No decorrer das atividades preliminares, tivemos por intuito para os estudantes reverem e, na maioria dos casos, aprenderem alguns conteúdos das funções trigonométricas seno e cosseno (suas propriedades gerais; significado de alguns parâmetros das senóides f(x) = A1 sen B1(x – C1) + D1 e g(x) = A2 cos B2(x – C2) + D2 e de funções em geral (domínio, imagem, paridade, crescimento e decrescimento). Também procuramos desenvolver um ambiente e postura que promoveriam aos estudantes o desenvolvimento de algumas características do pensamento reflexivo e das investigações matemáticas (curiosidade, sugestão, observação, costumes de pesquisar e consecutividade no ciclo de idéias, interações, argumentação, questionamento, testes) com a finalidade de subsidiar a atividade investigativa.
Além disso, proporcionamos práticas com o software GeoGebra utilizado como ferramenta que os ajudariam no desenvolvimento dessa atividade. Essas intenções obtiveram êxito conforme nossas observações em relação ao desempenho dos alunos nas atividades preliminares e opiniões expressas por eles, em suas respostas ao questionário. Utilizamos o depoimento de um aluno do grupo 6 para exemplificar a resposta do questionário, quanto aos pontos que agradaram ou desagradaram os alunos em relação à condução das atividades pela professora-pesquisadora:
Os pontos destacados e explicados antes da atividade investigativa foram realmente de grande ajuda durante a atividade investigativa.
O propósito de que os alunos começassem a desenvolver o hábito de pensar reflexivamente foi concretizado mediante estímulos que puderam aguçar neles características desse tipo de pensamento. Essa meta estava de acordo com os ensinamentos de Dewey, ao afirmar que cabe à escola desencadear no aluno o hábito de pensar para que ele verifique, de forma contínua e reflexiva, o que possa vir a ter interesse em descobrir.
Nesse sentido, e tendo como apoio os dados coletados, podemos afirmar que os participantes da pesquisa ora adquiriram, ora aumentaram os “treinos para o
pensamento” na medida em que as tendências de se explorar, observar, envolver, recorrer às experiências passadas, fazer associações e fluxo de ideias rumo a uma conclusão estavam presentes na atividade investigativa. Nos recortes que apresentaremos tais constatações serão evidenciadas.
Na aula investigativa, considerando as funções: f f(x) = A1 sen B1(x – C1) + D1 e
g(x) = A2 cos B2(x – C2) + D2, solicitamos aos alunos que definissem funções de sua autoria, formadas em termos das funções seno e cosseno e que contivessem uma das operações (f(x).g(x); f(x)+g(x); f(x)-g(x); f(x)/g(x) dentre outras); a fim de investigar algo de seu interesse tendo por base um exemplo que fornecemos como ponto de
partida: + = 3 2 cos ) 2 ( ) (x sen x x f .
Na análise dos dados, a escolha pela investigação do período para esse tipo de função mereceu destaque, visto que, no CEFET, vários grupos (grupos 1, 4, 5, 6, 9) decidiram por investigar o período, sendo que os demais grupos optaram por investigar a imagem. No ISAP não foi diferente, a investigação iniciou com a tentativa de uma possível generalização para o período, com o andamento, foi investigada a imagem que levou à paridade dessas funções. Acreditamos que tal interesse aconteceu pela construção de um entendimento da fórmula geral
B
π
2 para o período de funções do tipo
y = sen B(x) e y = cos B(x) durante uma das atividades preliminares. Por ser relevante para o entendimento do processo desenvolvido na investigação, mostraremos sucintamente como ocorreu essa construção no CEFET, uma vez que ela foi similar no ISAP:
Registro de campo – Quarto encontro CEFET – Itabirito 22.06.12 Atividade no GeoGebra – Parâmetros B das senoides
y=AsenB(x-C)+D; y=AcosB(x-C)+D
Começamos a abordar o estudo da variação do parâmetro B, em relação às funções seno e cosseno, utilizando o data show para que os alunos acompanhassem a explicação no GeoGebra. Solicitamos a eles que utilizassem o controle deslizante11,
11 O controle deslizante é um recurso do GeoGebra que permite atribuir um conjunto de números [a 1, an]
a ser definido pelo usuário para um parâmetro, “deslizando” um número por outro em incremento, ou passos que o usuário define. Isso permite uma forma mais dinâmica para comparar o efeito dos diferentes valores do parâmetro, no intervalo estabelecido.
pois ele estaria representando o parâmetro B a ser estudado, logo ao movimentar o controle deslizante estariam variando os valores do parâmetro B. Inicialmente, tomamos por referência a função seno depois estudamos com a função cosseno.
P: [...] Eu quero que vocês movimentem o controle deslizante e verifique o que está ocorrendo com o gráfico da nova função em relação a função f(x)=sen(x) quando modificamos o valor do parâmetro B. Tente fazer uma observação do tipo quando B for tanto está ocorrendo tal coisa, mudem o controle devagar para maiores observações.
Após alguns minutos aguardados para que os alunos pudessem fazer suas observações, retomamos a explicação:
P: Beleza pessoal! Podemos prosseguir? Todos visualizaram um
pouquinho?
Alunos: sim.
P: Quem descobriu com o que o parâmetro B está relacionado?
Vários alunos: Ao período.
P: Então, acho que temos que entender primeiro o que é período. Quem
sabe me falar o que é período, podem falar para mim do jeito que vocês entendem, ou se não entende nada sobre pode expressar também, não tem problemas.
5C: É o ponto máximo de um até o máximo de outro.
P: Ahn, o que mais?
4B: É de um pico ao outro.
P: Alguém está falando que é a distância de um pico a outro. É… o
professor disse que explicou dessa forma né? Alunos: É.
Conversamos com o professor da turma no final do terceiro encontro, sobre a maneira como ele explicou a definição de período, já que alguns alunos apresentaram dificuldades em entender esse conceito. O professor disse que explicou que período era a distância entre dois picos e que, pelo fato das funções seno e cosseno serem periódicas, bastava encontrar essa distância que o restante do gráfico era como se copiasse e colasse à direita e à esquerda do gráfico, já que repetia.
P: Antes de dar a definição, vamos analisar os gráficos das funções y=sen(x), y=sen(2x)
Figura 3: Slide da apresentação em Power Point para explicação do parâmetro B
Procurava fornecer subsídios para desenvolver uma compreensão a respeito do que é o período em termos do comportamento de uma função periódica.
P: Nesse gráfico preto [f(x)=sen(x)] vamos analisar o que está ocorrendo
de 0 até 2π.
Apontava ao longo do formato do gráfico para enfatizar que, ao analisar o gráfico, tem que levar em consideração tanto o comportamento crescente/decrescente quanto o sinal da função.
P: A função está crescendo, decresce, decresce e cresce, a partir daqui [2π]
esse comportamento começa a se repetir, ela começa a crescer para valores positivos da função, decrescer para valores positivos, decrescer para valores negativos da função e crescer para valores negativos. Lembram que expliquei a diferença de crescimento e de sinal. Então, esse é o comportamento da função. Considerando a função seno e como diz o professor de vocês se eu encontro o período é como se copiasse e colasse várias vezes à esquerda e à direita esse mesmo formato do gráfico. O período se repete já que as funções seno e cosseno são periódicas. Então, vamos tomar por referência outro ponto diferente da origem. Vamos pegar, por exemplo, aqui [2π], começando daqui o que está ocorrendo
com a função.
Mais uma vez, apontando ao longo do gráfico para valores no domínio de 2π a
4π
Alunos: Cresce, decresce, decresce e cresce.
P: A partir daqui seu comportamento não começa a repetir? Então quem
será o período considerando esse ponto de referência? Quem é o período? É a distância. A distância não é o ponto final menos o inicial? Alunos: Isso.
P: Então eu pego um ponto final, subtraio desse aqui e tenho que encontrar 2π também. E a distância é sempre positiva, por isso que é dada em módulo. Todos analisaram o que é período?
P: Dessa forma, o período será a distância mínima em que o
comportamento da função começa a se repetir independente do ponto de referência.
P: Agora vamos voltar e analisar nossa g(x)=sen(2x) [ver figura2]. A partir
do momento que eu vario os valores de B, o colega falou que eu vario o período. Vamos verificar isso? Nesse caso aqui, estou colocando meu B igual a quanto? [movimentei o controle deslizante]
Analisamos o período para g(x)=sen(2x) e depois para = 2 ) (x sen x m .
Entreguei a eles uma tabela com a explicação numérica do parâmetro B para ambas as funções.
P: [...] Manipulem, movimentem o controle deslizante para outros valores
de B façam suas observações para que possamos descobrir uma fórmula geral para encontrar qualquer período. [Muito barulho nessa hora. Os alunos estavam focalizados na tarefa]
4C: Eu achei, Daiana.
Observei que os grupos trocavam informações, estavam envolvidos.
P: Não fala ainda não, espera um pouco até os outros analisarem. Podemos retomar pessoal? Essa tabela é a parte algébrica [numérica] do que
estava explicando.
P: Vocês disseram que o B está relacionado com o período e vimos que
período...
5B: A ta! Eu descobri um negócio na função, você divide período [associando 2π ao período] pelo B pelo valor de B aí quando for fração [fração x tal que |x| < 1] divide pela fração aí vai aumentar o B [período]. Alguma
coisa assim.
Na transcrição, ouvi essa fala do aluno com os outros componentes do grupo, durante minha explicação a respeito dos valores numéricos da tabela. Após explicar a tabela:
P: Vocês conseguiram determinar uma maneira de encontrar para qualquer
valor de B real quem será meu período? 5B, 4B, 6A:
B π 2 .
P: Todos chegaram nisso? [Outros grupos ficaram em silêncio]. Porque
isso, vejam bem nessa função [g(x) do gráfico na figura 2] o período não
é π , se considerarmos o intervalo do domínio de 0 a 2π, dentro desse intervalo eu vou completar um período [para função g(x)] aqui no π, então tenho quantos comportamento dentro desse intervalo?
P: Dois. Então em 2π tenho dois comportamentos e B=2 [anotei no quadro B π 2 e B=2]. Agora vejamos a m(x) = 2 ) (x sen x m o período é 4π e no
intervalo de 0 a 2π não tinha completado um período somente metade dele. Então em 2π tenho metade do comportamento da função e B=
2 1 [anotei no quadro 2π/B e B=
2
1]. E na f(x)=sen(x) cujo período é 2π nesse
intervalo haverá somente um comportamento da função. Em 2π tenho um comportamento e B=1 [anotei no quadro 2π/B e B=1]. Alguma dúvida
quanto a isso? Como o período é a distância e a distância não é negativa, vamos considerar sempre o módulo de B. Assim, para determinar o período teremos que P=
B π
2 [escrevi no quadro.]
Percebemos que o ensino para que os estudantes atribuíssem um significado de período por meio da noção de comportamento de função foi significativo, uma vez que os estudantes utilizaram essa noção para determinar a fórmula geral para o período considerando B pertence aos números racionais e também utilizaram a concepção de comportamento e a fórmula geral em suas investigações.