Para avaliar o algoritmo da função Voigt com a expressão 4.12 no programa Mathematica 9.1, esse perfil foi usado para ajustar os picos de raios X das fontes radioativas de calibração 152Eu, 133Ba, 137Cs e 207Bi. Os espectros foram obtidos com um detetor de Si(Li) com resolução de aproximadamente 252 eV na energia de 5,9 keV. O tempo de aquisição foi escolhido a partir da atividade da fonte, de modo que a incerteza na área do pico de interesse fosse da ordem de 2%.
Os ajustes foram realizados usando-se a função de ajuste não linear nos parâmetros do programa Mathematica 9.1. Para tanto é preciso fornecer boas estimativas dos parâmetros a serem calculados. Usou-se como estimativa da largura natural da lorentziana os valores experimentais tabelados por Krause et al. (51). Tanto as posições quanto as amplitudes foram deixadas livres nos ajustes realizados.
Resultados
As figuras 4.3, 4.4, 4.5 e 4.6 trazem os resultados dos ajustes do perfil Voigt aos picos de raios X dos espectros de energia das fontes radioativas. Para avaliar a qualidade do ajuste, usou-se o valor do qui quadrado reduzido bem como o valor estimado para a largura natural da lorentziana, junto à sua respectiva incerteza, já que esse é o parâmetro mais crítico do ajuste, uma vez que ele costuma ser bem menor do que a largura a meia altura da gaussiana e apresenta uma forte correlação com esta.
Na tabela 4.1 é apresentado o valor do qui quadrado reduzido para cada ajuste, bem como os valores da largura natural da lorentziana ajustados e o tabelado por Krause et al. (51).
71 Figura 4.3: Ajuste dos parâmetros dos picos devido às transições e do 152Sm que seguem o decaimento do 152Eu com o perfil Voigt. A linha roxa (à esquerda) corresponde ao pico , a laranja (à direita) a linha , a preta à componente contínua do espectro e a linha vermelha à soma de todas as contribuições. A dispersão em energia é de aproximadamente ⁄ .
Figura 4.4: Ajuste dos parâmetros dos picos devido às transições e do 133Cs que seguem o decaimento do 133Ba com o perfil Voigt. A linha azul (à esquerda) corresponde ao pico , a verde (à direita) a linha , a preta à componente contínua do espectro e a linha vermelha à soma de todas as contribuições. A dispersão em energia é de aproximadamente ⁄ .
152Sm
72 Figura 4.5: Ajuste dos parâmetros dos picos devido às transições e do 137Ba que seguem o decaimento do 137Cs com o perfil Voigt. A linha roxa (à esquerda) corresponde ao pico , a marrom (à direita) a linha , a preta à componente contínua do espectro e a linha vermelha à soma de todas as contribuições. A dispersão em energia é de aproximadamente ⁄ .
Figura 4.6: Ajuste dos parâmetros dos picos devido às transições e do 207Pb que seguem o decaimento do 207Bi com o perfil Voigt. A linha verde (à esquerda) corresponde ao pico , a laranja (à direita) a linha , a preta à componente contínua do espectro e a linha vermelha à soma de todas as contribuições. A dispersão em energia é de aproximadamente ⁄ .
137Ba
73 Tabela 4.1: Resultados dos ajustes dos parâmetros dos picos de raios X com o perfil Voigt para as fontes apresentadas na primeira coluna. As demais colunas apresentam, em ordem: o valor do qui quadrado reduzido; a probabilidade do qui quadrado ser excedido; o valor estimado para a largura natural da lorentziana e o valor adotado deste último, obtido da referência (51), que apresenta incerteza da ordem de 10%, conforme citado na própria referência.
Descrição P estimado tabelado
152Eu 1,12 6,8% 0,019(5) 0,023
133Ba 1,19 3,7% 0,011(3) 0,015
137Cs 1,06 20,61% 0,013(3) 0,017
207Bi 1,09 5,2% 0,071(7) 0,065
4.4 Discussão
Foi apresentada uma expressão para a função Voigt a partir da função erro com argumentos complexos que foi usada junto com a função de ajuste não linear nos parâmetros do programa Mathematica 9.1. Os valores ajustados para a largura natural da lorentiziana mostraram-se compatíveis com os valores adotados na literatura, levando em conta a incerteza de cerca de 10% (51) destes últimos, para os picos ajustados. No caso do espectro de 133Ba, o valor do qui quadrado reduzido está no limite do que se considera aceitável para um bom ajuste, com uma probabilidade de ser excedido de 3,7%. Este pico, entretanto, apresenta cerca de três vezes mais contagens do que os demais, de modo que uma hipótese é o fato dos fenômenos não levados em conta no perfil Voigt e que são mais proeminentes no caso de maior estatística estarem conduzindo a esse resultado. Um exemplo desses fenômenos é o espalhamento a baixo ângulo, tanto nos arredores do detetor quando da fonte, que dá origem a uma cauda, muitas vezes ajustada com uma forma exponencial (49) e que será tanto mais explícita quanto maior for o número de contagens no pico.
Apresentou-se um estudo avaliando as regiões onde a função gaussiana pode ser usada para substituir a função de Voigt com boa aproximação, ficando claro que para a razão ⁄ da ordem de 0,1 a função de Voigt não pode ser substituída por uma forma gaussiana, enquanto que para valores da ordem de 0,01 pode-se fazer essa aproximação com boa
74 precisão. Para situações intermediárias, é necessária uma avaliação particular do caso, verificando a influência no qui quadrado absoluto quando se aumenta um parâmetro a ser ajustado.
A função Voigt apresentada foi usada para calcular as áreas dos picos de raios X usados na calibração de eficiência. Para as áreas necessárias no cálculo das seções de choque das linhas do Ta e do Au não se usou a função Voigt, uma vez que um teste, detalhado nos capítulos 6 e 7, mostrou que o ajuste dos picos naquela região pode ser feito com a forma gaussiana com boa aproximação.
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