V. BÖLÜM
5.1. Sonuçlar ve TartıĢma
O objetivo deste Apêndice é fazer uma breve revisão de conceitos e propriedades de Topo- logia que são usados ao longo do texto. Para mais detalhes e demonstrações dos Teoremas, veja (MUNKRES, 2000).
A.1 Espaços Topológicos
Dado um conjunto X, uma topologia T em X é uma coleção de subconjuntos de X com as seguintes propriedades:
a)∅ e X estão em T ;
b)A união qualquer de elementos de T está em T ; c)A intersecção finita de elementos de T está em T .
Um espaço topológico é um par (X,T ), onde X é um conjunto e T é uma topologia em X. Quando a topologia estiver subentendida, indicaremos apenas por X o espaço topológico.
Dizemos que A ⊂ X é um conjunto aberto de X se A ∈ T . Se o complementar de A, Ac= X \ A ∈ T ,
dizemos que A é um conjunto fechado de X. O maior subconjunto aberto Int A contido em A é chamado interior de A e o menor subconjunto fechado ¯A que contém A é dito fecho de A. Dizemos que A é denso em X se ¯A = X. Se Int( ¯A) = ∅, dizemos que A é um conjunto nunca densoem X.
Se Y é um subconjunto de (X,T ), então T induz uma topologia TY em Y da seguinte
forma: A é aberto em (Y,TY) se A = U ∩Y , onde U ∈ T . O par (Y,TY) é chamado subespaço
Em espaços topológicos podemos definir importantes conceitos como conjuntos conexos, compactos e funções contínuas.
Definição A.1. Sejam X e Y espaços topológicos. Uma função f : X → Y é dita contínua, se para cada V aberto em Y , f−1(V ) é aberto em X.
Uma definição equivalente para a continuidade é exigir que a pré-imagem de fechados seja fechada. Quando f : X → Y for bijetora, contínua e f−1: Y → X também for contínua, diremos
que f é um homeomorfismo, e que os espaços X e Y são homeomorfos.
Proposição A.2. Seja h : X → Y uma função contínua e sobrejetora. Se A é um subconjunto denso de X, então h(A) é denso em Y .
Definição A.3. Seja X um espaço topológico. Uma cisão de X é um par (A,B) de abertos disjuntos de X cuja união é o próprio X. Se X admite apenas a cisão trivial, ou seja, a cisão (X, ∅), X é dito conexo.
Proposição A.4. A imagem de um conjunto conexo por uma função contínua é conexa.
Dizemos que A é uma componente conexa de X se A é conexo e não existe B ⊂ X conexo tal que A ⊂ B, A 6= B. Note que, pela Proposição anterior, se f : X → X é um homeomorfismo, a imagem de componentes conexas de X por f também são componentes conexas.
Diremos que uma coleção A de subconjuntos de X é uma cobertura de X, se a união dos elementos de A é igual a X. Dizemos que A é uma cobertura para um subconjunto Y ⊂ X se Y está contido na união dos elementos de A. Se A é formada por subconjuntos abertos de X, então é dita cobertura aberta.
Definição A.5. Um espaço topológico X é dito compacto se toda cobertura aberta A de X admite uma subcobertura finita que também cobre X.
Tanto a conexidade quanto a compacidade são invariantes topológicos, ou seja, se f : X →Y é um homeomorfismo, A ⊂ X é conexo (compacto) se, e somente se, f (A) é conexo (compacto).
A.2 Espaços Métricos
Quando X é um conjunto finito, podemos descrever explicitamente uma topologia em X e verificar que essa coleção de subconjuntos satisfaz as três propriedades da definição de topo- logia. Porém, tipicamente estamos interessados em conjuntos infinitos, de forma que se torna difícil definir uma topologia em X exibindo explicitamente seus elementos. Isso nos leva a necessidade de criarmos a definição de base para uma topologia.
Definição A.6. Se X é um conjunto, uma base para uma topologia em X é uma coleção B de subconjuntos de X, chamados elementos básicos, tais que:
a)Para cada x ∈ X existe pelo menos um elemento básico B que contém x;
b)Se x pertence a intersecção de dois básicos B1 e B2, existe um básico B3 ⊂ B1∩ B2 tal que
x ∈ B3.
Se B satisfaz essas duas condições, definimos a topologia T gerada por B da seguinte forma: um elemento A é um aberto (ou seja, um elemento de T ) se para cada x ∈ A, existe um básico B ∈ B tal que x ∈ B e B ⊂ A. Dessa forma, cada elemento básico também é um aberto nessa topologia.
Uma importante classe de espaços topológicos que são gerados por bases são os espaços métricos.
Definição A.7. Uma métrica em X é uma função d : X × X → R que possui as seguintes pro- priedades:
a)(Positiva e definida) d(x,y) ≥ 0, para todo x,y ∈ X; a igualdade vale se, e somente se, x = y; b)(Simétrica) d(x,y) = d(y,x), para todo x,y ∈ X;
c)(Desigualdade Triangular) d(x,y) + d(y,z) ≥ d(x,z), para todo x,y,z ∈ X.
Um subconjunto de X da forma B(x,ε) = {y ∈ X|d(x,y) < ε}, onde ε > 0, é chamado de bola aberta de centro x e raio ε.
Definição A.8. Se d é uma métrica em um conjunto X, então a coleção de bolas abertas B(x,ε), para x ∈ X e ε > 0 é uma base para uma topologia em X. O conjunto X munido dessa topologia é chamado espaço métrico, e denotado por (X,d).
Dizemos que um subconjunto A de um espaço métrico (X,d) é limitado se existe um nú- mero M tal que
d(x,y) ≤ M,
para todo x,y ∈ X. Se A é limitado e não vazio, o diâmetro de A é definido como sendo o número diam(A) = sup{d(x,y)|x,y ∈ A}.
Se z é um elemento qualquer de X, definimos a distância do ponto z ao subconjunto A como d(z,A) = inf{d(z,a)|a ∈ A}.
Se (X,d1) e (Y, d2) são espaços métricos, dizemos que uma função f : X → Y é uma isome-
triase d1(a, b) = d2( f (a), f (b)), para todo a, b ∈ X.
Dizemos que um espaço topológico X é um espaço de Hausdorff se, para todo x16= x2∈ X
existem vizinhanças abertas disjuntas de x1 e x2 em X. Note que todo espaço métrico é de
Hausdorff.
Teorema A.9. Seja f : X →Y uma função contínua e bijetora. Se X é compacto e Y é Hausdorff, então f é um homeomorfismo.
A.3 Topologia Quociente
Sejam X e Y espaços topológicos e f : X → Y sobrejetiva. Diremos que f é uma aplicação quocientese, um conjunto A é aberto em Y se, e somente se, f−1(A) é aberto em X.
Se (X,TX) é um espaço topológico, Y um conjunto qualquer e f : X → Y sobrejetora,
existe uma única topologia TY em Y que torna f uma aplicação quociente. Essa topologia é
obviamente definida da seguinte forma: A ∈ TY se, e somente se, f−1(A) ∈ TX. Dizemos que
TY é a topologia quociente de Y induzida por f .
Por exemplo, suponha que (X,TX) seja um espaço topológico e X∗seja uma partição de X,
ou seja, X∗ é uma coleção de subconjuntos disjuntos (não vazios) de X cuja união é o próprio
X. A cada x ∈ X, vamos denotar por [x] o elemento de X∗ que contém x. Defina a projeção
canônica
π : X → X∗ x 7→ [x]
Note que π é uma função sobrejetora, de forma que podemos definir a topologia quociente T induzida por π em X∗. Um subconjunto A ⊂ X∗ será aberto em (X∗, T ) se, e somente se, π−1(A) for aberto em TX. Por construção, a projeção canônica π é uma aplicação quociente e,