Os modelos físicos mais elaborados orginam sistemas diferenciais com duas ou mais variá- veis dependentes, as equações diferenciais parciais (EDP) (PINTO; LAGE, 2001). De acordo com LeVeque (2007), diversas EDP de relevância física são oriundas do princípio de conserva- ção. Ainda de acordo com o autor, nos textos mais elementares a classificação para um sistema genérico de equações diferenciais para duas variáveis 𝑥 e 𝑦 pode ser expressa conforme pode ser visto na Equação (50).
𝒜𝑢𝑥𝑥+ ℬ𝑢𝑥𝑦 + 𝒞𝑢𝑦𝑦+ 𝒟𝑢𝑥+ ℰ𝑢𝑦+ 𝑓 𝑢 = 𝑔 (50)
As EDP podem ser classificadas em elípticas , parabólicas e hiperbólicas de acordo com o discriminante, conforme pode ser visto na Equação(51). Conforme pode ser visto em LeVe- que (2007), cada uma dessas classes representa suas características próprias, e determinam as estratégias de resolução da EDP.
ℬ2− 4𝒜𝐶 ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ < 0 ⇒ Elíptica = 0 ⇒ Parabólica > 0 ⇒ Hiperbólica (51)
Os exemplos canônicos para cada uma das classes são o problema de Poisson 𝑢𝑥𝑥+ 𝑢𝑦𝑦 = 𝑔
para um problema elíptico, a equação do calor 𝑢𝑡 = 𝜅𝑢𝑥𝑥 com (𝜅 > 0) para um problema
parabólico e a equação de onde 𝑢𝑡𝑡 = 𝑐2𝑢𝑥𝑥para um problema hiperbólico (LEVEQUE, 2007).
Através do MDF um sistema de EDP pode ser discretizado para as suas variáveis, origi- nando um sistema de equações algébricas. O primeiro passo para a sua solução consiste na discretização da variável dependente ao longo do domínio das variáveis independentes. As- sim, uma função 𝑢(𝑡,𝑥,𝑦) ao ser discretizada gerará um sistema de equações algébricas de três dimensões, conforme mostra a Equação (52)
𝑢𝑛𝑖,𝑗 = 𝑢(𝑡𝑛, 𝑥𝑖, 𝑦𝑗) (52)
Onde 𝑡𝑛, 𝑥𝑖, 𝑦𝑗 representam cada ponto da malha de discretização.
Capítulo 2. Referencial teórico
Em seguida, os operadores diferenciais que figuram na EDP são discretizados por meio das aproximações numéricas utilizando diferenças finitas, conforme pode ser visto na Seção 2.4.2. Finalmente, as aproximações numéricas para os operadores diferenciais são substituídos no sistema de EDP e em suas condições de contorno, gerando um sistema algébrico, cuja solução fornece a solução aproximada do problema original (PINTO; LAGE, 2001).
Na literatura, frequentemente os problemas de EDPs são classificados quanto à sua natureza em termos de resolução em problemas de valor inicial (PVI) , aonde as variáveis de interesse são conhecidas em um tempo inicial, e deseja-se conhecer seu valor em outro instante de tempo final; Problemas de valor de contorno (PVC), aonde o objetivo consiste na determinação do perfil de determinada variável ao longo do domínio; Problema de natureza mista, ou de valor de contorno e valor inicial (PVCVI), aonde tanto o valor das variáveis deve ser determinado no instante de tempo de interesse, como a distribuição das mesmas ao longo do domínio.
Nas seções abaixo serão apresentadas as principais metodologias para a resolução de EDPs utilizando o método das diferenças finitas: resolução direta do sistema algébrico resultante da discretização e a utilização do método das linhas.
2.4.3.1 Resolução direta
Conforme já foi mencionado, a discretização do sitema de EDPs pelo método das diferenças finitas gera um sistema de equações algébricas. Assim, seja uma EDP na forma apresentada na Equação (53), sua representação discretizada pelo MDF pode ser visualizada na Equação (54).
𝜕𝑢(𝑡,𝑥) 𝜕𝑡 + 𝒜 𝜕𝑢(𝑡,𝑥) 𝜕𝑥 = 0 (53) 𝑢𝑛+1𝑖 − 𝑢 𝑛 𝑖 − 𝒜 𝛿𝑡𝛿𝑥(𝑢𝑖+1− 𝑢𝑖) = 0 ⇒ 𝑓(𝑢 𝑛+1 𝑖 ,𝑢 𝑛 𝑖,𝑢 𝑛 𝑖+1) = 0 (54)
Através da metodologia de resolução direta do sistema algébrico apresentado na Equação (54), uma solução aproximada para a Equação (53) pode ser obtida por meio da resolução do sistema algébrico para cada instante 𝑛, obtendo assim o valor para o instante posterior 𝑛 + 1. É importante notar que por se tratar de um PVI (ou PVCVI, à critério das condições de contorno), estratégias de discretização temporais são necessárias para aproximar o termo da esquerda da Equação (53). Existem diversas estratégias de aproximação do termo temporal, conforme pode ser visto em Press et al. (2007). Em linhas gerais, essas estratégias se dividem em duas grandes categorias:
Explícitas: Aproximações explícitas utilizam os valores da função discretizada 𝑢 no instante 𝑛 para o cálculo dos valores no instante de tempo posterior, 𝑢𝑛+1. São de fácil implemen-
Capítulo 2. Referencial teórico
tação quando comparados aos métodos implícitos, e por não demandarem a resolução de um sistema linear a cada passo de tempo, exigem um menor esforço computacional. A Equação (55) permite visualizar a forma discretizada da Equação (53) por meio de uma aproximação de diferenças para frente no tempo (foward in time) e centrais no espaço (centered in space), combinação de aproximações que por vezes são chamadas de FTCS (foward in time, centered in space). No entanto, de acordo com Press et al. (2007), a estabilidade das respostas obtidas com métodos explícitos é inferior a que é obtida com o emprego dos implícitos.
𝑢𝑛+1𝑖 − 𝑢𝑛 𝑖 𝛿𝑡 = 𝒜 2𝛿𝑥(𝑢 𝑛 𝑖+1− 𝑢𝑛𝑖−1) (55)
Implícitas: Os métodos de aproximação explícitos utilizam os próprios valores da função no instante de tempo 𝑛 + 1 para o cálculo de 𝑢𝑛+1, demandando a resolução de um sistema
linear a cada passo de tempo. Isso torna a implementação das aproximações implíci- tas mais laboriosas do que as do métodos explícitos, além de exigir um maior esforço computacional. A Equação (56) permite visualizar a forma discretizada da Equação (53) utilizando uma aproximação de diferenças para trás no tempo (backward in time) e cen- trais no espaço (centered in space), chamada de BTCS (backward in time, centered in space). Press et al. (2007) descrevem que a laboriosa implementação e o esforço compu- tacional exigidos pelos métodos implícitos são recompensados pela estabilidade em sua resposta. 𝑢𝑛+1𝑖 − 𝑢𝑛𝑖 𝛿𝑡 = 𝒜 2𝛿𝑥(𝑢 𝑛+1 𝑖+1 − 𝑢𝑛+1𝑖−1) (56)
2.4.3.2 Método das linhas
O método das linhas consiste na discretização parcial de uma EDP, na qual todas as coorde- nadas menos uma são discretizadas. A coordenada que não é discretizada deve aparecer apenas como uma derivada de primeira ordem, isto é, a equação diferencial parcial é de primeira or- dem em relação à esta coordenada. Assim, através da aplicação da técnica obtem-se um sistema de equações diferenciais ordinárias como resultado (PINTO; LAGE, 2001). O método das li- nhas por vezes é referenciado como semidiscreto, uma vez que frequentemente os operadores diferenciais espaciais são discretizados, e os temporais mantidos (LEVEQUE, 2007).
Discretizando a variável 𝑥 presente na Equação (53) por meio de diferenças finitas centrais e mantendo os operadores diferenciais que utilizam a variável 𝑡, a forma semidiscretizada da mesma pode ser vista abaixo, para um domínio semidiscretizado ao longo da direção 𝑥 em 𝑛 seções.
𝑑𝑢𝑖(𝑡)
𝑑𝑡 = 𝒜
2𝛿𝑥[𝑢𝑖+1(𝑡) − 𝑢𝑖−1(𝑡)] (57)
Capítulo 2. Referencial teórico
De acordo com Pinto & Lage (2001), a grande vantagem do emprego do método das linhas consiste na utilização de rotinas computacionais já existentes para a integração dos sistemas de EDO resultantes da semidiscretização, rotinas estas que já foram extensivamente testadas e são confiáveis. Além da vantagem citada pelos autores, a facilidade de implementação da solução é outro ponto positivo para o método.