2. S˙ISTEM TANIMLAMA
2.5 Sistem Tanımlamada Giri¸s ˙I¸saretleri
Sistem tanımlamada giri¸s sinyali seçimi, sinyal tanımlama sonucunu direkt olarak de˘gi¸stirebilen önemli bir etkiye sahiptir. Sisteme verilen giri¸s sinyalleri sonucu toplanan çıkı¸slar veri setimizi olu¸sturacaktır ve bu veri setinin sistemi en iyi ¸sekilde temsil etmesi gerekmektedir. Sonuçta olu¸sacak veriler sistemin yüksek ve dü¸sük frekanslı karakterlerini ortaya çıkarmalı ve sistemi tanımlayabilmelidir. [5] Aksi halde sistem tam anlamıyla tanımlanamaz ve olu¸sacak model kullanılamaz.
Genellikle sistemleri örneklenmi¸s veriler üzerinden tanımlarız. Bu durumda giri¸s ve çıkı¸s verileri ayrık zamanda tanımlanır. Pek çok senaryoda da sistemi ayrık zamanda tanımlarız. Günümüzde kontrol sistemlerinin dijitalle¸smesi de bu ayrık yapı için ön ayak olmu¸stur. Bir sisteme tanımlamada pek çok giri¸s sinyali kullanılabilir ancak a¸sa˘gıdaki giri¸s sinyali tipleri sıklıkla kullanılan sinyal türleridir: [5]
• Basamak fonksiyonu
• Sözde rassal sayı üreteci(Pseudo Random Binary Sequence)
• Otoregresif entegre hareketli ortalama süreci(Autoregressive Integrated Moving Average Process)
• Sinüslerin toplamı
Yukarıdaki bu giri¸s i¸saretlerinden çok farklı i¸saret tipleri de vardır. Ancak günümüzde kullanılan ve de˘gi¸sik problemlerde iyi sonuçlar ürettiklerinden dolayı genellikle bu tipler tercih edilmektedir.
2.5.1 Basamak fonksiyonu
Basamak fonksiyonu sıklıkla kullanılan bir giri¸s i¸saretidir. ˙I¸sareti içerisinde genlik de˘geri u0ayarlanarak istenilen i¸saret üretilebilir. Özellikle yüksek sinyal-gürültü oranı
a¸sım ve statik kazanç basamak yanıtı ile direkt olarak etkilidir. [5] A¸sa˘gıdaki formül ile temel bir basamak fonksiyonu üretilebilir:
u(t)= 0 e˘ger t < 0
u0 e˘ger t ≥ 1 (2.2)
2.5.2 Sözde rassal sayı üreteci(PRBS)
Sözde rassal sayı üreteci, iki seviye arasında bir sinyali kaydırarak olu¸sturulan giri¸s sinyalleridir. Sıklıkla tercih edilen bir giri¸s sinyalidir ve kayan yazmaçlarla sonlu durum makinesi olu¸sturarak gerçeklenebilir. Genellikle periyod deneysel verilerin sayısına e¸sit veya daha fazla seçilir. [5] Olu¸sturmak için bir saat sinyali kullanılır. Sinyal belirli bir de˘gere geldi˘ginde bir seviyeden di˘gerine geçi¸s sa˘glanır ve sürekli olarak iki sinyal arasında bir geçi¸s vardır. Bu sinyal geçi¸sleri için bir polinom fonksiyonu kullanılır ve bu fonksiyonun a¸sa˘gıdaki gibi çe¸sitleri mevcuttur: [34]
• PRBS7: x7+ x6+ 1 • PRBS9: x9+ x5+ 1 • PRBS11: x11+ x9+ 1 • PRBS15: x15+ x14+ 1 • PRBS20: x20+ x3+ 1 • PRBS23: x23+ x18+ 1 • PRBS31: x31+ x28+ 1
¸Sekil 2.6’da MATLAB’da PRBS7 ile üretilmi¸s bir sinyal verilmi¸stir. Bu sinyal sistem giri¸sine uygulanarak sistem içerisinde bilgi çıkarımı gerçekle¸stirilebilir. Ancak sözde rassal sayı üretecinde, üretecin çıkı¸sı ancak iki seviye arasında de˘ger alabilir. Bu durum sistem içerisindeki bazı özellikleri tanımamıza engel olabilir. Bu tip bir problemle ba¸sa çıkmak için PRBS sinyaline eklentiler yapılarak farklı seviyeler arasında da de˘gi¸sebilmesi sa˘glanmı¸stır. Bu özellik sayesinde farklı seviyeler sistem için farklı özellikleri açı˘ga çıkarabilir.
˙Iki farklı seviye arasında de˘gi¸sen sinyal birden fazla seviye arasında de˘gi¸sen hale getirilebilir. Çalı¸smada da bu tip bir giri¸s sinyali tercih edilmi¸stir. ¸Sekil 2.7’de
¸Sekil 2.6 : PRBS7 ile üretilmi¸s sinyal.
farklı seviyeler arasında de˘gi¸sen PRBS giri¸s sinyali olu¸sturmamızı sa˘glayacak sözde kodlar verilmi¸stir. Pek çok yazılım dilinin rastgele sayı olu¸sturma deste˘gi ve random kütüphaneleri bu tip i¸saret üretiminde oldukça yardımcı olacaktır.
¸Sekil 2.7 : Sözde rassal i¸saret üreteci sözde kodları.
Bu tip bir yapının Python programlama dili kullanılarak gerçekle¸stirilmesi sonucunda ¸Sekil 2.8’deki i¸sarete benzer bir i¸saret meydana gelir. ˙I¸saretin PRBS sistemlerine benzedi˘gi ancak birden fazla seviye içerdi˘gi gözlemlenebilir. Bu yapı farklı seviyeler içerdi˘ginden sistemin farklı davranı¸slarını da modelleyebilmekte ve sistem hakkında daha sa˘glıklı bilgiler üretebilmektedir.
Bu tip giri¸s sinyali üretiminde dikkat edilmesi gerek önemli bir konu seviye sayısı seçimidir. Az seviye seçmek sistemi tanımamızı zorla¸stıraca˘gı gibi fazla seviye seçmek de karma¸sık bir yapı olu¸smasına neden olacaktır. Bu yüzden seviye sayısı ve de˘gerleri dikkat edilmesi gereken özelliklerdir. Çalı¸sma kapsamında bu de˘gerler deneme yanılma yöntemleri ile seçilmi¸stir. Kullanılan test sistemlerinin çalı¸sma aralıkları göz önüne alınarak çalı¸sma aralıklarını a¸smayacak ¸sekilde ve çok sık de˘gi¸sim gerçekle¸smeyecek ¸sekilde de˘gerler seçilmi¸stir.
¸Sekil 2.8 : Çoklu seviye sözde rassal i¸saret üreteci i¸sareti 2.5.3 Otoregresif entegre hareketli ortalama süreci
Sözde rassal sayı üretmenin bir yolu da otoregresif entegre hareketli ortalama kullanmaktadır. A¸sa˘gıdaki formülde e(t) beyaz gürültü benzeri bir sözde rassal sayı üreteci olsun; [5] u(t) = 1 N N
∑
t=1 e(t)e(t + τ) −→ 0 ve N−→ ∞ (τ 6= 0) (2.3)Yukarıdaki bu formül üzerinden e(t), u(t) cinsinden a¸sa˘gıdaki gibi bir e¸sitlik ile ifade edilebilir; [5]
u(t) + c1u(t − 1) + ... + cmu(t − m) = e(t) + d1e(t − 1) + ... + dme(t − m) (2.4)
˙I¸ste yukarıdaki u(t)’yi veren bu ifade ARMA süreci olarak adlandırılmaktadır. Sistem tanımlamada veri çıkartmak için sisteme bu sinyal uygulanabilir. ˙Ifade içerisinde ci= 0 olarak alınırsa süreç hareketli ortalama (MA) olarak anılır. E˘ger ifade içerisinde di= 0 olarak alınırsa süreç otoregresif entegre (AR) olarak adlandırılacaktır. ARMA süreci genel bir ifade cinsinden a¸sa˘gıdaki ¸sekilde yazılabilir. [5]
u(t) =D(q
−1)
˙Ifade içerisindeki q−1 geriye do˘gru zamanda kaydırma operatörüdür. Yani q−1e(t) = e(t − 1) olarak dü¸sünülmelidir. Bu kısımda D(q−1) ve C(q−1) ifadeleri a¸sa˘gıdaki biçimde ifadelerdir:
C(q−1) = 1 + c1q−1+ ... + cmq−mD(q−1) = 1 + d1q−1+ ... + dmq−m (2.6) Sistem tanımlamada u(t) i¸sareti sisteme uygulanır ancak u(t) i¸saretini olu¸sturan ci ve di paremetreleri do˘gru ayarlanmalıdır. C(z) ve D(z)’nin tüm sıfırları birim çemberin dı¸sında seçilmelidir ve C(z), u(t)’nin stabil oldu˘gunu garanti etmelidir. Bu parametreler seçilirken de sistemin yüksek ve dü¸sük frekans aralıklarını ifade eden verileri çıkarabilecek ¸sekilde seçilmesine özen göstermek gerekmektedir. Aksi halde sistemi gerçekten tanımlayan veriler çıkarılamaz. ¸Sekil 2.9’da C(q−1) = 1 − 1.5q−1+ 0.7q−2 ve D(q−1) = 1 alınarak bir giri¸s i¸sareti olu¸sturulmu¸stur. Bu i¸saret sistem giri¸sine uygulanarak sistem giri¸s çıkı¸s verileri toplanabilir.
¸Sekil 2.9 : C(q−1) = 1 − 1.5q−1+ 0.7q−2ve D(q−1) = 1 ARMA i¸saret. [5]
2.5.4 Sinüslerin toplamı
sinüslerin toplamı giri¸s i¸sareti üretilebilir [5]: u(t) = m
∑
j=0 ajsin(ωjt+ φj) (2.7)Üretilen bu i¸saret için açısal frekanslar seçilirken
0 ≤ ω1< ω2< ... < ωm≤ π (2.8) olarak seçilmesi gerekmektedir. Burada aj sinüs i¸sareti genli˘gi, ωi frekans ve φi faz olarak verilmi¸stir. ¸Sekil 2.10’da, sin(0.4t) + 2.sin(0.7t) i¸sareti için sinüslerin toplamı giri¸sine bir örnek verilmi¸stir. Sinüslerin frekans ve genliklerinin seçimi bu kısımda önemli bir yer tutar. Seçilen i¸saretlerin frekans ve genlikleri, sistemin yüksek frekans ve alçak frekans özelliklerini modelleyebilecek ¸sekilde seçilirse daha verimli bir model çıkarımı sa˘glanabilir. Dijital sistemlerde ise bu sinüs i¸saretinin sisteme uygun bir örnekleme frekansında örneklenerek verilmesi gerekti˘gi unutulmamalıdır.
¸Sekil 2.10 : sin(0.4t) + 2.sin(0.7t) i¸saretlerinin toplamı. [5]
Çalı¸smanın sistem tanımlama kapsamında kullanılacak giri¸s i¸sareti farklı seviyeleri de içeren PRBS sinyalidir. Özellikle üretimi kolay ve sonucunda olu¸san veri seti daha verimli oldu˘gundan bu sinyalin kullanılmasına karar verilmi¸stir. Ayrıca benzer çalı¸smalar incelendi˘ginde bu tip bir i¸saretin sıklıkla kullanıldı˘gı gözlemlenmi¸stir. Benzer çalı¸smalarda giri¸s i¸saretleri seçilirken deneysel yöntemlerle tercih edildi˘ginden uygulama kapsamında da bu tip bir i¸saret deneysel yöntemlerle tercih edilmi¸stir.