5. FREKANS DOMENİNDE TASARIM
5.3 Elde Edilen Klasik PID ve Kesirli PI λ
5.3.1 Sistem kazancının değişimine karşı dayanıklılık ölçümü
Farkı daha iyi görebilmek için K aralığını biraz daha geniş tuttuğumuzda ise 1.0 ≤ K ≤ 5 (K=1, 2, 3.13, 4, 5) için dayanıklılık sonuçları:
Şekil 5.7 : Kesirli PIλ
Dµ
kontrolör ile K = 1, 2, 3.13, 4, 5 değerleri için kapalı çevrim sistemin basamak cevapları.
Şekil 5.8 : Klasik PID kontrolör ile K = 1, 2, 3.13, 4, 5 değerleri için kapalı çevrim sistemin basamak cevapları
Görüldüğü gibi kesirli PIλDµ’de üst aşımın değişmeden korunabildiği K aralığı klasik
PID ile kıyaslandığında daha geniş tutulabilmekte.
Diğer kıstasları da yorumlayabilmek için frekans cevaplarının incelenmesi gerekmektedir. -40 -20 0 20 40 60 M a g n itu d e ( d B ) 10-4 10-3 10-2 10-1 100 -180 -90 0 90 180 P h a s e ( d e g ) Bode Diagram
Gm = 11.3 dB (at 0.0365 rad/sec) , Pm = 60.1 deg (at 0.00762 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
F1 F2
Şekil 5.9 : Açık çevrim transfer fonksiyonlarının frekans cevapları: F1: klasik PID, F2 kesirli PID ile
10-4 10-3 10-2 10-1 100 101 102 -45 0 45 90 135 P h a s e ( d e g ) Bode Diagram
Gm = Inf , Pm = -120 deg (at 0.00765 rad/sec)
Frequency (rad/sec) -50 -40 -30 -20 -10 0 10 System: S2 Frequency (rad/sec): 0.00101 Magnitude (dB): -23.2 M a g n itu d e ( d B ) System: S1 Frequency (rad/sec): 0.00102 Magnitude (dB): -20.7 S1 S2
Şekil 5.10 : Duyarlılık Fonksiyonları: S1: klasik PID, S2 kesirli PID ile
10-4 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103 -360 0 360 720 1080 P h a s e ( d e g ) Bode Diagram
Gm = 8.55 dB (at 0.0365 rad/sec) , Pm = 120 deg (at 0.0076 rad/sec)
Frequency (rad/sec) -80 -60 -40 -20 0 20 System: T2 Frequency (rad/sec): 10 Magnitude (dB): -44.2 M a g n itu d e ( d B ) System: T1 Frequency (rad/sec): 10 Magnitude (dB): -23.4 T1 T2
Görüldüğü gibi tam dereceli PID ile açık çevrim transfer fonksiyonu (F1), duyarlılık fonksiyonu (S1) ve kapalı çevrim transfer fonksiyonu (T1); kesirli PID ile F2, S2, T2 kıyaslandığında, tamsayı dereceli PID kapalı çevrim transfer fonksiyonunda yüksek frakanslı gürültüye karşı dayanıklılık kriterini sağlayamamaktadır.
5.3.2 Giriş işaretindeki gürültüye karşı dayanıklılık ölçümü
Kesir dereceli PID ise yüksek frakanslardaki (bu sistemde | T(jω)| ≤ -40 dB Her ω≥ωt = 10 rad/s olacak şekilde belirlendi) işaretlerin genliklerini bastırma
eylemindedir. Bunun sonucu sistemin girişine farklı frekanslarda küçük genlikli sinus işaretler, ya da beyaz gürürltü uygulayarak görülebilir. Bunun için oluşturulan sistemin blok diyagramı aşağıdaki gibidir.
Step6 Step5 Sine Wave2 Sine Wave1 Sine Wave Scope3 Scope1 Saturation7 Saturation6 PID PID Controller3 tf(3.13,[433.33 1],'inputdelay',50) LTI System13 nipid(0.50007,4.02155,0.40988,0.0099,0.9098,[0.001,100],5,'crone') LTI System12 tf(3.13,[433.33 1],'inputdelay',50) LTI System11
Şekil 5.12 : Girişine küçük genlikli yüksek frekanslı sinüs işaretleri uygulanan kesir dereceli PIλ
Dµ
ve klasik PID kontrollü sistem.
Çizelge 5.3 : ω≥ωt = 10 rad/s olmak üzere; sinüs dalgalarının genlik, frekans ve
fazları
Genlik Frekans (rad/s) Faz (rad)
Sinüs 0.04 15 0.5236
Sinüs 1 0.02 20 1.047
Şekil 5.13 : Sistemin girişine uygulanan gürültülü işaret
Şekil 5.14 : Giriş işaretinde gürültü olan sistemin basamak yanıtı. Y1: Klasik PID, Y2: Kesirli PIλ
Dµ
Şekil 5.15 : Giriş işaretinde gürültü olan sistemin basamak yanıtı. Y1: Klasik PID, Y2: Kesirli PIλDµ uygulanan sistem (1660 s< t < 1685 s arasında)
Şekil 5.16 : Giriş işaretinde gürültü olan sistemin basamak yanıtı. Y1: Klasik PID, Y2: Kesirli PIλ
Dµ
uygulanan sistem (1990 s< t < 2000 s arasında)
Şekil (5.14), (5.15), (5.16)’da görüldüğü üzere klasik PID giriş işaretine uygulanan gürültüyü (sinüs dalgaları) bastıramadaığı için basamak yanıtı oldukça değişti, yükselme ve yerleşme zamanı uzadı; çıkış, ölü zamandan sonra negatif bir aşım yaptıktan sonra yükselmeye başladı. Kesirli PID (PIλ
Dµ
) uygulanan sistemde ise gürültünün genliği büyük oranda bastırıldığı için basamak yanıtında bozulma ya da gecikme meydana gelmedi.
Bir sonraki analiz ise girişe bant sınırlı beyaz gürültü işareti vererek yapılmıştır. Bunun için giriş işaretine daha önce uygulanan sinüs dalgaları yerine farklı güçlerde beyaz gürltü uygulanmıştır. sin1_2_3 white noise Subsystem Step6 Step5 Scope3 Scope2 Saturation7 Saturation6 PID PID Controller3 tf(3.13,[433.33 1],'inputdelay',50) LTI System13 nipid(0.50007,4.02155,0.40988,0.0099,0.9098,[0.001,100],5,'crone') LTI System12 tf(3.13,[433.33 1],'inputdelay',50) LTI System11 [n2] Goto1 [n1] Goto [n2] From1 [n2] From
Şekil 5.17 : Girişine farklı güçlerde bayaz gürültü uygulanan PIλ
Dµ
ve PID kontrollü sistem.
Şekil 5.18 : Giriş işaretinde beyaz gürültü (gürültü gücü: 0.0005) olan sistemin basamak yanıtı. Y1: PID, Y2: PIλ
Dµ
Şekil 5.19 : Giriş işaretinde beyaz gürültü (gürültü gücü: 0.0001) olan sistemin basamak yanıtı. Y1: PID, Y2: PIλDµ uygulanan sistem çıkışı
Şekil 5.20 : Kapalı çevrim sistem girişine uygulanan beyaz gürültü (gürültü gücü: 0.00001)
Şekil 5.21 : Giriş işaretinde beyaz gürültü (gürültü gücü: 0.00001) olan sistemin basamak yanıtı. Y1: PID, Y2: PIλDµ uygulanan sistem çıkışı
Şekil 5.22 : Giriş işaretinde beyaz gürültü (gürültü gücü: 0.00001) olan sistemin basamak yanıtı. Y1: PID, Y2: PIλ
Dµ
uygulanan sistem çıkışı (0 s < t < 8000 s) Şekil (5.18), (5.19), (5.21), (5.22)’deki basamak yanıtlarından görüldüğü gibi beyaz gürültüye karşı da klasik PID kontrolör oldukça etkisisz kalarak bastıramamış ve sistemin basamak yanıtı oldukça bozulmuştur. PIλ
Dµ
ise gürültüyü bastırmada başarılı olarak sistemin basamak yanıtının gürültüden etkilenmesini önlemiştir.
etkenler sonucu yeterince temiz gelmemeleri göz önünde bulundurulduğunda bu özellik oldukça faydalı olacaktır.
5.3.3 Çıkış bozucularına karşı dayanıklılık
Duyarlılık fonksiyonu, |S(jω)| ≤ -20 dB Her ω ≤ ωs = 0.001 rad/s olarak belirlenmişti. Çıkış bozucularının etkisine karşı PID ve PIλDµ kontrolörlerin
dayanıklılığını test etmek için oluşturulan sistemin blok diyagramı aşağıdaki gibidir.
Out1 output disturbance Step6 Step5 Scope3 Scope2 Saturation2 Saturation1 PID PID Control ler3
tf(3.13,[433.33 1],'inputdelay',50) LTI System13 ni pid(0.50007,4.02155,0.40988,0.0099,0.9098,[0.001,100],5,'crone') LTI System12 tf(3.13,[433.33 1],'inputdelay',50) LTI System11 [s1] Goto2 [d1] Goto1 [s1] From2 [d1] From1 [d1] From
Şekil 5.23 : Çıkışına bozucu eklenen sistemin blok diygramı.
Şekil 5.24 : t = 1400s’de başalyıp 50s boyunca çıkışa uygulanan yük bozucusuna karşı basamak yanıtları; Y1:PID, Y2: PIλ
Dµ
Şekil 5.25 : Çıkışına bozucu eklenen sisteme uygulanan sınırlandırılmış ( -2< u<2) kontrol işaretleri; U1:PID, U2: PIλDµ
Şekil 5.26 : Çıkışına bozucu eklenen sistemin (kontrol işareti sınırlandırılmamış) basamak yanıtı; Y1:PID, Y2: PIλDµ
Şekil 5.27 : Çıkışına bozucu eklenen sisteme uygulanan PID’nin sınırlandırılmamış kontrol işareti.
Şekil 5.28 : Çıkışına bozucu eklenen sisteme uygulanan PIλDµ’nin
sınırlandırılmamış kontrol işareti.
Duyarlılık fonksiyonu ile ilgili kıstas (| S(jω)| ≤ -20 dB Her ω ≤ ωs = 0.001
rad/s)PID kontrolörü tasarlarlarken kullanılmadığı halde, hibrit algoritma sonucu elde edilen kontrolör parametreleri bu kıstası sağladı. Ancak kontrol işaretlerine bakıldığında farkedilebilen bir nokta; kontrol işaretlerinin 0. ve 1450.s ‘lerdeki davranışlarıdır. Kontrol işaretleri sınırlandırılmadığında U1 0.saniyede 12 ve 1450. s’de -4 maksimum değerlerine ulaşırken, U2 0. saniyede 0.4 gibi makul bir değerde
iken, çıkışa bir bozucunun verildiği 1450. s’de -200 negatif yönde maksimum değerine ulaşmakta.
Yukarıdaki analizler sonucu, 5 parametrenin, frekans domenindeki arama algoritmasıdaki kriterlere çeşitlilik getirebildiği görülmektedir. Kesirli PID için Denklem (4.1), (4.2), (4.5), (4.6), (4.7) de kıstas olarak belirlenen 5 non-lineer fonksiyonu sağlayacak 5 parametre bulunabiliyorken, klasik PID’de ancak (4.1), (4.2), (4.5) kullanılarak arama yapılabildiğinden bahsedilmişti ve buna bağlı olarak sonuçlar yukarıdaki gibi elde edilmişti.
Tamamen adil bir karşılaştırma olabilmesi için, arama algoritmasında yine yalnızca (4.1), (4.2), (4.5) denklemlerinin yer alacağı 3. bir kontrolör olarak Kesirli PID (PIλ
Dµ
) tasarlandı, ve Çizelge (5.2)’deki klasik PID ile -yani algoritma parametreleri tamamen aynı olan klasik ve kesirli PID ler kaştırıldı. Bu karşılaştırma sonuçları ve elde edilen kontrolör parametreleri aşağıdaki gibidir.
Çizelge 5.4 : Genetik algoritma + fmincon algritmaları ile elde edilen sonuçlar:
Kp Kd µ Ki λ Uygunluk fonksiyonu değeri
PIλDµ 0.76582 3.78295 0.5556 0.0095 0.8804 2.17E-13 -100 0 100 M a g n itu d e ( d B ) 10-4 10-2 100 102 -720 0 720 1440 P h a s e ( d e g ) Bode Diagram
Gm = 12.2 dB (at 0.0359 rad/sec) , Pm = 60.6 deg (at 0.00791 rad/sec)
Frequency (rad/sec) -50 0 50 M a g n itu d e ( d B ) 10-4 10-2 100 102 -90 0 90 180 P h a s e ( d e g ) Bode Diagram Gm = Inf , Pm = -121 deg (at 0.00801 rad/sec)
Frequency (rad/sec) -100 0 100 M a g n itu d e ( d B ) 10-4 10-2 100 102 -1440 0 1440 P h a s e ( d e g ) Bode Diagram
Gm = 9.81 dB (at 0.0359 rad/sec) , Pm = 122 deg (at 0.00774 rad/sec)
Frequency (rad/sec) T1 T3 F1 F3 S1 S3
Şekil 5.30 : Kesirli PID (PIλ
Dµ
) kontrolör ile K = 1, 2, 3.13, 4, 5 değerleri için kapalı çevrim sistemin basamak cevapları.
Şekil 5.31 : K = 1, 2, 3.13, 4, 5 değerleri için kontrol işaretleri.
Şekil 5.32 : Giriş işaretinde gürültü olan sistemin basamak yanıtı. Y1: Klasik PID, Y3: Kesirli PIλDµ uygulanan sistem
Şekil 5.33 : Giriş işaretinde beyaz gürültü (sinüs işaretleri)(gürültü gücü: 0.00001) olan sistemin basamak yanıtı. Y1: PID, Y3: PIλDµ uygulanan sistem çıkışı
Şekil 5.34 : Çıkışına bozucu eklenen sistemin (-2 < u < 2) basamak yanıtı; Y1:PID, Y3: PIλDµ
Şekil 5.35 : Çıkışına bozucu eklenen sistemin (-2 < u < 2) kontrol işaretleri; U1:PID, U3: PIλDµ
Şekil (5.29)’dan (5.36)’ya kadarki şekillerde PIλ
Dµ
tipi kontrolörün giriş bozucularına karşı hala daha dayanıklı olduğu ve daha iyi sonuçlar verdiği
6. SONUÇ VE ÖNERİLER
Kesir dereceli matematiğin son yıllarda mühendislik alanında yaygın bir şekilde kullanılması kontrol mühendisliğine de yansımış, ve bu konuda birçok yeni çalışmanın ortaya çıkmasına neden olmuştur. Bu yöndeki araştırma konularından biri kesir dereceli (kesirli) kontrolör tasarımıdır. Literatürde çeşitli kesir dereceli kontrolörler yer almakla birlikte (TID kontrolör, CRONE kontrolör, kesirli ileri-geri kompanzatör) en çok rastlanan kesir dereceli PID, diğer bir deyişle kesirli PID (PIλDµ) kontrolörlerdir.
Bu çalışmada kesir dereceli işlemler ve sistemler hakkında özet bir bilgi sunulduktan sonra bunların gerçeklenebilir olmaları için tamsı dereceli yaklaşım metodları örneklerle incelenmiştir. Daha sonra kesir dereceli PID tasarım metodları araştırılmış, aynı yöntemlerle elde edilen klasik PID kontrolörler ile karşılaştırmalar yapılarak avantaj ve dezavantajları ortaya konmuştur.
İlk olarak, klasik PID ve kesirli PID katsayıları ibelirlenen uygunluk fonksiyonunu minimize edecek şekilde aynı arama kriterleri ile genetik algoritma (GA) kullanılarak elde edilmiştir. Geri beslemeli sistemin basamak cevapları karşılaştırıldığında iki kontrolör çok yakın performaslar göstermiş, kesir dereceli PID kontrolör beklenildiği gibi bir üstünlük gösterememiştir.
PI ve PIλ
için iki boyutlu Kp-Ki parametre uzayında yapılan kararlılık analizlerinin
sonucunda integralin kesir derecesine (λ) bağlı olarak kararlılık bölgesinin genişleyebildiği görülmüştür. Buna göre klasik PID’nin üç boyutlu (Kp-Ki-Kd)
parametre uzayında optimal bir noktaya karşılık, kesirli PID’nin beş boyutlu (Kp-Ki-
λ-Kd-µ) parametre uzayında optimal bir bölgenin varlığı düşünülebilir.
Son olarak frekans domeninde yapılan tasarımda ise, PIλDµ kontrolördeki beş
parametrenin getirdiği esneklikten faydalanılarak, sistemin referans işaretindeki yüksek frekanslı gürültüleri bastırmada daha iyi sonuçlar elde edilmiştir.
Bundan sonraki çalışmalarda PIλDµ kontrolörlerin daha etkin kullanılabilmesi için
klasik tasarım yöntemlerinin dışına çıkılması ve farklı yöntemlerin elde edilmesi ya da kesir dereceli modellemeden yola çıkılarak, kesir dereceli kontrolörlerin bu tip daha karmaşık sistemler üzerine uygulamaları yapılarak sonuçlarının araştırılması yönünde devam edilmesi önerilebilir.
KAYNAKLAR
Åström, K. J., Panagopoulos, H., Hägglund, T., 1998. Design of PI Controllers Based on Non-Convex Optimization. Automatica, Vol. 34, no. 5, pp. 585-601.
Åström, K. J., Panagopoulos, H., Hägglund, T., 1998. Design of PID Controllers Based on Constraint Optimization. IEEE Proceedings of Control Theory and Application, Vol. 149, no. 1, pp. 32-40.
Bhaskaran, T., Chen, Y. Q., Xue, D., 2007. Practical Tuning of Fractional Order Proportional and Integral Controller (1): Tuning Rule Development. Proceedings of ASME 2007 International Design Engineering Technical conferences & Computers and Information in Engineering Conference, IDETC/CIE 2007, September 4-7, Las Vegas, Nevada, USA.
Bhaskaran, T., Chen, Y. Q., Xue, D., 2007. Practical Tuning of Fractional Order Proportional and Integral Controller (2):Experiments. Proceedings of ASME 2007 International Design Engineering Technical conferences & Computers and Information in Engineering Conference, IDETC/CIE 2007, September 4-7, Las Vegas, Nevada, USA.
Cao, J., Liang, J., Cao, B., 2005. Optimization of Fractional Order PID Controllers Based on Genetic Algorithms. Proceedings of the 4th International Conference on Machine Learning and Cybernetics, August 18-21, Guangzhou.
Caponetto, R., Fortuna, L., Porto, D., 2002. Parameter Tuning of A Non-Integer Order PID Controller. In 15th International Symposium on Mathematical Theory of Networks and Systems, Notre Dame, Indiana. Chen, Y. Q., Moore, K. L., 2002. Discretization schemes for fractional-order differentiators and integrators. IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Fundamental Theory and Applications, Vol. 47, no. 3, pp. 363-367.
Çelik, V., Demir, Y., 2007. Kesirli Dereceli PIλ
Kontrolörün Doğrusal Olmayan Sistem Dinamiği Üzerine Etkisi. TOK’07 Bildiriler Kitabı, 5-7 Eylül, İstanbul.
Fan, H., Sun, Y., Zhang, X., 2007. Research on Fractional Order Controller in Servo Press Control System. Proceedings of the 2007 IEEE International Conference on Mechatronics and Automation, August 5- 8, Harbin, China.
Hamamci, S. E., 2007. Zaman Gecikmeli Sistemler için Kesirli Dereceli PI Kontrolör Kullanarak Kararlılık Bölgesinin Belirlenmesi. TOK’07
Hamamci, S. E., 2007. Stabilization Using Fractional-Order PI and PID Controllers. Nonlinear dyn., Vol. 51, pp. 329-343.
Hamamci, S. E., 2007. An Algorithm for Stabilization of Fractional-Order Time Delay Systems Using Fractional-Order PID Controllers. IEEE Transactions on Automatic Control, Vol. 52, no. 10, October.
Ma, C., Hori, Y., 2004. The Application of Fractional Order PID Controller for Robust Two-Inertia Speed Control. Proceedings of the 4th International Power Electronics and Motion Control Conference, August, Xi’an.
Monje, C. A., Calderon, A. J., Vinagre, B. M., Chen, Y., Feliu, V., 2004. On Fractional PIλ
Controllers: Some Tuning Rules for Robustness to Plant Uncertainties. J. Nonlinear Dynamics, Vol. 38, no. 1-4, pp. 369-381. Monje, C. A., Vinagre, B. M., Chen, Y. Q., Feliu, V., Lanusse, P., Sabatier, J.,
2005. Optimal Tunings for Fractional PIλ
Dµ
, In: Fractional Derivatives and Their Applications. Le Mehauté, A., Tenreiro Machado, J. A., Trigeassou, J. C., Sabatier J. (eds.) Ubooks, Augsburg Vol. 3, pp. 675-686.
Monje, C. A., Vinagre, B. M., Feliu, V., Chen, Y. Q., 2007. Tuning and Auto- Tuning of Fractional Order Controllers for Industry Applications. Control Engineering Practice, Vol. 16, pp. 798-812.
Oustaloup, A., Moreau, X., Nouillant, M., 1997. From Fractal Robustness to Non Integer Approach in Vibration Insulation: the CRONE Suspension. Proceedings of the 36th Conference on Decision & Control, December, San Diego, California USA.
Oustaloup, A., Levron, F., Nanot, F., Mathieu, B., 2000. Frequency Band Complex Non Integer Differentiator: Characterization and Synthesis. IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Fundamental Theory and Applications, Vol. 47, no. 1, pp. 25-40.
Özgüven, Ö. Y., 2007. Bilinmeyen Parametreye Sahip Kesir Dereceli Kontrol Sistemleri için Kazanç ve Faz Sınır Payı Analizi. TOK’07 Bildiriler Kitabı, 5-7 Eylül, İstanbul.
Podlubny, I. J., 1994. Fractional–Order Systems and Fractional Order Controllers. Tech. Rep. UEF-03-94, Slovak Academy of Sciences, Institute of Experimental Physics, Department of Control Engineering, Faculty of Mining, University of Technology, Kosice.
Suárez, J. I., Vinagre, B. M., Chen, Y. Q., 2003. Spatial Path Tracking of An Autonomous Industrial Vehicle Using Fractional Order Controllers. Proceedings of ICAR 2003, The 11th International Conference on Advanced Robotics, June 30-July 3, Coimbra, Portugal.
Tan, N., Özyetkin, M. M., 2007. Kesirli Dereceli Belirsiz Polinomların Dayanıklı Kararlılık Analizi. TOK’07 Bildiriler Kitabı, 5-7 Eylül, İstanbul. Vinagre, B. M., Podlubny, I., Hernandez, A., Feliu, V., 2000. Some
Xue, D., Chen, Y. Q., 2002. A Comparative Introduction of Four Fractional Order Controllers. Proceedings of the 4th World Congress on Intelligent Control and Automation, June 10-14, Shanghai, P. R. China.
Xue, D., Zhao, C., Chen, Y. Q., 2006. Fractional Order PID Control of A DC-Motor with Elastic Shaft: A Case Study. In Proceedings of American Control Conference, pp. 3182-3187
Zhao, C., Xue, D., Chen, Y., 2005. A Fractional Order PID Tuning Algorithm for A Class of Fractional Order Plants. Proceedings of the IEEE International Conference on Mechatronics and Automation, Niagara Falls, Canada, July, pp. 216-221.
Url-1 <http:// web.ist.utl.pt/duarte.valerio/ninteger/Manual.pdf>, 20.05.2008. Url-2 <http:// www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchance/8312f>, 20.05.2008.
[1] Tan, N., Özyetkin, M. M., 2007. Kesirli Dereceli Belirsiz Polinomların Dayanıklı Kararlılık Analizi. TOK’07 Bildiriler Kitabı, 5-7 Eylül, İstanbul.
[2] Çelik, V., Demir, Y., 2007. Kesirli Dereceli PIλ
Kontrolörün Doğrusal Olmayan Sistem Dinamiği Üzerine Etkisi. TOK’07 Bildiriler Kitabı, 5-7 Eylül, İstanbul.
[3] Podlubny, I. J., 1994. Fractional–Order Systems and Fractional Order Controllers. Tech. Rep. UEF-03-94, Slovak Academy of Sciences, Institute of Experimental Physics, Department of Control Engineering, Faculty of Mining, University of Technology, Kosice.
[4] Vinagre, B. M., Podlubny, I., Hernandez, A., Feliu, V., 2000. Some Approximations of Fractional Order Operators Used in Control Theory and Applications. Fractional Calculus and Applied Analysis, Vol. 3, no. 3, pp. 231-248.
[5]Url-1 <http:// web.ist.utl.pt/duarte.valerio/ninteger/Manual.pdf>, 20.05.2008. [6] Hamamci, S. E., 2007. Zaman Gecikmeli Sistemler için Kesirli Dereceli PI
Kontrolör Kullanarak Kararlılık Bölgesinin Belirlenmesi. TOK’07 Bildiriler Kitabı, 5-7 Eylül, İstanbul.
[7] Monje, C. A., Vinagre, B. M., Chen, Y. Q., Feliu, V., Lanusse, P., Sabatier, J., 2005. Optimal Tunings for Fractional PIλDµ, In: Fractional
Derivatives and Their Applications. Le Mehauté, A., Tenreiro Machado, J. A., Trigeassou, J. C., Sabatier J. (eds.) Ubooks, Augsburg Vol. 3, pp. 675-686.
ÖZGEÇMİŞ
Ad Soyad: Esra GÖKTÜRK
Doğum Yeri ve Tarihi: Tekirdağ, 13.11.1984 Adres: Beşiktaş/ İstanbul