Seja P o problema de localização de bases, alocação e realocação de ambulâncias, conforme o modelo matemático descrito na seção 3.2. Este é formado por subproblemas de localização e alocação em cada período Lt e por subproblemas de
realocação resultantes das diferenças de alocação entre períodos subsequentes Rt.
Caso o problema esteja definido apenas para um período, existe apenas um problema de localização L. )} ∪ ... ∪ ∪ ∪ ( ) ... {( 1 2 3 T 1 2 3 T R R R R L L L L P (4.1)
Ao analisar a função objetivo (3.27) da formulação matemática proposta na seção 3.2, verifica-se que o parâmetro pode ser visto como uma penalidade para realocação de ambulâncias entre as bases tendo em vista a característica da malha de pontos quanto aos tempos de deslocamento em cada período considerado na análise; a penalidade de uma determinada realocação é dada pelo produto entre e o tempo de deslocamento da realocação. De acordo com Schmid e Doerner (2010), quanto menor for a penalidade , mais a solução do problema de localização, alocação e realocação, tratado nesse trabalho, se aproxima do caso que corresponde a resolver múltiplos problemas independentes de localização e alocação, um para cada período considerado na análise. Dessa forma, se o valor de puder ser assumido como muito pequeno, de maneira que a segunda parcela da função objetivo (3.27) seja muito pequena em relação à primeira parcela, o problema P pode ser decomposto em dois subproblemas independentes: um de localização de bases e alocação de ambulâncias nos períodos de análise, e outro de realocação de ambulâncias em períodos subsequentes, o qual decorre da solução do primeiro subproblema.
Em seu trabalho, Schmid e Doerner (2010) realizam diversos experimentos para determinar o parâmetro de penalidade. Os resultados indicam que, nos casos em que a demanda total do sistema é elevada, um aumento significativo no valor de causa pequena deterioração nos valores de cobertura da função objetivo em comparação à cobertura máxima possível, a qual é encontrada no caso em que é igual a zero. Outra interpretação do parâmetro seria o número de chamados a mais que poderiam ser atendidos, de modo a justificar a realocação de uma ambulância, ou seja, um trade-off entre o custo de uma determinada realocação e o acréscimo de cobertura proporcionado por ela.
Neste trabalho, considera-se que o objetivo primordial de um sistema de ambulâncias é o de maximizar a probabilidade de sobrevivência de pacientes sujeitos a traumas e acidentes, a qual é afetada diretamente pela cobertura esperada. Assim, nesta pesquisa, o objetivo de minimizar o custo das realocações assume um papel secundário. Isso, além das constatações de Schmid e Doerner (2010), torna possível assumir valores de pequenos o suficiente para que a segunda parcela da função objetivo (3.27), que representa o custo de realocação, seja desprezível em relação ao primeiro termo que representa a cobertura esperada.
Dessa forma, o problema de localização, alocação e realocação de ambulâncias apresentado é decomposto em dois subproblemas: o problema de localização de bases e alocação de ambulâncias e o problema de realocação de ambulâncias. Nesse caso, a localização de bases e a alocação das ambulâncias nos diferentes períodos de tempo considerados na análise são parâmetros de entrada para o problema de realocação.
Considerando pequenos valores do parâmetro e considerando a expressão (4.1), a decomposição do problema pode ser formalizada resultando em dois subproblemas: o problema de localização e alocação PL, e o problema de realocação PR.
)} ∪ ... ∪ ∪ ∪ ( ) ∪ ... ∪ ∪ ∪ {( 1 2 3 T 1 2 3 T R R R R L L L L P (4.2) } { L R P P P (4.3)
A solução de PL condiciona os parâmetros de entrada para a solução de PR. Assim
sendo, resolve-se primeiro PL e com o resultado, resolve-se PR. A solução de PL
consiste em encontrar a localização de bases comuns a todos os Lt e a alocação de
viaturas em cada Lt, de modo a maximizar a cobertura esperada do sistema de
ambulâncias, como exposto no capítulo 3. Para tanto, desenvolveu-se um algoritmo baseado no algoritmo Artificial Bee Colony.
Cada problema Rt consiste em encontrar o plano de realocação entre soluções de
problemas Lt subsequentes, sendo que esse plano de realocação é a definição de
quantas ambulâncias de cada tipo devem ser movidas de uma determinada base para uma outra entre os períodos t e t+1. Cada um dos problemas Rt pode ser encarado
como um problema de transporte, tal que as viaturas devem ser transportadas entre origens (alocação do período t) e destinos (alocação do período t+1), de modo a minimizar o custo de transporte. Sendo assim, para a solução de PR, neste trabalho,
aplica-se o algoritmo de transporte, que é um algoritmo de solução específico do problema de transporte, por T vezes, uma para cada Rt. Vale ressaltar que RT, o
problema de realocação do último período, corresponde ao problema de realocação entre o último e o primeiro período.
De acordo com Rajagopalan et al. (2008), problemas de localização e realocação são tipicamente NP-Completos devido à sua natureza combinatória. Diante disso, o uso de meta-heurísticas representa um caminho promissor para a solução do problema proposto nesse trabalho.
Para a solução do subproblema de localização e alocação de ambulâncias é proposto um algoritmo baseado na meta-heurística de colônia artificial de abelhas (Artificial
Bee Colony). Nesse algoritmo busca-se, em múltiplos períodos, encontrar a localização
de bases comuns a todos os períodos e a alocação de ambulâncias a essas bases nos diversos períodos, de modo a maximizar a cobertura esperada, respeitando às condições mínimas de viabilidade: (i) cada ponto de demanda i deve ter no mínimo uma ambulância do tipo BLS alocada a uma base posicionada a no máximo rB e uma
ambulância do tipo ALS alocada a uma base posicionada a no máximo rA (rA e rB são
disponibilidade de viaturas; e (iii) devem ser respeitadas as capacidades de suportar veículos de cada base.
Para o subproblema de realocação de ambulâncias faz-se uma analogia com o problema de transporte, um problema clássico da pesquisa operacional. Considerando a localização de bases, comuns a todos os períodos, a alocação de viaturas num determinado período é tomada como fonte de veículos que devem ser transportados para a alocação de viaturas no período subsequente, minimizando o custo de transporte, que, neste caso, pode ser considerado equivalente ao tempo total de deslocamento das realocações.
Assim, para a solução do problema completo de localização de bases, alocação e realocação de ambulâncias, resolve-se primeiramente o problema de localização e alocação em múltiplos períodos visando encontrar boas configurações da malha de atendimento para os períodos de tempo considerados, e em seguida resolve-se o problema de realocação, tomando a solução do anterior como entrada, visando otimizar as realocações necessárias, compostas das diferenças entre as posições de ambulâncias entre períodos subsequentes. O algoritmo desenvolvido neste trabalho, que resolve sequencialmente esses dois subproblemas foi denominado de Algoritmo com Colônia de Abelhas.