Para a realização da análise numérica pelo Método das Nuvens hp, adotou-se:
ordem da base polinomial: no sistema de equações (5.3) aparecem derivadas de se-
gunda ordem das funções de forma Φy e de primeira ordem para Φx. Para que a convergência da solução esteja garantida (completidade), as aproximações de uy e ux devem representar no mínimo polinômios completos do segundo e pri- meiro grau respectivamente. Sendo assim, para a presente análise foram utili- zadas as famílias de Nuvens-hp ℑk=0,p=3
N e ℑ
k=0,p=1
N para as aproximações nas direções y e x. Tais famílias foram construídas a partir das funções de She- pard, 2.13, enriquecidas pelas bases de monômios Pp=3=
n 1 x x2 x3 oe Pp=1= n 1 x o ;
distribuição de pontos: foi empregada uma distribuição uniforme de pontos, mos-
trada na Figura 5.2(b), com a distância entre pontos h = 40cm. A função de ponderação empregada para a construção das funções de Shepard é a do tipo spline cúbica, já empregada na seção 3.1.1, com Rj = h, ∀j;
integração numérica: para melhor captar a distribuição do dano, foram emprega-
dos 20 pontos de quadratura por célula para a integração numérica de Gauss- Legendre ao longo de x, e 10 estratos para a integração na altura y;
não-linearidade física: apenas o concreto tem comportamento não-linear, simulado
pelos modelos de Mazars e La Borderie. O aço foi considerado elástico linear e perfeitamente aderente ao concreto. O problema não-linear físico foi resolvido aplicando-se o Método de Newton-Raphson, BATHE (1996). Para o Modelo de Mazars foi empregada a formulação tangente, expressão (4.6) e para o Modelo de La Borderie a secante, (4.20);
análise dinâmica: a solução do sistema de equações (5.3) foi obtida através do mé-
ARGYRIS; MLEJNEK (1991) para análise não-linear física. Detalhes da imple- mentação desse algoritmo, em que são combinados os procedimentos de New- mark e de Newton-Raphson, podem ser encontrados em RODRIGUES (1997) e PAULA (2001);
equilíbrio: a convergência do algoritmo em cada passo incremental foi averiguada
pela norma de energia incremental, com tolerância de 10−10 e da norma L 2 do resíduo dos deslocamentos, com tolerância relativa de 10−6;
simetria: as análises numéricas foram conduzidas para a estrutura completa, sem que
a simetria fosse considerada. Tal fato se deve à análise dinâmica e não a alguma limitação do método sem malha.
0 10 20 30 40 50 0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 U (mm) F (kN) Experimental 1 Experimental 2
Método das Nuvens (Mazars) Método das Nuvens (La Borderie)
y
Figura 5.4:Análises estáticas - resultados experimentais de ÁLVARES (1993)
No gráfico da Figura 5.4 confrontam-se os resultados experimentais e numéricos para a análise estática. Para a solução do problema não-linear com ambos os modelos, Mazars e La Borderie, foram utilizados 20 passos de força no valor de 2,25 kN. A divergência das curvas após o nível de força de 35 kN ocorre devido à plastificação das barras, que não é considerada nas análises numéricas. Para valores inferiores, os resultados podem ser considerados bons, observando-se uma equivalência entre a resposta obtida para os dois modelos adotados.
Para o problema dinâmico, adotou-se um passo de tempo ∆t = 1 · 10−5s e foram consideradas duas situações de solicitação, vibração forçada, Figura 5.5(a), para uma força F (t) = 25 kN, de t = 0 a t → ∞ e vibração livre, Figura 5.5(b), para um
deslocamento inicial de 1 mm. Nestas duas situações, as respostas não-lineares da estrutura foram contrapostas à resposta elástica-linear sem dano. Devido ao processo de danificação, observa-se um aumento no período de vibração, com ambos os modelos e para os dois tipos de solicitação. Este aumento é, contudo, mais pronunciado para o Modelo de Mazars. Para o caso de vibração livre, a diferença entre as respostas dos dois modelos é ainda maior. Para a análise feita com o Modelo de La Borderie, observou-se uma redução bastante significativa da amplitude da curva, que passa a vibrar ao redor de uma posição diferente da de repouso.
0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 tempo (s) u (mm)
Modelo elástico Modelo de Mazars Modelo de La Borderie
(a)Vibração forçada
-1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 tempo (s) u (mm)
Modelo elástico Modelo de Mazars Modelo de La Borderie
(b)Vibração livre Figura 5.5:Análises dinâmicas
Dois fatores são importantes para explicar as respostas numéricas obtidas. Pri- meiramente, deve-se lembrar que, diferentemente do Modelo de Mazars, as deforma- ções residuais são consideradas no Modelo de La Borderie, seção 4.3. Dessa forma, para ambos os tipos de solicitação dinâmica, após um período inicial de evolução do dano, a estrutura governada pelo Modelo de Mazars comporta-se como um meio elás- tico com uma rigidez inferior à inicial. Para a simulação através do Modelo de La Bor- derie, a vibração livre passa a ocorrer em uma nova posição, definida pelo estado de deformações residuais. Outro fator importante refere-se ao comportamento uni-lateral do concreto que é levado em conta apenas no Modelo de La Borderie. Nesse caso, o fechamento das fissuras inibe a evolução do processo de danificação o que explica as menores amplitudes de vibração observadas nos dois gráficos. Este efeito é melhor observado na análise da vibração livre, pois nessa situação ocorre não apenas o descar- regamento, como também a inversão da solicitação. A estrutura recupera a rigidez para um nível inferior de energia e, por isso, vibra menos. Uma discussão bem mais deta-
lhada sobre esse tema pode ser encontrada em PAULA (2001), onde a viga de concreto armado é analisada pelo MEF, com os mesmos modelos constitutivos, incluindo-se o amortecimento do material e o comportamento plástico da armadura. Conclui-se que, apesar da ausência da comprovação experimental para as análises dinâmicas, o Modelo de La Borderie simula de forma mais adequada o comportamento do concreto. Para uma análise estática, entretanto, em que o carregamento é proporcional e não ocorre inversão de solicitação, a equivalência entre as simulações feitas com os dois modelos e a simplicidade de implementação do Modelo de Mazars acabaram sendo decisivas para o seu emprego nas experimentações numéricas bi-dimensionais realizadas, nas próximas seções, com o MEFG.
Finalmente, resta salientar que uma análise através do MGLE não se diferencia muito do que foi realizado para o Método das Nuvens hp, a menos do tipo de dis- tribuição de nós. Para que resultados semelhantes sejam obtidos com o MGLE, uma base Pk=3deve ser adotada, construindo-se, assim, uma aproximação para polinômios de ordem cúbica. Como conseqüência, torna-se necessária a utilização de um número bem superior de nós para a aproximação do domínio.