝑐2− 1)𝛤𝐴𝐻[(𝑎 + 1, 𝑥), 𝑏1+ 1, 𝑏2; 𝑐1, (𝑐2− 1); 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3] İspat: (5.11) ifadesinin sağ tarafındaki ilk ifade
𝑏2𝛤𝐴𝐻[(𝑎, 𝑥), 𝑏1, 𝑏2+ 1; 𝑐1, 𝑐2; 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3] =𝑏2𝛤(𝑐1)𝛤(𝑐2) ve sağ yanındaki ikinci ifade
(𝑐2− 1)𝛤𝐴𝐻[(𝑎, 𝑥), 𝑏1, 𝑏2; 𝑐1, (𝑐2− 1); 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3] =(𝑐2− 1)𝛤(𝑐1)𝛤(𝑐2) dönüşüm formülü aşağıdaki gibi sağlanır [12, syf. 197].
55
𝛤𝐴𝐻[(𝑎, 𝑥), 𝑏1, 𝑏2; 𝑐1, 𝑐2; 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3] = (1 − 𝑥2)−𝑏1(1 − 𝑥3)−𝑎 (5.14) . 𝛤𝐴𝐻[(𝑎, (1 − 𝑥3)), 𝑏1, 𝑐2− 𝑏2; 𝑐1, 𝑐2; 𝑥1
(1 − 𝑥2)(1 − 𝑥3), 𝑥2
(1 − 𝑥2), 𝑥3 (1 − 𝑥3)] İspat: Tam olmayan Srivastava üçlü hipergeometrik fonksiyonu 𝛤𝐴𝐻 nın (5.5) te bulunan integral gösteriminde, [2, syf. 125] te verilen aşağıdaki Kummer formülü
𝐹1
1 [𝑎; 𝑏; 𝑧] = exp(𝑧) . 𝐹1 1[𝑏 − 𝑎; 𝑏; −𝑧]
yerine konulursa, bizden istenilen sonuç (5.14) elde edilir. ∎
Teorem 5.1.8: Tam olmayan Srivastava üçlü hipergeometrik fonksiyonu 𝛤𝐴𝐻 nın indirgeme formülü aşağıdaki gibi mevcuttur [12, syf. 197].
𝛤𝐴𝐻[(𝑎, 𝑥), 𝑏1, 𝑐2; 𝑐1, 𝑐2; 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3] = (1 − 𝑥2)−𝑏1(1 − 𝑥3)−𝑎 (5.15) . 𝛤2 1[(𝑎, 𝑥(1 − 𝑥3)), 𝑏1; 𝑐1; 𝑥1
(1 − 𝑥2)(1 − 𝑥3)].
İspat: Tam olmayan Srivastava üçlü hipergeometrik fonksiyonu 𝛤𝐴𝐻 nın (5.5) te bulunan integral gösteriminde 𝑐2 = 𝑏2 ve 1𝐹1[𝑐2; 𝑐2; 𝑠𝑥2, 𝑡𝑥3] = 𝑒𝑠𝑥2+𝑡𝑥3 yazılırsa
𝛤𝐴𝐻[(𝑎, 𝑥), 𝑏1, 𝑐2; 𝑐1, 𝑐2; 𝑥2𝑥3, 𝑥2, 𝑥3] = 1
𝛤(𝑎)𝛤(𝑏1) ∫ ∫ 𝑡𝑎−1
∞
0
∞
𝑥(1−𝑥3)
𝑠𝑏1−1 (5.16)
. 𝑒−(1−𝑥3)𝑡−(1−𝑥2)𝑠 0𝐹1[−; 𝑐1; 𝑡𝑠𝑥2𝑥3] 𝑑𝑡𝑑𝑠
olur. Son olarak (5.16) da 𝑡(1 − 𝑥3) = 𝑢 ve s(1 − 𝑥2) = 𝜈 dönüşümü yapılırsa ve gerekli düzenlemelerden sonra bizden istenilen (5.15) elde edilir. ∎
Şimdi ise yukarıdaki formüllere ek olarak, yazar tarafından 𝛾𝐴𝐻 ve 𝛤𝐴𝐻 tam olmayan Srivastava üçlü hipergeometrik fonksiyonları için elde edilmiş olan bazı formüller verilecektir.
Teorem 5.1.9: Tam olmayan Srivastava üçlü hipergeometrik fonksiyonu 𝛤𝐴𝐻 nın integral gösterimleri aşağıdaki gibi sağlanır.
56 𝛤𝐴𝐻[(𝑎, 𝑥), 𝑏1, 𝑏2; 𝑐1, 𝑐2; 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3] = 1
𝐵(𝑏1, 𝑠 − 𝑏1)
. ∫ 𝑡𝑏1−1
1
0
(1 − 𝑡)𝑠−𝑏1−1𝛤𝐴𝐻[(𝑎, 𝑥), 𝑠, 𝑏2; 𝑐1, 𝑐2; 𝑡𝑥1, 𝑡𝑥2, 𝑥3]𝑑𝑡 (5.17)
(𝑥 ≥ 0; 𝑅𝑒(𝑠) > 𝑅𝑒(𝑏1) > 0), 𝛤𝐴𝐻[(𝑎, 𝑥), 𝑏1, 𝑏2; 𝑐1, 𝑐2; 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3] = 1
𝐵(𝑏2, 𝑠 − 𝑏2)
. ∫ 𝑡𝑏2−1
1
0
(1 − 𝑡)𝑠−𝑏2−1𝛤𝐴𝐻[(𝑎, 𝑥), 𝑏1, 𝑠; 𝑐1, 𝑐2; 𝑥1, 𝑡𝑥2, 𝑡𝑥3]𝑑𝑡 (5.18)
(𝑥 ≥ 0; 𝑅𝑒(𝑠) > 𝑅𝑒(𝑏2) > 0) 𝛤𝐴𝐻[(𝑎, 𝑥), 𝑏1, 𝑏2; 𝑐1, 𝑐2; 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3] = 1
𝐵(𝑠, 𝑐1− 𝑠)
. ∫ 𝑡𝑠−1
1
0
(1 − 𝑡)𝑐1−𝑠−1𝛤𝐴𝐻[(𝑎, 𝑥), 𝑏1, 𝑏2; 𝑠, 𝑐2; 𝑡𝑥1, 𝑥2, 𝑥3]𝑑𝑡 (5.19)
(𝑥 ≥ 0; 𝑅𝑒(𝑐1) > 𝑅𝑒(𝑠) > 0)
𝛤𝐴𝐻[(𝑎, 𝑥), 𝑏1, 𝑏2; 𝑐1, 𝑐2; 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3] = 1 𝐵(𝑠, 𝑐2− 𝑠)
. ∫ 𝑡𝑠−1
1
0
(1 − 𝑡)𝑐2−𝑠−1𝛤𝐴𝐻[(𝑎, 𝑥), 𝑏1, 𝑏2; 𝑐1, 𝑠; 𝑥1, 𝑡𝑥2, 𝑡𝑥3]𝑑𝑡 (5.20)
(𝑥 ≥ 0; 𝑅𝑒(𝑐2) > 𝑅𝑒(𝑠) > 0)
İspat: (5.2) deki eşitliğin sağ tarafında pay ve paydayı (𝑠)𝑚+𝑛 ile çarpıp bölersek, 𝛤𝐴𝐻[(𝑎, 𝑥), 𝑏1, 𝑏2; 𝑐1, 𝑐2; 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3]
= ∑ (𝑠)𝑚+𝑛[𝑎, 𝑥]𝑚+𝑝(𝑏1)𝑚+𝑛(𝑏2)𝑛+𝑝 (𝑠)𝑚+𝑛(𝑐1)𝑚(𝑐2)𝑛+𝑝
∞
𝑚,𝑛,𝑝=0
𝑥1𝑚 𝑚!
𝑥2𝑛 𝑛!
𝑥3𝑝
𝑝! (5.21) elde edilir. (5.21) de (2.35) özelliği uygulanıp ve gerekli düzenlemeler yapılırsa
57 𝛤𝐴𝐻[(𝑎, 𝑥), 𝑏1, 𝑏2; 𝑐1, 𝑐2; 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3] = 1
𝐵(𝑏1, 𝑠 − 𝑏1)∫ 𝑡𝑏1−1
1
0
(1 − 𝑡)𝑠−𝑏1−1
. ∑ [𝑎, 𝑥]𝑚+𝑝(𝑠)𝑚+𝑛(𝑏2)𝑛+𝑝 (𝑐1)𝑚(𝑐2)𝑛+𝑝
∞
𝑚,𝑛,𝑝=0
(𝑡𝑥1)𝑚 𝑚!
(𝑡𝑥2)𝑛 𝑛!
𝑥3𝑝 𝑝!
eşitliği sağlanır. Böylece, (5.17) ifadesi kolaylıkla elde edilir. (5.18) − (5.20) eşitlikleri de benzer şekilde ispatlanır. ∎
[1, syf. 39-40] dan bilinmektedir ki, Weber parabolik silindir fonksiyonu 𝑫𝝂(𝑧), Hermite polinomu 𝑯𝝂(𝑧) ve Whittaker fonksiyonu 𝑴𝒌,𝒎(𝑧) nin 1𝐹1 ve
0𝐹1 hipergeometrik fonksiyonları türünden aşağıdaki gibi ifadeleri mevcuttur.
𝑫𝝂(𝑧) = 2𝝂2𝑒𝑥𝑝 (−1
4𝑧2) 𝐹1 1[−1 2𝜈;1
2;1
2𝑧2] (5.22) 𝑯𝝂(𝑧) = 2−12𝑛𝑒𝑥𝑝 (1
2𝑧2) 𝑫𝝂(𝑧√2) (5.23) ve
𝑴𝒌,𝒎(𝑧) = 2𝑚+12𝑒𝑥𝑝 (−1
2𝑧) 𝐹1 1[𝑚 − 𝑘 +1
2; 2𝑚 + 1; 𝑧] (5.24) dir. Şimdi, (4.10) ve (4.11) i (5.5) te, (5.22) i (5.5) te, (5.23) yi (5.5) te ve (5.24) ü (5.5) te sırasıyla uygularsak Sonuç 5.1.1 - Sonuç 5.1.4 de verilen integral gösterimlerini elde edebiliriz.
Sonuç 5.1.1: Tam olmayan Srivastava üçlü hipergeometrik fonksiyonu 𝛤𝐴𝐻 nın integral gösterimleri aşağıdaki gibi sağlanır.
𝛤𝐴𝐻[(𝑎, 𝑥), 𝑏1, 𝑏2; 𝑐1+ 1, 𝑐2; −𝑥1, 𝑥2, 𝑥3] =𝑥1−12𝑐1𝛤(𝑐1+ 1)
𝛤(𝑎)𝛤(𝑏1) (5.25)
. ∫ ∫ 𝑡𝑎−12𝑐1−1
∞
0
∞
𝑥
𝑠𝑎−12𝑏1−1𝑒−𝑡−𝑠
. 𝑱𝝂[2√𝑡𝑠𝑥1]. 𝐹1 1[𝑏2; 𝑐2; 𝑠𝑥2+ 𝑡𝑥3]𝑑𝑡𝑑𝑠
58
Sonuç 5.1.2: Tam olmayan Srivastava üçlü hipergeometrik fonksiyonu 𝛤𝐴𝐻 nın integral gösterimi aşağıdaki gibi sağlanır.
Sonuç 5.1.3: Tam olmayan Srivastava üçlü hipergeometrik fonksiyonu 𝛤𝐴𝐻 nın integral gösterimi aşağıdaki gibi sağlanır.
Sonuç 5.1.4: Tam olmayan Srivastava üçlü hipergeometrik fonksiyonu 𝛤𝐴𝐻 nın integral gösterimleri aşağıdaki gibi sağlanır.
59 Mellin-Barnes integral gösterimleri aşağıdaki gibi mevcuttur.
𝛤𝐴𝐻[(𝑎, 𝑥), 𝑏1, 𝑏2; 𝑐1, 𝑐2; 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3]
60
. 𝛤(−𝑚)𝛤(−𝑛)𝛤(−𝑝)(−𝑥1)𝑚(−𝑥2)𝑛(−𝑥3)𝑝𝑑𝑚𝑑𝑛𝑑𝑝. (5.33) İspat: Tam olmayan Srivastava üçlü hipergeometrik fonksiyonunun (5.2) deki tanımından faydalanılarak
𝛤𝐴𝐻[(𝑎, 𝑥), 𝑏1, 𝑏2; 𝑐1, 𝑐2; 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3] = ∑(𝑏1)𝑛(𝑏2)𝑛 (𝑐2)𝑛
∞
𝑛=0
. 𝛤2[(𝑎, 𝑥), 𝑏1 + 𝑛, 𝑏2 + 𝑛; 𝑐1, 𝑐2+ 𝑛; 𝑥1, 𝑥3]𝑥2𝑛
𝑛! (5.34) elde edilir. Daha sonra, [4, syf. 667] de verilen integral formülü
𝐹1
2 [𝑎, 𝑏; 𝑐; 𝑥] = 1
2𝜋𝑖 ∫ (𝑎)𝑛(𝑏)𝑛 (𝑐)𝑛
+𝑖∞
−𝑖∞
𝛤(−𝑛)(−𝑥)𝑛𝑑𝑛
(5.34) te yerine yazılırsa, (5.31) eşitliği sağlanır. Benzer yöntemlerle (5.32) ve (5.33) ifadeleri kolaylıkla elde edilebilir. ∎
5.2. 𝜸𝑩𝑯 ve 𝜞𝑩𝑯 Tam Olmayan Srivastava Üçlü Hipergeometrik Fonksiyonları
Bu kısımda, [13] te J. Choi ve R.K. Parmar tarafından ifade edilmiş olan 𝛾𝐵𝐻 ve 𝛤𝐵𝐻 tam olmayan Srivastava üçlü hipergeometrik fonksiyonlarının özellikleri verilmiştir.
Tanım 5.2.1: Tam olmayan Srivastava üçlü hipergeometrik fonksiyonları 𝛾𝐵𝐻[(𝑎, 𝑥), 𝑏1, 𝑏2; 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3; 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3]
= ∑ (𝑎, 𝑥)𝑚+𝑝(𝑏1)𝑚+𝑛(𝑏2)𝑛+𝑝 (𝑐1)𝑚(𝑐2)𝑛(𝑐3)𝑝
∞
𝑚,𝑛,𝑝=0
𝑥1𝑚 𝑚!
𝑥2𝑛 𝑛!
𝑥3𝑝
𝑝! (5.35) ve
𝛤𝐵𝐻[(𝑎, 𝑥), 𝑏1, 𝑏2; 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3; 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3]
61
= ∑ [𝑎, 𝑥]𝑚+𝑝(𝑏1)𝑚+𝑛(𝑏2)𝑛+𝑝 (𝑐1)𝑚(𝑐2)𝑛(𝑐3)𝑝
∞
𝑚,𝑛,𝑝=0
𝑥1𝑚 𝑚!
𝑥2𝑛 𝑛!
𝑥3𝑝
𝑝! (5.36) olarak tanımlanmıştır [13, syf. 1781]. (5.35) ve (5.36) ifadelerinde (2.26) özelliğini kullanarak aşağıdaki ayrışma formülü
𝛾𝐵𝐻[(𝑎, 𝑥), 𝑏1, 𝑏2; 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3; 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3] + 𝛤𝐵𝐻[(𝑎, 𝑥), 𝑏1, 𝑏2; 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3; 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3] = 𝐻𝐵[𝑎, 𝑏1, 𝑏2; 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3; 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3] (5.37) elde edilir [13, syf. 1781].
Teorem 5.2.1: Tam olmayan Srivastava üçlü hipergeometrik fonksiyonları 𝛾𝐵𝐻 ve 𝛤𝐵𝐻 nin kısmi diferensiyel denklemleri aşağıdaki gibi mevcuttur [13, syf. 1781].
{
[𝜃(𝜃 + 𝑏1− 1) − 𝑥1(𝜃 + 𝛷 + 𝑎1)(𝜃 + 𝛹 + 𝑎2)]𝑢 = 0 [𝛹(𝛹 + 𝑏2− 1) − 𝑥2(𝜃 + 𝛹 + 𝑎2)(𝛹 + 𝛷 + 𝑎3)]𝑢 = 0 [𝛷(𝛷 + 𝑏3− 1) − 𝑥3(𝜃 + 𝛷 + 𝑎1)(𝛹 + 𝛷 + 𝑎3)]𝑢 = 0.
(5.38)
Burada, 𝜃 = 𝑥1 𝑑
𝑑𝑥1, 𝛹 = 𝑥2 𝑑
𝑑𝑥2,𝛷 = 𝑥3 𝑑
𝑑𝑥3 ve 𝑢 = 𝛾𝐵𝐻+ 𝛤𝐵𝐻 = 𝐻𝐵 dir.
İspat: (5.38) denklemi, (5.37) ayrışma ilişkisinden dolayı (2.62) de verilen Srivastava üçlü hipergeometrik fonksiyonunun denkleminin bir sonucudur. ∎
Teorem 5.2.2: Tam olmayan Srivastava üçlü hipergeometrik fonksiyonu 𝛤𝐵𝐻 nin integral gösterimi aşağıdaki gibidir [13, syf. 1782].
𝛤𝐵𝐻[(𝑎, 𝑥), 𝑏1, 𝑏2; 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3; 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3] = 1
𝛤(𝑎)𝛤(𝑏1)∫ ∫ 𝑡𝑎−1
∞
0
∞
𝑥
𝑠𝑏1−1𝑒−𝑡−𝑠 (5.39)
. 𝐹0 1[−; 𝑐1; 𝑡𝑠𝑥1]𝛹2[𝑏2; 𝑐2, 𝑐3; 𝑠𝑥2, 𝑡𝑥3]𝑑𝑡𝑑𝑠 (𝑥 ≥ 0; 𝑥 = 0 𝑖𝑘𝑒𝑛 𝑅𝑒(𝑥2) < 1, 𝑅𝑒(𝑥3) < 1, 𝑅𝑒(𝑎) > 0, 𝑅𝑒(𝑏1) > 0 ).
Burada, 𝛹2 iki değişkenli hipergeometrik fonksiyonların konflüent formlarından biridir [1, 6].
İspat: (2.25) te tanımlı olan tam olmayan Pochhammer sembolü ve (2.21) de ifade edilen Pochhammer sembolünün özellikleri (5.36) da yerlerine yazılırsa,
62 olur. Yukarıdaki ifadede yakınsaklıktan dolayı toplam ve integral sembollerinin yerleri değiştirilirse, (5.39) ifadesi kolaylıkla elde edilir. ∎
Teorem 5.2.3: Tam olmayan Srivastava üçlü hipergeometrik fonksiyonu 𝛤𝐵𝐻 nin integral gösterimi aşağıdaki gibi sağlanır [13, syf. 1782].
𝛤𝐵𝐻[(𝑎, 𝑥), 𝑏1, 𝑏2; 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3; 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3] (5.40)
İspat : (2.25) te tanımlı olan tam olmayan Pochhammer sembolünü ve (2.21) de ifade edilen Pochhammer sembolünün özellikleri (5.36) da yerlerine yazılırsa,
𝛤𝐵𝐻[(𝑎, 𝑥), 𝑏1, 𝑏2; 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3; 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3] = 1
elde edilir. Yukarıdaki ifadede yakınsaklıktan dolayı toplam ve integral sembollerinin yerleri değiştirilirse, (5.40) ifadesi kolaylıkla sağlanır. ∎
63
Teorem 5.2.4: Tam olmayan Srivastava üçlü hipergeometrik fonksiyonu 𝛤𝐵𝐻 nin integral gösterimi aşağıdaki gibi sağlanır [13, syf. 1783].
𝛤𝐵𝐻[(𝑎, 𝑥), 𝑏1, 𝑏2; 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3; 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3] (5.41)
= 1
𝐵(𝑏1, 𝑐1− 𝑏1)𝐵(𝑏2, 𝑐3− 𝑏2)𝐵(1 − 𝑐1+ 𝑏1, 𝑐1+ 𝑐2− 𝑏1− 1)
. ∫ ∫ ∫ 𝑡𝑏1−1
1
0 1
0
𝑠𝑐1−𝑏1𝑢𝑏2−1(1 − 𝑡)𝑐1−𝑐3−𝑏1+𝑏2
1
0
(1 − 𝑠)𝑐1+𝑐2−𝑏1−2(1 − 𝑡𝑥1− 𝑢𝑥3)−𝑎
. 𝛤(𝑎, 𝑥(1 − 𝑡𝑥1− 𝑢𝑥3))
𝛤(𝑎) (1 − 𝑡 − 𝑢 + 𝑡𝑢 − 𝑡𝑠𝑢)𝑐3−𝑏1−1𝑑𝑡𝑑𝑠𝑑𝑢 (𝑥 ≥ 0; 𝑥 = 0 𝑖𝑘𝑒𝑛 0 < 𝑅𝑒(𝑐1− 𝑏1) < 1; 𝑅𝑒(𝑏1) > 1, 𝑅𝑒(𝑐1+ 𝑐2− 𝑏1) > 1,
𝑅𝑒(𝑐3) > 𝑅𝑒(𝑏2) > 1).
İspat: (5.36) da verilen tam olmayan Srivastava üçlü hipergeometrik fonksiyonunun tanımından
𝛤𝐵𝐻[(𝑎, 𝑥), 𝑏1, 𝑏2; 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3; 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3]
= ∑ (𝑏1)𝑛(𝑏2)𝑛 (𝑐2)𝑛
∞
𝑚,𝑛,𝑝=0
𝛤2[(𝑎, 𝑥), 𝑏1+ 𝑛, 𝑏2+ 𝑛; 𝑐1, 𝑐3; 𝑥1, 𝑥3]𝑥2𝑛
𝑛! (5.42) elde edilir. Yukarıdaki ifadede (4.27) de verilen tam olmayan ikinci tip Appell hipergeometrik fonksiyonunun integral gösterimini yerine yazıp ve yakınsaklıktan dolayı toplam ve integral sembollerinin yerleri değiştirilirse,
𝛤𝐵𝐻[(𝑎, 𝑥), 𝑏1, 𝑏2; 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3; 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3] = 1
𝐵(𝑏1, 𝑐1− 𝑏1)𝐵(𝑏2, 𝑐3− 𝑏2) (5.43)
. ∫ ∫ 𝑡𝑏1−1
1
0
𝑢𝑏2−1(1 − 𝑡)𝑐1−𝑏1−1
1
0
(1 − 𝑡𝑥1 − 𝑢𝑥3)−𝑎𝛤(𝑎, 𝑥(1 − 𝑡𝑥1− 𝑢𝑥3)) 𝛤(𝑎)
. 𝐹2 1[1 − 𝑐1+ 𝑏1, 1 − 𝑐3+ 𝑏2; 𝑏2; 𝑡𝑢𝑥2
(1 − 𝑡)(1 − 𝑢)] 𝑑𝑡𝑑𝑢 elde edilir. Şimdi, (5.43) de (2.35) te verilmiş olan 𝐹2 1 in
64
2𝐹1[𝑎, 𝑏; 𝑐; 𝑧] = 𝛤(𝑐)
𝛤(𝑏)𝛤(𝑐 − 𝑏)∫ 𝑡𝑏−1
1
0
(1 − 𝑡)𝑐−𝑏−1(1 − 𝑧𝑡)−𝑎𝑑𝑡
integral gösterimi (5.43) te yerine yazılırsa, bizden istenilen sonuç (5.41) kolaylıkla sağlanır. ∎
[1, 12, 13] ten de bilindiği üzere, Bessel fonksiyonu 𝑱𝝂(𝑧) ve modifie Bessel fonksiyonu 𝑰𝝂(𝑧) nin 𝐹0 1 hipergeometrik fonksiyonu cinsinden, iki değişkenli Whittaker fonksiyonu 𝑴𝒌,𝒎,𝒏(𝑥, 𝑦) nin, iki değişkenli hipergeometrik fonksiyonların konflüent formlarından biri olan 𝛹2 fonksiyonu cinsinden aşağıdaki gibi ifadeleri mevcuttur.
𝑱𝝂(𝑧) = (𝑧
2)𝜈
𝛤(𝜈 + 1). 𝐹0 1[−; 𝜈 + 1; −1
4𝑧2] (5.44)
𝑰𝝂(𝑧) = (𝑧
2)𝜈
𝛤(𝜈 + 1). 𝐹0 1[−; 𝜈 + 1;1
4𝑧2] (5.45) ve
𝑴𝒌,𝒎,𝒏(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑚+12𝑦𝑛+
1
2𝑒𝑥𝑝 (−1
2(𝑥 + 𝑦)) (5.46) . 𝛹2[𝑚 + 𝑛 − 𝑘 + 1; 2𝑚 + 1,2𝑛 + 1; 𝑥, 𝑦]
dir. Şimdi, (5.46) yı (5.39) da, (5.44) ve (5.45) i (5.39) da, (5.44) ile (5.46) yı ve (5.45) ile (5.46) yı (5.39) da ve son olarak (5.44) ve (5.45) i (5.40) ta sırasıyla yerine yazarsak Sonuç 5.2.1 - Sonuç 5.2.4 te verilen integral gösterimlerini elde edebiliriz.
Sonuç 5.2.1: Tam olmayan Srivastava üçlü hipergeometrik fonksiyonu 𝛤𝐵𝐻 nin integral gösterimi aşağıdaki gibi mevcuttur [13, syf. 1784].
𝛤𝐵𝐻[(𝑎, 𝑥), 𝑏1, 𝑐2+ 𝑐3− 𝑏2+ 1; 𝑐1, 2𝑐2+ 1, 2𝑐3+ 1; 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3] (5.47)
65
=𝑥2−𝑐2−12𝑥3−𝑐3−12
𝛤(𝑎)𝛤(𝑏1) ∫ ∫ 𝑡𝑎−𝑐3−32
∞
0
∞
𝑥
𝑠𝑏2−𝑐2−32𝑒−(1−12𝑥2)𝑡−(1−12𝑥3)𝑠
. 0𝐹1[−; 𝑐1; 𝑡𝑠𝑥1] 𝑴𝑏2,𝑐2,𝑐3(𝑠𝑥2, 𝑡𝑥3)𝑑𝑡𝑑𝑠 dir.
Sonuç 5.2.2: Tam olmayan Srivastava üçlü hipergeometrik fonksiyonu 𝛤𝐵𝐻 nin integral gösterimleri aşağıdaki gibi mevcuttur [13, syf. 1784].
𝛤𝐵𝐻[(𝑎, 𝑥), 𝑏1, 𝑏2; 𝑐1 + 1, 𝑐2, 𝑐3; −𝑥1, 𝑥2, 𝑥3] (5.48)
=𝛤(𝑐1+ 1)𝑥1−𝑐12
𝛤(𝑎)𝛤(𝑏1) ∫ ∫ 𝑡𝑎−𝑐12−1
∞
0
∞
𝑥
𝑠𝑏1−𝑐12−1𝑒−𝑡−𝑠
. 𝑱𝑐1(2√𝑡𝑠𝑥1)𝛹2[𝑏2; 𝑐2, 𝑐3; 𝑠𝑥2, 𝑡𝑥3]𝑑𝑡𝑑𝑠 ve
𝛤𝐵𝐻[(𝑎, 𝑥), 𝑏1, 𝑏2; 𝑐1+ 1, 𝑐2, 𝑐3; 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3] (5.49)
=𝛤(𝑐1+ 1)𝑥1−𝑐12
𝛤(𝑎)𝛤(𝑏1) ∫ ∫ 𝑡𝑎−𝑐12−1
∞
0
∞
𝑥
𝑠𝑏1−𝑐12−1𝑒−𝑡−𝑠
. 𝑰𝑐1(2√𝑡𝑠𝑥1)𝛹2[𝑏2; 𝑐2, 𝑐3; 𝑠𝑥2, 𝑡𝑥3]𝑑𝑡𝑑𝑠 dir.
Sonuç 5.2.3: Tam olmayan Srivastava üçlü hipergeometrik fonksiyonu 𝛤𝐵𝐻 nin integral gösterimleri aşağıdaki gibi mevcuttur [13, syf. 1784].
𝛤𝐵𝐻[(𝑎, 𝑥), 𝑏1, 𝑐2+ 𝑐3− 𝑏2+ 1; 𝑐1, 2𝑐2+ 1, 2𝑐3+ 1; −𝑥1, 𝑥2, 𝑥3] (5.50)
= 𝛤(𝑐1+ 1)𝑥1−12𝑐1𝑥2−𝑐2−12𝑥3−𝑐3−12 𝛤(𝑎)𝛤(𝑏1)
. ∫ ∫ 𝑡𝑎−𝑐3−12𝑐1−32
∞
0
∞
𝑥
𝑠𝑏1−𝑐2−12𝑐1−32𝑒−(1−12𝑥2)𝑡−(1−12𝑥3)𝑠
. 𝑱𝑐1(2√𝑡𝑠𝑥1) 𝑴𝑏2,𝑐2,𝑐3(𝑠𝑥2, 𝑡𝑥3)𝑑𝑡𝑑𝑠
66 ve
𝛤𝐵𝐻[(𝑎, 𝑥), 𝑏1, 𝑐2+ 𝑐3− 𝑏2+ 1; 𝑐1, 2𝑐2+ 1, 2𝑐3+ 1; 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3] (5.51)
= 𝛤(𝑐1+ 1)𝑥1−12𝑐1𝑥2−𝑐2−12𝑥3−𝑐3−12 𝛤(𝑎)𝛤(𝑏1)
. ∫ ∫ 𝑡𝑎−𝑐3−12𝑐1−32
∞
0
∞
𝑥
𝑠𝑏1−𝑐2−12𝑐1−32𝑒−(1−12𝑥2)𝑡−(1−12𝑥3)𝑠
. 𝑰𝑐1(2√𝑡𝑠𝑥1) 𝑴𝑏2,𝑐2,𝑐3(𝑠𝑥2, 𝑡𝑥3)𝑑𝑡𝑑𝑠 dir.
Sonuç 5.2.4: Tam olmayan Srivastava üçlü hipergeometrik fonksiyonu 𝛤𝐵𝐻 nin integral gösterimleri aşağıdaki gibi mevcuttur [13, syf. 1785].
𝛤𝐵𝐻[(𝑎, 𝑥), 𝑏1, 𝑏2; 𝑐1+ 1, 𝑐2+ 1, 𝑐3+ 1; −𝑥1, −𝑥2, −𝑥3] (5.52)
= 𝛤(𝑐1+ 1)𝛤(𝑐2+ 1)𝛤(𝑐3+ 1)𝑥1−𝑐12𝑥2−𝑐22𝑥3−𝑐32 𝛤(𝑎)𝛤(𝑏1)𝛤(𝑏2)
. ∫ ∫ ∫ 𝑡𝑎−𝑐12−𝑐32−1
∞
0
∞
0
𝑠𝑏1−𝑐12−𝑐22−1𝑢𝑏2−𝑐22−𝑐32−1𝑒−𝑡−𝑠−𝑢
∞
𝑥
. 𝑱𝑐1(2√𝑡𝑠𝑥1). 𝑱𝑐2(2√𝑢𝑠𝑥2). 𝑱𝑐3(2√𝑡𝑢𝑥3) 𝑑𝑡𝑑𝑠𝑑𝑢 ve
𝛤𝐵𝐻[(𝑎, 𝑥), 𝑏1, 𝑏2; 𝑐1+ 1, 𝑐2+ 1, 𝑐3; 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3] (5.53)
= 𝛤(𝑐1+ 1)𝛤(𝑐2+ 1)𝛤(𝑐3+ 1)𝑥1−𝑐12𝑥2−𝑐22𝑥3−𝑐32 𝛤(𝑎)𝛤(𝑏1)𝛤(𝑏2)
. ∫ ∫ ∫ 𝑡𝑎−𝑐12−𝑐32−1
∞
0
∞
0
𝑠𝑏1−𝑐12−𝑐22−1𝑢𝑏2−𝑐22−𝑐32−1𝑒−𝑡−𝑠−𝑢
∞
𝑥
. 𝑰𝑐1(2√𝑡𝑠𝑥1). 𝑰𝑐2(2√𝑢𝑠𝑥2). 𝑰𝑐3(2√𝑡𝑢𝑥3) 𝑑𝑡𝑑𝑠𝑑𝑢 dur.
67
Teorem 5.2.5: Tam olmayan Srivastava üçlü hipergeometrik fonksiyonu 𝛤𝐵𝐻 nin türev formülü aşağıdaki gibi sağlanır [13, syf. 1785].
𝐷𝑥𝑟+𝑠+𝑡1,𝑥2,𝑥3{𝛤𝐵𝐻[(𝑎, 𝑥), 𝑏1, 𝑏2; 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3; 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3]} (5.54)
İspat: Tam olmayan Srivastava üçlü hipergeometrik fonksiyonunun (5.36) daki tanımında 𝑥1, 𝑥2 ve 𝑥3 e göre sırasıyla 𝑟, 𝑠 ve 𝑡 kez türevi alınırsa
68 sağlanır. ∎
Teorem 5.2.6: Tam olmayan Srivastava üçlü hipergeometrik fonksiyonu 𝛤𝐵𝐻 nin indirgeme formülü aşağıdaki gibi mevcuttur [13, syf. 1785].
𝛤𝐵𝐻[(𝑎, 𝑥), 𝑏1, 𝑐2; 𝑐1, 𝑐2, 𝑐2; 𝑥2𝑥3, 𝑥2, 𝑥3] = (1 − 𝑥2)−𝑏1(1 − 𝑥3)−𝑎 (5.57)
. 𝛤4 3[(𝑎, 𝑥(1 − 𝑥3)), 𝑏1,𝑐1+ 𝑐2
2 ,𝑐1+ 𝑐2− 1
2 ; 4𝑥2𝑥3
(1 − 𝑥2)(1 − 𝑥3) 𝑐1, 𝑐2, 𝑐1+ 𝑐2− 1;
]
İspat: Tam olmayan Srivastava üçlü hipergeometrik fonksiyonu 𝛤𝐴𝐻 nın (5.39) da bulunan integral gösteriminde 𝑐2 = 𝑐3 = 𝑏2 ve 𝛹2[𝑐2; 𝑐2, 𝑐2; 𝑠𝑥2, 𝑡𝑥3] = 𝑒𝑠𝑥2+𝑡𝑥3 0𝐹1[−; 𝑐2; 𝑠𝑥2𝑡𝑥3] yazılırsa
𝛤𝐵𝐻[(𝑎, 𝑥), 𝑏1, 𝑐2; 𝑐1, 𝑐2, 𝑐2; 𝑥2𝑥3, 𝑥2, 𝑥3] = 1
𝛤(𝑎)𝛤(𝑏1) ∫ ∫ 𝑡𝑎−1
∞
0
∞
𝑥(1−𝑥3)
𝑠𝑏1−1 (5.58)
. 𝑒−(1−𝑥3)𝑡−(1−𝑥2)𝑠 0𝐹1[−; 𝑐1; 𝑡𝑠𝑥2𝑥3] 𝐹0 1[−; 𝑐2; 𝑡𝑠𝑥2𝑥3] 𝑑𝑡𝑑𝑠
olur. Son olarak (5.58) de 𝑡(1 − 𝑥3) = 𝑢 ve s(1 − 𝑥2) = 𝜈 dönüşümü uygulanır ve [13, syf. 1786] da verilen aşağıdaki formül
𝐹1
0 [−; 𝛼; 𝑥]. 𝐹0 1[−; 𝛽; 𝑥] = 𝐹2 3[ 𝛼 + 𝛽
2 ,𝛼 + 𝛽 − 1
2 ;
𝛼, 𝛽, 𝛼 + 𝛽 − 1; 4𝑥 ]
yerine yazıldıktan sonra gerekli düzenlemeler yapılırsa, bizden istenilen (5.57) elde edilir. ∎
Teorem 5.2.7: Tam olmayan Srivastava üçlü hipergeometrik fonksiyonu 𝛤𝐵𝐻 nin yineleme formülü aşağıdaki gibi mevcuttur [13, syf. 1786].
𝛤𝐵𝐻[(𝑎, 𝑥), 𝑏1, 𝑏2; 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3; 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3]
= 𝛤𝐵𝐻[(𝑎, 𝑥), 𝑏1, 𝑏2; 𝑐1− 1, 𝑐2, 𝑐3; 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3] + 𝑎𝑏1𝑥1
𝑐1(1 − 𝑐1)𝛤𝐵𝐻[(𝑎 + 1, 𝑥), 𝑏1+ 1, 𝑏2; 𝑐1+ 1, 𝑐2, 𝑐3; 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3]. (5.59)
69
İspat: Tam olmayan Srivastava üçlü hipergeometrik fonksiyonu 𝛤𝐵𝐻 nin (5.39) da bulunan integral gösteriminde [13, syf. 1786] da ifade edilmiş olan aşağıdaki formül
𝐹1
0 [−; 𝑐1− 1; 𝑥1] − 𝐹0 1[−; 𝑐1; 𝑥1] − 𝑎𝑏1𝑥1
𝑐1(1 − 𝑐1). 𝐹0 1[−; 𝑐1+ 1; 𝑥1] = 0 yerine yazılırsa, bizden istenilen sonuç (5.59) elde edilir. ∎
70 TARTIŞMA VE SONUÇ
Bu tezin birinci kısmında bize ileriki bölümlerde yardımcı olacak temel ifadeler ve teoremleri ele alınmıştır.
İkinci bölümde, bir önceki kısımda ifade ettiğimiz ifadeler ve teoremleri kullanılarak elde edilen tek değişkenli yani özel olarak Gauss Hipergeometrik Fonksiyonunun, iki değişkenli Appell Hipergeometrik Fonksiyonlarının ve üç değişkenli Srivastava Hipergeometrik fonksiyonlarının bazı önemli özellikleri sunulmuştur.
Üçüncü bölümde, ikinici bölümde verilen tek ve iki değişkenli hipergeometrik fonksiyonlarının tamamlanmamış formlarını ve bu tamamlanmamış hipergeometrik fonksiyonların özelliklerini verildi.
Son bölümde ise, tamamlanmamış üç değişkenli hipergeometrik fonksiyonlarını tanımlanmış ve bu fonksiyonların bazı özellikleri olan örneğin, integral gösterimleri, türev formülleri, yineleme ve indirgeme bağıntılarını verilmiştir.
Bu çalışmada, özel fonksiyonların önemli bir bölümünü oluşturan tam olmayan hipergeometrik fonksiyonlar için bir taban oluşturması amaçlanmıştır.
71 KAYNAKLAR
[1] Srivastava, H.M., Manocha, H.L., Treatise on Generating Functions, John Wiley&Sons, New York, Chichester, Brisbaneand Toronto, 1984.
[2] Rainville, E.D., Special Functions, The Macmillan Company, New York, 1960.
[3] Chaudhry, M.A.,Zubair, S.M., On a class of incomplete gamma functions with applications, CRC Press, 2001.
[4] Srivastava, H.M., Chaudhry, M.A., Agarwal, R.P., The incomplete Pochhammer symbols and their applications to hypergeometric and related functions, Integral Transforms and Special Functions, 23(9), 659-683, 2012.
[5] Bailey, W.N., Generalized Hypergeometric Series, Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, Vol. 32, Cambridge, 1935; Reprinted by Stechert-Hafner Service Agency, New York and London 1964.
[6] Srivastava, H.M., Karlsson P.W., Multiple Gaussian Hypergeometric Series, Halsted Press (Ellis Horwood Limited, Chichester), John Wiley and Sons, New York, Chichester, Brisbane and Toronto, 1964.
[7] Srivastava, H.M., Hypergeometric functions of three variables, Ganita 15, 97-108, 1964.
72
[8] Srivastava, H.M., Some integrals representing triple hypergeometric functions, Rend. Circ. Mat. Palermo, 16 (2), 99-115, 1967.
[9] Chen, M.P., Srivastava, H.M., Orthogonality relations and generating functions for Jacobi polynomials and related hypergeometric functions, Appl. Math. Comput. , 68, 153-188, 1994.
[10] Choi, J., Parmar, R.K., Chopra, P., The incomplete Lauricella and first Appell functions and associated properties, Honam Mathematical Journal, 36 (3), 531-542, 2014.
[11] Çetinkaya, A., The incomplete second Appell hypergeometric functions, Applied Mathematics and Computation, 219 (5), 8332-8337, 2013.
[12] Choi, J., Parmar, R.K., The Incomplete Srivastava’s Triple Hypergeometric Functions 𝛾𝐴𝐻 and 𝛤𝐴𝐻, Miskolc Mathematical Notes, 19 (1), 191-200, 2018.
[13] Choi, J., Parmar, R.K., Chopra, P., The Incomplete Srivastava’s Triple Hypergeometric Functions 𝛾𝐵𝐻 and 𝛤𝐵𝐻, Filomat, 30 (7), 1779-1787, 2016.