2.5. Gençlik
2.5.1. Sosyal Medyada Gençlik
Quando questionado, em relação à função apresentada na primeira folha, acerca de qual a representação que o aluno escolhe para indicar o vértice da parábola da função quadrática, o aluno escolhe a representação gráfica, dizendo logo:
Aluno: A representação gráfica. O vértice é (2, −1).
Quando questionado que mais informação consegue retirar da representação gráfica da função o aluno responde:
Aluno: Sim. Sei que a concavidade esta voltada para baixo, por isso o 𝑎 é negativo. Sei que a função não tem zeros. Sei que passa nos pontos (1, −3) e (3, −3).
É de salientar que na representação gráfica só está assinalado o ponto (1, −3) para além do vértice da função. Para indicar o ponto (3, −3), o aluno teve que concluir usando os seus conhecimentos que a função também passa nesse ponto, aplicando o conceito de simetria da função quadrática com o qual apresentara dificuldades na resolução das tarefas individuais.
Continuando as questões em relação às representações da função quadrática, de qual a 2.a representação escolhida para indicar o vértice da função, o Nuno escolhe a representação em linguagem natural, estando indicado nessa representação o vértice e um ponto da função dizendo:
Investigador: Porquê …
Aluno: Simplesmente diz, função quadrática com vértice (2, −1). Automaticamente sei qual é o vértice.
Quando questionado que outra informação consegue retirar da representação em linguagem natural o aluno responde:
Aluno: Além do que está aqui …sei que não tem só um zero, por causa do vértice … não se pode tirar muita informação daqui.
No entanto ao afirmar que a função não tem só um zero, pôs em evidência conhecimentos adquiridos: não sendo o vértice um ponto do eixo 𝑂𝑥, a função ou não tem zeros ou tem dois zeros.
Ainda com base na questão de indicar o vértice da função quadrática, o aluno indica a representação algébrica como terceira escolha:
Aluno: A representação algébrica.
Investigador: E aí, consegues indicar o vértice?
Aluno: Assim como está não. Teria que efetuar cálculos primeiro.
O aluno efetua os cálculos aplicando a fórmula para determinar o vértice, 𝑉 (− 𝑏 2𝑎, 𝑓 (−
𝑏 2𝑎)), sem hesitações. Ao que questiono:
Investigador: Que fazes?
Aluno: Estou a determinar o vértice. É – 𝑏 sobre 2𝑎 para calcular o 𝑥 do vértice. E a partir daqui, estou a substituir o 2 na função de 𝑥.
Investigador: para quê?
Aluno: para encontrar o y do vértice.
E obtém o vértice de coordenadas (2, −1).
Perante a questão de que mais informação retira dessa representação, o aluno diz conseguir saber se tem zeros ou não, a monotonia da função, sabe que é negativa em IR e sabe que não é injetiva. Ao que é questionado:
Investigador: Como farias para retirar toda essa informação?
Aluno: Para saber os zeros, resolvia a equação, simplesmente usando a fórmula resolvente.
O aluno resolve então a equação − 𝑥2+ 8𝑥 − 9 = 0 e no final indica (figura 9.1):
Figura 9.1: Resposta apresentada na resolução da equação
Aluno: É vazio porque vai dar um número negativo na raiz, concluo que não existem zeros.
Peço então ao aluno que escreva o que está a dizer (figura 9.2):
O aluno evidencia ter como principal preocupação, resolver a equação e encontrar a solução. Por sua própria iniciativa, não teria apresentado conclusões, considerando que ao indicar o conjunto vazio, já está a responder à questão. Por outro lado o raciocínio parece estar correto, no entanto escreve, 𝑥 = ∅, apresentando falta de rigor na escrita em linguagem matemática.
Relativamente à concavidade da função, o aluno escreve o que se pode ver na figura 9.3:
Esta observação demonstra conhecer a informação possível de retirar do parâmetro 𝑎 da função quadrática.
Relativamente ao contradomínio, refere que a partir do momento que sabe que a concavidade está voltada para baixo e conhece o vértice, consegue tirar a informação relativamente ao contradomínio e até em relação ao sinal e à monotonia da função.
Como última opção o aluno fica com a representação tabular para indicar o vértice. Perante a questão do investigador:
Investigador: Agora sobra a representação tabular. Consegues indicar o vértice? Aluno: Eu acho que não.
Investigador: Não?
Aluno: Eu acho que só a partir daqui não é possível. Há não. É sim. É porque se tem 𝑓 de 𝑥. Sabe-se que vai ser igual. 1.5 dá −1.5, 2.5 dá −1.5. A partir daí, represento graficamente e via o vértice.
O aluno através da tabela não consegue retirar as coordenadas do vértice, necessitando de recorrer a outra representação da função para continuar. Quando questionado se conseguia retirar mais informação da representação tabular, o aluno responde:
Aluno: Se eu não pudesse passar para a representação gráfica, acho que não. Só a partir da representação gráfica é que consigo descobrir, por exemplo, o contradomínio.
Figura 9.2: Resposta do aluno no cálculo dos zeros da função
Percebe-se que conhece os conceitos envolvidos na função quadrática, mas perante uma representação que não é usual, o aluno não conseguiu encontrar logo referências, que lhe permitissem chegar às coordenadas do vértice da função. No entanto após uma observação mais atenta consegue retirar mais informação da representação tabular.
Na segunda função apresentada ao aluno, este opta pela representação algébrica como primeira escolha para indicar o vértice da função, alegando:
Aluno: Escolho esta. O polinómio de 2º grau. Investigador: Porquê?
Aluno: Acho que é mais fácil neste caso, porque nesta, (aponta a representação gráfica), não tem exatamente o vértice. Por isso, podia fazer uma conta. De certa forma, ía ser mais fácil.
Neste caso, não foi pedido que determinasse o vértice, nem que outra informação retirava desta representação da função, pois seria exatamente o mesmo raciocínio e os mesmos cálculos efetuados na primeira função, apresentada ao aluno.
Continuando a observação das representações para escolher outra representação para indicar o vértice da função, com muita hesitação o aluno opta pela representação gráfica.
Investigador: Consegues indicar o vértice?
Aluno: Sim. Há uma maneira, sabendo que tem zeros. Pode-se somar os dois zeros e fazer a média aritmética e isso dá o valor do 𝑥 do vértice. E depois, a partir daí… pois o problema é calcular o 𝑦 do vértice. Acho que não é possível calcular o 𝑦, só o 𝑥. Investigador: E o 𝑦?
Aluno: Não sei. Se calhar há alguma coisa que me está a faltar. Só mesmo substituindo na expressão algebrica.
Perante a questão de que outra informação consegue retirar da representação gráfica o aluno refere:
Aluno: Tendo em conta que não consigo calcular o 𝑦 do vértice, não consigo encontrar o contradominio, nem a monotonia. Consigo indicar o sinal (da função) a partir dos zeros.
O aluno evidencia não conseguir indicar o vértice da função quadrática a partir da representação. Perante a representação tabular e a representação em linguagem natural, o aluno diz ser-lhe indiferente escolher entre elas pois, nas duas tem os zeros da função e não tem o vértice indicado. No entanto, vê alguma vantagem na representação tabular, por esta indicar mais pontos, o que tornaria mais fácil construir a representação gráfica, segundo o aluno.
Repetindo a questão para indicar o vértice nestas representações, o aluno reforça o que já havia dito:
Aluno: Era como na gráfica. Descobria o 𝑥 mas não descobria o y. Investigador: para analisar os dados da tabela, o que optavas por fazer?
Aluno: Neste caso não optava por fazer uma representação gráfica. Bastava olhar para os dois zeros e calcular o 𝑥, fazendo a média aritmética. Fazia exatamente o que fiz com a representação gráfica.
O aluno vê-se perante a situação de a partir das representações gráfica, tabular e em linguagem natural, só conseguir determinar a ordenada do vértice o que o deixa bastante confuso, perante essa constatação.
Falta-lhe a informação, do processo para determinar o vértice quando são conhecidos os zeros da função através da expressão algébrica na forma 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2).
Quando lhe foi pedido que definisse função quadrática, o Nuno apresenta o seguinte:
O aluno associa a função quadrática com polinómios de 2º grau, como se pode ver na figura 9.4, mas não consegue fazer essa ligação.
É de salientar que o aluno não conhece esta expressão no contexto de funções, mas conhece no contexto de polinómios. Como esta expressão não faz parte do campo conceitual que o aluno tem da função quadrática, este não conseguiu estabelecer ligação com a expressão dos polinómios.
Questionando o aluno, relativamente aos extremos da função, por exemplo, este responde dizendo que só consegue indicar o mínimo a partir da representação algébrica, a única representação a partir da qual, consegue determinar o vértice. Assim não consegue determinar o mínimo da função a partir das outras representações.
Quando questionado sobre quais as maiores dificuldades que sentiu na aprendizagem das diversas representações da função quadrática, o aluno diz:
Aluno: Eu não senti bem dificuldades. Mas tendo em conta que estas duas não foram muito utilizadas (aponta a representação tabular e representação em linguagem natural), creio que tenha sido mais fácil a representação algébrica.
Investigador: E funcionalidade? Aluno: Talvez a representação gráfica.
Investigador: Então resumindo, com qual das representações preferes trabalhar? Aluno: Com a representação algébrica.
O aluno na primeira função apresentada, optou pela representação gráfica como primeira escolha e na segunda função optou pela representação algébrica, o que mostra que o aluno pondera qual a representação mais adequada, perante a situação que se lhe apresenta, embora mostre preferência pela representação algébrica.