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84 3. Stratejik Plan Değerlendirmesi
Para um sistema com N graus de liberdade q = (q1, q2, ..., qN)T e dinâmica linear, as equações
de movimento, em sua forma matricial geral, podem ser escritas como:
M ¨q+ D˙q + Kq = f , (2.11)
onde M, D e K são as matrizes de massa, amortecimento e rigidez do sistema; e f corresponde ao vetor das forças sendo aplicadas ao sistema. As matrizes são todas quadradas, de dimensão N× N, e simétricas. Os vetores q, ˙q, ¨q e f, dados em coordenadas generalizadas, são todos de dimensão N.
Considerando o caso de vibração livre, em que o sistema é permitido vibrar sem a influência de forças externas e sem amortecimento, a análise modal pode ser realizada considerando a seguinte simplificação da Equação2.11:
M ¨q+ Kq = 0 . (2.12)
Problema de Autovalores e Autovetores
Dadas as simplificações mencionadas, pode-se perceber que as acelerações do sistema, ¨q, são linearmente proporcionais aos seus deslocamentos, q, caracterizando portanto o comportamento de movimentos harmônicos. Assim como no caso envolvendo apenas um grau de liberdade, esses movimentos harmônicos também podem ser representados através de funções senoidais, como mostrado na Equação 2.10, e, consequentemente, as acelerações podem ser expressas de acordo com a seguinte função dos deslocamentos: ¨q = −ω2q, ondeω é um valor escalar que representa as possíveis frequências angulares do sistema. Portanto, definindo λ = ω2, as soluções admissíveis para q na Equação2.12consistem das soluções para o seguinte problema de autovalores generalizado:
Kq= λ Mq , (2.13)
onde λ representa os autovalores; e q representa os autovetores. As frequências naturais do sistema podem ser obtidas, a partir dos autovalores resultantes, de acordo com a seguinte expressão: fi =
√
λi/(2π). Já os modos de vibração do sistema equivalem exatamente
aos autovetores resultantes, os quais formam uma base para as soluções admissíveis para q, chamada de base modal. Note que, como a matriz M é sempre invertível, o problema de autovalores generalizado acima pode ser redefinido como um problema de autovalores na sua forma mais simples (M−1K) q = λ q.
Os autovalores e autovetores resultantes da Equação2.13são também geralmente descritos numa forma matricial, correspondendo ao modelo modal resultante do sistema. Assim, define-se uma matriz dos autovetores, ΦΦΦ = (φφφ1, φφφ2, ..., φφφN), cuja coluna φφφi corresponde ao i-ésimo autovetor resultante; e uma matriz diagonal dos autovalores, ou equivalentemente das frequências angulares ao quadrado, ΩΩΩ = diag(ω12, ω22, ..., ωN2). Usando essas representações matriciais da solução, pode-se ainda reescrever a equação do problema de autovalores na seguinte forma: (M−1K) = ΦΦΦΩΩΩΦΦΦ−1.
Desacoplando as Equações de Movimento
Os autovetores resultantes da Equação 2.13, correspondentes aos modos de vibração do sistema, possuem propriedades muito importantes chamadas propriedades ortogonais dos autovetores. De acordo com essas propriedades, as colunas da matriz ΦΦΦsão tanto M-ortogonais quanto K-ortogonais. Isso significa que as matrizes M e K são diagonalizadas pela matriz Φ
Φ
Φ, isto é, ΦΦΦTMΦΦΦ e ΦΦΦTKΦΦΦ são matrizes diagonais. Portanto, pode-se escrever: Md = Φ
Φ
ΦTMΦΦΦ = diag(m1, m2, ..., mN) e Kd= ΦΦΦTKΦΦΦ = diag(k1, k2, ..., kN). Os elementos mie kisão
denominados massas generalizadas e rigidezes generalizadas, respectivamente.
As propriedades de ortogonalidade dos autovetores são importantes porque, desde que as matrizes M e K podem ser diagonalizadas, as equações de movimento de sistemas dinâmicos lineares com múltiplos graus de liberdade, mostradas na Equação2.11em sua forma matricial, podem ser desacopladas e consequentemente resolvidas de maneira independente. Entretanto, para que esse desacoplamento seja possível, a matriz de amortecimento D deve ser uma combinação linear das matrizes M e K, ou seja, D = αM + β K. Essa restrição, conhecida como amortecimento de Rayleigh, é bastante conveniente nesse caso, pois garante que a matriz D também possa ser diagonalizada.
Note que as propriedades ortogonais das colunas da matriz ΦΦΦnão implicam que elas sejam ortogonais entre si. Portanto, a matriz ΦΦΦ não é necessariamente ortogonal. De fato, a base modal somente será ortogonal se a matriz M−1K for simétrica. Entretanto, a ortogonalidade
propriamente dita da base modal não tem tanta importância nesse caso porque, mesmo que a base modal não seja ortogonal, as propriedades de desacoplamento e independência entre os modos de vibração são mantidas. De qualquer forma, deve-se observar que a relação ΦΦΦ−1= ΦΦΦT só é válida para matrizes ortonormais.
Usando a matriz de transformação modal ΦΦΦ, pode-se obter o vetor q, definido em coordenadas generalizadas, a partir de um vetor p, dado em coordenadas modais: q = ΦΦΦp. Portanto, substituindo q por ΦΦΦp, D porαM + β K, e pré-multiplicando a Equação2.11por ΦΦΦT,
obtém-se um novo conjunto de equações de movimento definidas em coordenadas modais: ΦΦΦTMΦΦΦ¨p + ΦΦΦT(αM + β K)ΦΦΦ˙p + ΦΦΦTKΦΦΦp = ΦΦΦTf
Md¨p + (αMd+ β Kd)˙p + Kdp = ΦΦΦTf .
(2.14)
Como discutido anteriormente, ao diagonalizar as matrizes da Equação 2.11, obtêm-se N equações desacopladas e independentes, envolvendo apenas um grau de liberdade cada, que podem ser escritas como:
mi¨pi+ di˙pi+ kipi= fi, (2.15)
onde di= αmi+ β ki, e fi é o i-ésimo elemento do vetor ΦΦΦTf . Note que, se o amortecimento
di e a força fi forem ignorados, a Equação 2.15 reduz-se à expressão: ¨pi = −(ki/mi)pi. De
maneira análoga ao caso de sistemas com apenas um grau de liberdade, ¨pi= −ωi2pie, portanto,
ωi2= ki/mi.
Solução Analítica para Vibrações
Resolver essas equações desacopladas é equivalente a resolver múltiplos problemas com apenas um grau de liberdade envolvido, possibilitando a existência de uma solução analítica. Como cada equação desacoplada equivale agora à equação de um modo de vibração do sistema, uma solução analítica pode ser obtida separadamente para cada uma dessas vibrações. Ainda considerando o caso de vibração livre sem amortecimento, ou seja, di= 0 e fi= 0, a solução da
Equação2.15pode ser escrita como:
pi(t) = Aisen(ωit+ ϕi) , (2.16)
onde Ai e ϕisão a amplitude e a fase da i-ésima vibração, determinadas a partir das condições
iniciais, em coordenadas modais, p0i e ˙p0i, também correspondentes à i-ésima vibração. Os
vetores correspondentes às condições iniciais para todas as vibrações, (p0, ˙p0), em coordenadas modais, podem ser facilmente obtidos a partir dos vetores correspondentes às condições iniciais, (q0, ˙q0), em coordenadas generalizadas: p0= ΦΦΦ−1q0 e ˙p0= ΦΦΦ−1˙q0. O movimento completo
pode então ser dado pela simples superposição dessas vibrações individuais obtidas. Para isso, basta converter os vetores p(t) e ˙p(t), obtidos analiticamente, de volta para coordenadas generalizadas: q(t) = ΦΦΦp(t) e ˙q(t) = ΦΦΦ˙p(t).
Quando o amortecimento no sistema é levado em consideração, algumas atualizações devem ser realizadas a partir do caso não amortecido. Por exemplo, uma nova frequência angular para o caso amortecido deve ser definida a partir da frequência angular não amortecida ωi. Definindo o valor conhecido como o amortecimento crítico por dci = 2√kimi, e um
outro valor conhecido como a relação de amortecimento por ξi = di/dci, pode-se definir a
frequência angular amortecida por: ωdi= ωi
q 1 − ξ2
i . Note que vibrações somente ocorrem em
sistemas amortecidos quando ξi< 1. Diferente das frequências naturais, os modos de vibração
naturais de um sistema não amortecido não são alterados quando amortecimento de Rayleigh é adicionado. Também é importante perceber que as amplitudes das vibrações não são mantidas constantes devido à perda de energia causada pelo amortecimento. É portanto necessário incluir um fator responsável pelo decréscimo da amplitude na expressão da vibração resultante: e−ξiωit.
Esse fator depende diretamente da relação de amortecimento ξi, que é, geralmente, usada para
analisar a influência do amortecimento no comportamento do sistema. A partir da expressão definida para sistemas não amortecidos (Equação 2.16), uma nova expressão mais geral, que pode ser usada também para sistemas amortecidos, é escrita como:
pi(t) = Aie−ξiωitsen(ωdit+ ϕi) . (2.17)
A Figura 2.12 apresenta o gráfico da função pi(t), onde pode-se verificar a influência do
amortecimento nas vibrações. De acordo com o valor de ξi, a i-ésima vibração é classificada
como: livre, caso ξi= 0; subamortecida, caso 0 < ξi< 1; criticamente amortecida, caso ξi= 1;
e sobreamortecida, caso ξi> 1.
Figura 2.12: Gráfico da função correspondente à Equação2.17, mostrando a influência do valor de ξina i-ésima vibração. Nesse exemplo, temos que: Ai= 1, fi= 1, ωi= 2π e ϕi= π/2.
Nas vibrações amortecidas forçadas, pode-se definir o impulso, If, como um impulso
aplicado no instante de tempo tf: If =
Rtf+δt
tf f(t)dt. A resposta do sistema a esse impulso
é então dada por:
pi(t) = Ii e−ξiωi(t−tf) miωdi sen(ωdi (t −tf)) ! , (2.18)
onde Ii=R tf+δt
tf fi(t)dt é o i-ésimo elemento do vetor ΦΦΦ TI
f. Portanto, a solução analítica para
a i-ésima vibração amortecida, quando o impulso If é aplicado no instante de tempo tf, é dada
pela soma de pi(t) da Equação2.17com pi(t) da Equação2.18.