Talep Tahmin Yöntemleri

A equação constitutiva que define o modelo de fluido viscoelástico, pode ser desenvolvida através de duas estratégias, teoria cinética ou modelagem matemática. Na teoria cinética é necessário conhecer várias informações do fluido, como o tipo da molécula, viscosidade, tempo de relaxação, peso molecular, concentração, e escalas de comprimento. É definido de forma apropriada, um conjunto de elementos micromecânicos para representar a cadeia de moléculas poliméricas. Um dos elementos mais simples para representar a estrutura da molécula polimérica é o modelo massa-mola (em inglês dumbbell), em que, dois pontos de massa são conectados por uma mola elástica. A figura12ilustra uma cadeia polimérica representada por elementos massa- mola. As massas do sistema estão sujeitas à forças do escoamento, força de arrasto viscosa, força elástica, devido à deformação da mola, e forças resultantes do movimento Browniano. Essas forças são modeladas com o auxilio de métodos estocásticos e Brownianos, em escoamentos cisalhantes ou extensionais (DOYLE et al.,1998;JENDREJACK et al.,2002;AMMAR et al., 2006). Assim, é possível estabelecer uma equação hidrodinâmica que relaciona a interação entre as moléculas poliméricas e o solvente (BIRD et al.,1987).

Figura 12 – Ilustração do modelo micromecânico massa-mola utilizado para representar uma cadeia polimérica.

A teoria cinética representa muito bem o modelo físico. No entanto, a complexidade aumenta quando envolve escoamentos complexos, e elementos micromecânicos mais elaborados, tornando essa abordagem inviável computacionalmente. Esse problema pode ser contornando, se a construção do modelo for realizada em uma escala mesoscópica, em vez de uma escala microscópica (LARSON; DOI,1991;KEUNINGS,2004). Nesse caso, devido à mudança de escala, é necessário impor valores médios para algumas variáveis, diminuindo a semelhança com o modelo físico.

A abordagem da modelagem matemática para desenvolver a equação constitutiva do fluido, é baseada na mecânica dos meios contínuos. Os fluidos viscoelásticos exibem caracte- rísticas de um fluido, e de um sólido, devido às forças viscosas e elásticas, respectivamente. Assim, os efeitos da viscoelasticidade podem ser descritos através da combinação de modelos mecânicos simples. O modelo mais simples é o da viscoelasticidade linear, proposta por Maxwell (MAXWELL,1867), pela combinação em série de uma mola (força elástica) e um amortecedor (força viscosa). A figura13ilustra essa combinação em série, a qual é denominada de elemento de Maxwell. Na figura13, τ e γ representam a tensão e deformação, sendo os subscritos v e e

referentes as forças viscosas e elásticas, respectivamente. Geralmente, na literatura as tensões são representadas pelo símbolo σ (tensor de Cauchy), em vez de τ . Essa substituição foi realizada para evitar alguma confusão com o coeficiente de tensão superficial, definido na seção2.1por σ.

τ τ

τ_v, γ_v τ_e, γ_e

Figura 13 – Ilustração do elemento de Maxwell.

A componente elástica que expressa a força da mola é modelada pela lei de Hooke,

τe= Gγe, (2.28)

em que, G é o módulo de elasticidade da mola. Já a componente viscosa, que expressa a força do amortecedor, é considerada ser uma função linear da taxa de deformação, e não da deformação, dada por

τ_v= µp˙γv, (2.29)

em que, µp é a viscosidade do polímero, e representa a constante de proporcionalidade. O

parâmetro ˙γvé o tensor taxa de deformação, em que, o ponto em cima de γ indica a derivada em

relação ao tempo.

Como no elemento de Maxwell (vide figura13), a mola e o amortecedor estão em série, segue pelo equilíbrio de forças que

τ = τe= τv, (2.30)

γ = γe+ γv. (2.31)

Assim, pelo sistema anterior, é derivada a equação constitutiva para a viscoelasticidade linear, a qual é escrita como

τ+ λ ˙τ = µp˙γ, (2.32)

em que, λ = µp/G é o tempo de relaxação da molécula polimérica. A Eq.2.32é conhecida como

modelo de Maxwell , e representa o modelo mais simples de uma equação constitutiva, para descrever viscoelasticidade linear de um fluido. Entretanto, o modelo constitutivo da Eq.2.32, não é independente do sistema de coordenadas. Para generalizar esse modelo para escoamentos arbitrários, Oldroyd (1950) propôs formas invariantes de equações reológicas, as quais são conhecidas como derivadas convectivas. Uma dessas formas é a derivada convectiva superior (em inglês upper-convected derivative), a qual é definida pelo seguinte operador

∇ τ = ∂ τ

∂ t + (u · ∇)τ − h

O operador descrito na Eq.2.33, relaciona a taxa de variação do tensor τ com o gradiente do campo de velocidades. Assim, a equação constitutiva, Eq.2.32, pode ser escrita nesse contexto como

τ+ λτ∇= µp˙γ. (2.34)

O modelo definido pela Eq.2.34, é chamado de modelo upper-convected Maxwell (UCM). O UCM é um modelo puramente elástico, isso significa que não tem a presença de solvente na sua solução. Nesse caso, as equações de Navier-Stokes possuem o tensor tensão total definido da seguinte forma:

T _{= −pI + τ ,} (2.35)

ou seja, não possui a presença do termo viscoso µs˙γ. O modelo UCM é muito utilizado em

estudos numéricos devido à sua simplicidade, o que possibilita em alguns tipos de escoamento derivar uma solução analítica para verificar a precisão dos métodos numéricos (CRUZ; PINHO, 2015). Entretanto, o modelo apresenta apenas primeira diferença de tensões normais, a qual, numericamente, tende a ser ilimitada em escoamento extensional quando a taxa de deformação tende para um valor crítico de _2λ1 (ZANDEN; HULSEN,1988). Além disso, também apresenta instabilidades numéricas em escoamentos extensionais, pois as tensões normais tendem a ser ilimitadas.

Os modelos viscoelásticos adotados para o desenvolvimento do presente projeto são soluções diluídas em solvente. Nessas soluções diluídas, um termo dissipativo é adicionado ao tensor tensão total, Eq.2.35, o qual é reescrito como

T _{= −pI + µs}˙γ + τ . (2.36)

Nesse caso, é definido um parâmetro adimensional, o qual estabelece a quantidade de solvente presente na solução, em outras palavra, o quão viscoelástico é o fluido,

β = µs

µ , (2.37)

em que, µ = µs+ µpé a viscosidade total. No caso em que β = 0, o fluido se reduz ao modelo

UCM. Por outro lado, se β = 1, o modelo se reduz a um fluido newtoniano. Quando 0 < β < 1, e a equação constitutiva é dada pelo modelo UCM, o conjunto de equações resultantes é conhecido como modelo Oldroyd-B (BIRD et al.,1987). O modelo Oldroyd-B possui as mesmas características do modelo UCM, das quais podemos mencionar, viscosidade de corte constante, e segunda diferenças de tensões nula.

Em muitos dos experimentos envolvendo escoamentos viscoelásticos, confinados ou com interface, o comportamento do escoamento é muito influenciado pela viscosidade de corte, e pela primeira e segunda diferenças de tensões normais. Sendo assim, os modelos UCM e Oldroyd-B se tornam muito restritivos para estudar o comportamento de escoamentos mais

complexos. Nesse caso, foram implementados vários outros modelos de fluido viscoelásticos, os quais apresentam segunda diferenças de tensões normais. Um dos modelos implementados é o modelo de Giesekus (GIESEKUS,1982), sendo sua equação constitutiva dada por

τ + λτ∇+αλ

µpτ· τ = µp˙γ, (2.38)

em que, α é um parâmetro adimensional, chamando de fator de mobilidade. O fator de mo- bilidade controla a influência da segunda diferenças de tensões normais. Quando α = 0, a segunda diferenças de tensões normais é eliminada, e o modelo se reduz ao Oldroyd-B. Além disso, quando α > 0.5 o modelo não garante a solução física do problema (SCHLEINIGER; WEINACHT,1991). Uma análise semelhante a realizada porSchleiniger e Weinacht(1991), foi realizada porBaltussen et al.(2010) para determinar o intervalo onde o fator de mobilidade do modelo XPP (eXtended Pom-Pom) fornece soluções únicas e fisicamente corretas. O intervalo determinado porBaltussen et al.(2010_{) foi idêntico ao do modelo Giesekus, 0 ≤ α ≤ 0.5.}

Outro modelo não linear utilizado nesse trabalho é o modelo Phan-Thien/Tanner (PTT) (PHAN-THIEN; TANNER,1977), sendo sua equação constitutiva definida por

Y (tr(τ ))τ + λτ = µp˙γ, (2.39)

em que,τ representa a derivada de Gordon-Schowalter

 τ = ∂ τ ∂ t + (u · ∇)τ − h (∇u)T _{· τ + τ · ∇u}i+ξ 2(τ · ˙γ + ˙γ · τ ). (2.40) Na Eq.2.39, Y = Y (tr(τ )) é uma função que depende do traço do tensor τ . Existem duas formas de definir a função Y , as quais determinam a versão do modelo PTT:

∙ Forma linear (LPTT) (PHAN-THIEN; TANNER,1977): Y (tr(τ )) = 1 +ελ

µptr (τ ), (2.41)

∙ Forma exponencial (PHAN-THIEN,1978): Y (tr(τ )) = exp  ελ µptr (τ )  . (2.42)

A principal diferença entre essas duas formas está no comportamento da viscosidade extensional, a qual é definida como sendo a razão entre a primeira diferença de tensões normais e a taxa de extensão. Quando tr (τ ) é pequeno, a forma exponencial se aproxima da forma linear. O parâmetro adimensional ε, estabelece um limitante superior para a viscosidade extensional, em escoamentos extensionais quando atingem o estado estacionário. Já o parâmetro ξ , configura

o quão escorregadia é a cadeia de moléculas poliméricas em relação ao meio contínuo. Além disso, ξ controla a influência da segunda diferença de tensões normais no escoamento. Quando ξ = 0, a segunda diferenças de tensões normais é nula. Nesse caso, o modelo é conhecido como PTT simplificado (SPTT).

Os modelos PTT e Giesekus, são modelos mais elaborados do que o modelo Oldroyd-B, e preveem uma viscosidade variável, e uma variação não-linear das tensões normais. Assim, as soluções obtidas com esses modelos são mais próximas da solução física de fluidos que apresentam viscosidade variável, como algumas soluções diluidas de polímeros. No entanto, o modelo Oldroyd-B é muito utilizado nesse trabalho, por ser um modelo simples, com apenas dois parâmetros, λ e µp, o qual permite analisar o comportamento de alguns escoamentos com

maior facilidade, em especial para fluidos que apresentam viscosidade constante, como os fluidos de Borger (BIRD et al.,1987). Em resumo, os modelos Oldroy-B, Giesekus, e PTT, podem ser reescritos na forma da Eq.2.3da seguinte forma:

M(τ ) =          2µpD− τ Oldroyd-B, 2µpD− τ −αλ µpτ· τ Giesekus, 2µpD−Y (tr(τ ))τ − λ ξ (τ · D + D · τ ) PTT. (2.43)

CAPÍTULO

3