5 TARTI¸ SMA ve SONUÇ - Birinci Mertebeden Lineer Olmayan Gecikmeli Diferensiyel Denklemlerin

Bu tez çal¬¸smas¬nda a¸sa¼g¬daki sonuçlar elde edilmi¸stir.

u0(t) + p(t)f (u( (t))) = 0 (5.1) birinci mertebeden lineer olmayan gecikmeli diferensiyel denklemi göz önüne alal¬m. Burada p(t) 0; (t) 0; (t) monoton olmas¬gerekmeyen gecikme ve

t t0 için (t) t ve lim t!1 (t) =1; f _{2 C(R; R) ve u 6= 0 için uf(u) > 0} olsun. Ayr¬ca lim sup u!0 u f (u) = N; 0 N <1

olmak üzere (5.1) denkleminin tüm çözümlerinin sal¬n¬ml¬olmas¬için a¸sa¼g¬daki ko¸sullar elde edilmi¸stir.

(i) lim inf t!1 t Z (t) p(s)ds > N e ; (ii) 0 < N <_{1 ve (t) := sup} s t (s)olmak üzere, lim sup t!1 t Z (t) p(s)ds > N:

Elde edilen bu sonuçlar ile “Oscillation of Nonlinear Delay Di¤erential Equations with Non-Monotone Arguments”isimli makale çal¬¸smas¬haz¬rlanm¬¸s ve “International Jour- nal of Analysis and Applications” adl¬dergide yay¬nlanm¬¸st¬r.

Birinci mertebeden lineer olmayan ileri diferensiyel denklemi göz önüne alal¬m.

u0(t) p(t)f (u( (t))) = 0; (5.2) p(t) 0; (t) 0; (t) monoton olmas¬gerekmeyen gecikme,

t t0 için (t) t ve lim t!1 (t) =1; f _{2 C(R; R) ve u 6= 0 için uf(u) > 0} olsun. Ayr¬ca lim sup juj!1 u f (u) = N; 0 N <1

olmak üzere (5.2) denkleminin tüm çözümlerinin sal¬n¬ml¬olmas¬için a¸sa¼g¬daki ko¸sullar elde edilmi¸stir.

(i) lim inf t!1 (t) Z t p(s)ds > N e ; (ii) 0 < N <_{1 ve (t) := inf} s t (s) olmak üzere, lim sup t!1 (t) Z t p(s)ds > N:

Buradan elde edilen sonuçlar ile “Oscillatory Behaviour of Non-Linear Advanced Dif- ferential Equations with Non-Monotone Argument”isimli makale çal¬¸smas¬haz¬rlanm¬¸s ve Acta Mathematica Universitatis Comenianae adl¬dergide yay¬na kabul edilmi¸stir. Birinci mertebeden lineer olmayan birkaç gecikme terimli diferensiyel denklemi göz önüne alal¬m. u0(t) + m X i=1 pi(t)fi(u( i(t))) = 0; (5.3)

burada m 2 N; 1 i m için pi(t) 0; i(t) 0; i(t) monoton olmas¬gerekmeyen

gecikmeler olmak üzere,

1 i m için i(t) t; t t0 ve lim

t!1 i(t) =1;

1 i m; u_{6= 0 için f}i 2 C(R; R) ve ufi(u) > 0

olsun. Ayr¬ca 1 i m için

lim sup

u!0

u fi(u)

olmak üzere (5.3) denkleminin tüm çözümlerinin sal¬n¬ml¬olmas¬için a¸sa¼g¬daki ¸sartlar elde edilmi¸_{stir. m 2 N; 1} i m için

(i) lim inf t!1 t Z (t) m X i=1 pi(s)ds > N e ; (ii) 0 < N <_{1 olmak üzere,}

lim sup t!1 t Z (t) m X i=1 pi(s)ds > N ; burada i(t) := sup t s

i(s); N = maxfNig ve (t) = min f i(t)g ¸seklinde tan¬mlanm¬¸st¬r.

Elde edilen bu sal¬n¬ml¬l¬k ko¸sullar¬ ile birlikte “Oscillatory Behaviour for Nonlinear Delay Di¤erential Equations with Several Non-Monotone Arguments” isimli makale çal¬¸smas¬haz¬rlanm¬¸s ve yay¬na sunulmu¸stur. Ayr¬ca “Lineer Olmayan Gecikmeli Dife- rensiyel Denklemlerin Sal¬n¬ml¬l¬k Davran¬¸s¬”isimli BAPK proje çal¬¸smas¬ba¸slat¬lm¬¸st¬r ve “On Oscillation of Nonlinear Di¤erential Equations” isimli sözlü bildirimiz IJAS (2018) isimli konferansta sunulmu¸stur.

Birinci mertebeden lineer olmayan birkaç ileri terimli diferensiyel denklemi göz önüne alal¬m. u0(t) m X i=1 pi(t)fi(u( i(t))) = 0; (5.4)

burada m 2 N; 1 i m için pi(t) 0; i(t) 0; i(t) monoton olmas¬gerekmeyen

gecikmeler olmak üzere,

1 i m için i(t) t; t t0 ve lim

t!1 i(t) =1;

1 i m; u_{6= 0 için f}i 2 C(R; R) ve ufi(u) > 0

olsun. Ayr¬ca 1 i m için lim sup

juj!1

u fi(u)

= Ni; 0 Ni <1

olmak üzere (5.4) denkleminin tüm çözümlerinin sal¬n¬ml¬olmas¬için a¸sa¼g¬daki ¸sartlar elde edilmi¸_{stir. m 2 N; 1} i m için

(i) lim inf t!1 (t) Z t m X i=1 pi(s)ds > N e ;

(ii) 0 < N <_{1 olmak üzere,}

lim sup t!1 (t) Z t m X i=1 pi(s)ds > N ; burada i(t) := inf

s t i(s); N = maxfNig ve (t) = max f i(t)g ¸seklinde tan¬mlanm¬¸st¬r.

Burada elde etti¼gimiz sonuçlar ise makale çal¬¸smas¬ olarak derlenip yay¬na sunulmak üzere haz¬rlanmaktad¬r.

Birinci mertebeden lineer olmayan gecikmeli diferensiyel denklemlerle ilgili yap¬lan önceki çal¬¸smalarda gecikme terimlerinin monoton olmas¬söz konusu idi ancak elde et- ti¼gimiz sonuçlar ile birlikte gecikme terimlerinin monoton olma ¸sart¬kald¬r¬ld¬. Böylece elde edilen yeni sal¬n¬ml¬l¬k kriterleri ile birlikte monoton olmayan gecikmeleri içeren birinci mertebeden lineer olmayan gecikmeli ve ileri diferensiyel denklemlerin çözüm- lerinin sal¬n¬ml¬l¬¼g¬gösterildi.

6 KAYNAKLAR

Arino, O., Gyori, I. and Jawhari, A. (1984). Oscillation criteria in delay equations. Journal of Di¤erential Equations, 53: 115-123.

Berezansky, L. and Braverman, E. (2011). On some constants for oscillation and Sta- bility of delay equations. Proceedings of the American Mathematical Society, 139 (11): 4017-4026.

Bildik, N. (2012). Bilim ve Teknolojide Geli¸smi¸sli¼gin Matematiksel Temeli. Celal Bayar Üniversitesi.

Braverman, E. and Karpuz, B. (2011). On oscillation of di¤erential and di¤erence equations with non-monotone delays. Applied Mathematics and Computation, 218: 3880-3887.

Chatzarakis, G. E. and Öcalan Ö. (2016). Oscillations of di¤erential equations with non-monotone retarded arguments. LMS Journal of Computation and Mathematics, 19 (1): 98-104.

Chatzarakis, G. E. and Öcalan Ö. (2015). Oscillations of di¤erential equations with several non-monotone arguments. Dynmical Systems, 30 (3): 310-323.

Elbert, A. and Stavroulakis, I. P. (1990). Oscillations of …rst order di¤erential equations with deviating arguments. University of Ioannina T. R. No. 172. Recent trends in di¤erential equations, 163-178, World Sci. Ser. Appl. Anal., 1, World Sci.

Publishing Co. (1992).

Elbert, A. and Stavroulakis, I. P. (1995). Oscillation and non-oscillation criteria for delay di¤erential equations. Proceeding of the American Mathematical Society, 123: 1503-1510.

Erbe, L. H., Kong, Q. and Zhang, B. G. (1995). Oscillation Theory for Functional Di¤erential Equations. Marcel Dekker, New York.

Erbe, L. H. and Zhang, B. G. (1988). Oscillation of …rst order linear di¤erential equa- tions with deviating arguments. Di¤erential Integral Equations, 1: 305-314.

Fukagai, N. and Kusano, T. (1984). Oscillation theory of …rst order functional di¤erential equations with deviating arguments. Annali di Matematica Pura ed Applicata, 136: 95-117.

Gopalsamy, K. (1992). Stability and Oscillations in Delay Di¤erential Equations of Population Dynamics. Kluwer Academic Publishers.

Grammatikopoulos, M. K., Koplatadze, R. G. and Stavroulakis, I. P. (2003). On the oscillation of solutions of …rst order di¤erential equations with retarded argu- ments. Georgian Mathematical Journal, 10: 63-76.

Gyori, I. and Ladas, G. (1991). Oscillation Theory of Delay Di¤erential Equations with Applications. Clarendon Press, Oxford.

Hunt, B. R. and Yorke, J. A. (1984). When all solutions x0 ₌P_q

i(t)x(t Ti(t))

oscillate. Journal of Di¤erential Equations, 53: 139-145.

Koplatadze, R. G. and Chanturija, T. A. (1982). Oscillating and monotone solutions of …rst-order di¤erential equations with deviating arguments. (Russian),

Di¤erentsial’nye Uravneniya, 8: 1463-1465.

Kulenovic, M. R. and Grammatikopoulos, M. K. (1988). Some Comparison and Oscil- lation Results for First-Order Di¤erential Equations and Inequalities with a Devi- ating Argument. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 131: 67-84. Kusano, T. (1982). On Even Order Functional-Di¤erential Equations with Advanced

and Retarded Arguments. Journal of Di¤erential Equations, 45: 75-84.

Ladas, G. (1979). Sharp conditions for oscillations caused by delay. Applicable Analysis, 9: 93-98.

Ladas, G., Laskhmikantham, V. and Papadakis, J. S. (1972). Oscillation of high-order retarded di¤erential equations generated by retarded arguments. Delay and Func- tional Di¤erential Equations and Their Applications. Academic Press, New York, 219-231.

Ladas, G. and Stavroulakis, I. P. (1982). Oscillation Caused by Several Retarded and Advanced Arguments. Journal of Di¤erential Equations, 44: 134-152.

Ladde, G. S., Laskhmikantham, V. and Zhang, B. G. (1987). Oscillation Theory of Di¤erential Equations with Deviating Arguments. Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics, Vol. 110, Marcel Dekker, Inc., New York.

Li, X. and Zhu, D. (2002). Oscillation and Nonoscillation of Advanced Di¤erential Equations with Variable Coe¢ cients. Journal of Mathematical Analysis and Applications., 269: 462-488.

Myshkis, A. D. (1950). Linear Homogeneous Di¤erential Equations of First Order with Deviating Arguments. (Russian), Uspekhi Matematicheskikh Nauk, 5: 160-162. Öcalan, Ö. and Özkan, U. M. (2016). Oscillations of Dynamic Equations on Time

Scales with Advanced Arguments. International Journal of Dynamical Systems and Di¤erential Equations, 6 (4): 275-284.

Öcalan, Ö., K¬l¬ç, N., ¸Sahin, S. and Özkan, U. M. (2017). Oscillation of Nonlinear Delay Di¤erential Equation with Non-Monotone Arguments. International Journal of Analysis and Applications, 14 (2):147-154.

Öcalan, Ö., K¬l¬ç, N. and Özkan, U. M. (2018). Oscillatory Behaviour of Nonlinear Advanced Di¤erential Equations with Non-Monotone Argument. Acta Mathematica Universitatis Comenianae, yay¬na kabul edildi.

Tang, X. H. (2004). Oscillation of First Order Delay Di¤erential Equations with Dist- ributed Delay. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 289: 367-378.

ÖZGEÇM·I¸S Ad¬Soyad¬ : Nurten KILIÇ

Do¼gum Yeri ve Tarihi : Afyonkarahisar / 27:06:1990 Yabanc¬Dili : ·Ingilizce

Ileti¸sim (Telefon/e-posta) : nurten.kilic@dpu.edu.tr

E¼gitim Durumu (Kurum ve Y¬l)

Lise : Afyon Kocatepe Anadolu Lisesi, 2008.

Lisans : Afyon Kocatepe Üniversitesi, Matematik Bölümü, 2012. Yüksek Lisans : Afyon Kocatepe Üniversitesi, Matematik ABD., 2014.

Çal¬¸st¬¼g¬Kurum/Kurumlar ve Y¬l

Isparta- Yalvaç Mesleki ve Teknik Anadolu Lisesi, 2014 2016 Kütahya Dumlup¬nar Üniversitesi, Fen-Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü, 2016

Yay¬nlar¬(SCI ve Di¼ger):

Projeler

Lineer Olmayan Gecikmeli Diferensiyel Denklemlerin Sal¬n¬ml¬l¬k Davran¬¸s¬. Bildiriler

On Oscillation of Nonlinear Di¤erential Equations, Özet Bildiri- Sözlü Sunum, IJAS 2018 (Paris-France).

Belgede Birinci Mertebeden Lineer Olmayan Gecikmeli Diferensiyel Denklemlerin Salınımlılığı (sayfa 72-79)