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As equações 55 e 60 apresentam estruturas nas quais seis variáveis estão simultaneamente inter-relacionadas. Dessa forma, uma das possíveis estratégias de otimização que podem ser utilizadas para obter suas soluções é o algoritmo de PD, apresentado no Capítulo 2. Na sequência, é apresentada a estratégia de otimização por PD utilizada neste trabalho para extrair polígonos representando os contornos de telhado de edifícios no espaço- imagem.

A inicialização do processo de extração é realizada pelo operador, que fornece um conjunto de pontos sementes (obtidos a partir da imagem) descrevendo uma aproximação inicial para o contorno de telhado de edifício a ser extraído. De uma forma geral, os pontos sementes devem ser posicionados na imagem nas vizinhanças das quinas do contorno de telhado. Não é necessário colocar pontos sementes ao longo dos lados do contorno, uma vez que estes podem ser preditos levando em conta que estes lados são

retilíneos. O polígono inicial fornecido no início do processo de extração é descrito na imagem por segmentos retos definidos por pares de pontos sementes consecutivos, conforme ilustrado pela Figura 21.

Figura 21 – Pontos sementes descrevendo o contorno inicial aproximado requerido pelo método de extração.

A Figura 22 mostra como é construído o espaço de busca dos vértices candidatos à representação do contorno de telhado a ser extraído. Têm-se dois tipos de pontos que geram os polígonos candidatos à solução ótima (polígono ótimo): pontos representativos dos lados e correspondentes à descontinuidade do tipo borda degrau; e pontos representativos das quinas e correspondentes à descontinuidade do tipo quina. A princípio, parece simples determinar as quinas e uni-las para formar o polígono de contorno de telhado. Entretanto, podem ser detectadas falsas quinas e até mesmo não existirem quinas para um dado canto de contorno de telhado. Este fato está diretamente relacionado à qualidade da imagem aérea de entrada, uma vez que em regiões de baixo contraste o operador de detecção de quinas pode não detectar as quinas existentes; por outro lado, este operador pode também detectar falsas quinas em regiões afetadas pela projeção de sombras ou por ruídos presentes na imagem. Daí a importância de se incluir pontos de lados de contorno para prover suporte à determinação de quais são as quinas corretas.

Figura 22 – Construção do espaço de busca para amostragem na imagem dos pontos candidatos à representação do contorno de telhado de edifício sendo extraído.

Quanto aos pontos candidatos a representar um canto de edifício, um ponto de referência deve ser fornecido pelo operador e, os demais, são determinados por um algoritmo de detecção de quinas sobre uma pequena janela de busca definida no espaço- imagem e delimitada em torno do respectivo ponto semente (Figura 22). As dimensões dessa janela devem ser suficientes para que a mesma contenha a quina correta do edifício. O detector de quinas utilizado é o de Harris (HARRIS e STEPHENS, 1988) e as quinas com melhor resposta são armazenadas, juntamente com seus respectivos ângulos de deflexão  . i O armazenamento de múltiplas quinas é necessário por dois motivos: primeiro pelo simples fato de poder haver mais de uma quina na janela; e segundo pela possibilidade da quina com melhor resposta ser uma falsa positiva. Quanto aos pontos candidatos a representar pontos de lados de contorno de edifício, os mesmos são amostrados regularmente ao longo de seções transversais aos lados de contornos de edifício definidos por pares de pontos sementes (Figura 22). É importante notar que as seções transversais também são amostradas regularmente ao longo dos lados dos contornos dos edifícios. Como são centradas em pontos dos lados do contorno definido pelos pontos sementes (polígono inicial), não existe preferência de busca em um ou em outro lado. A amostragem de vértices candidatos à representação do contorno de telhado é realizada sobre a imagem aérea, resultando em conjuntos de vértices candidatos a serem selecionados posteriormente através do algoritmo de PD.

Para se ter uma ideia da dimensão do espaço de busca resultante do processo de amostragem, supor que cada quina de edifício possua m candidatas. Supor também que, por simplicidade, em cada seção transversal aos lados de contorno de edifício sejam

amostrados m pontos candidatos. Sendo n a soma entre o número de pontos sementes e o número total de seções transversais amostradas, existirão no espaço de busca _mn _polígonos. O polígono ótimo é aquele que minimiza a função de energia dada na equação 55.

A solução do problema de otimização por PD é encontrada em três etapas: 1) Refinamento do polígono inicial definido por pontos sementes: a

estratégia descrita acima é aplicada para refinar o polígono inicial (definido pelos pontos sementes) fornecido no início do processo de extração. A resolução típica (distância entre pontos amostrados na imagem) adotada para as seções transversais é de 1 pixel. Já o número de elementos nestas seções deve ser compatível com a qualidade do polígono inicial. No exemplo ilustrativo apresentado na Figura 23, os pontos destacados em vermelho correspondem ao conjunto de vértices obtidos no processo de otimização por PD.

Figura 23 – Otimização do contorno inicial através do algoritmo de PD.

2) Refinamento da primeira solução: como os pontos obtidos ao longo dos lados do contorno podem estar afetados por anomalias locais provenientes da imagem aérea (por exemplo, pixels espúrios decorrentes de ruídos presentes na imagem) que produzem irregularidades locais no contorno, um método robusto de regressão pode ser utilizado para obter retas que melhor modelam os lados do contorno de telhado do edifício. O método de regressão robusta estima os parâmetros da equação da reta que modela cada um dos lados do

contorno de telhado, a partir dos pontos de borda cuja direção principal é igual a moda de todos os pontos selecionados pelo algoritmo de PD para um dado lado. Para tanto, a seguinte estratégia é utilizada: a) os parâmetros das equações das retas que representam os lados do contorno são estimados através de um ajuste por mínimos quadrados, a partir dos pontos de borda modais; b) os pontos modais cujas distâncias à reta estimada sejam maiores que o desvio-padrão ( ) das distâncias de todos esses pontos à reta considerada são eliminados do conjunto inicial de pontos modais; c) os parâmetros refinados da equação de cada uma das retas correspondentes aos lados do contorno são então reestimados a partir de seu respectivo conjunto de pontos modais remanescentes. Na sequência, com base nestas retas, determina-se por intersecção as novas quinas, as quais farão o papel de pontos sementes para uma nova otimização da função de energia representativa do contorno de telhado do edifício, conforme ilustra a Figura 24.

Figura 24 – Refinamento da primeira solução com restrição do espaço de busca.

3) Obtenção da solução final: Uma nova otimização por PD é indicada pelos seguintes motivos: as retas determinadas por regressão podem ainda estar afetadas por anomalias não modeladas existentes ao longo dos lados do contorno; seções transversais de busca com resolução bem melhor (0,5 pixel, por exemplo) são adotadas para melhorar a qualidade final das retas representando lados de contorno, melhorando também as posições finais dos vértices (quinas) do polígono de telhado; os comprimentos das seções transversais de busca e as dimensões das

janelas de busca para as novas quinas são fixadas iguais ao desvio- padrão ( ) determinado anteriormente, tornando a solução de otimização menos sensível às eventuais anomalias existentes na imagem aérea nas adjacências do contorno de telhado. Após o novo processo de otimização, determinam-se novamente as retas por regressão robusta e, a partir destas, as posições finais das quinas dos edifícios. O polígono final representativo do contorno de telhado é definido em função dos vértices de borda e quina refinados nesta etapa, conforme ilustra a Figura 25.

Figura 25 – Contorno final extraído para o telhado de edifício.