Entrevistador: Como o Princípio Fundamental da Contagem é introduzido nas aulas? O seu uso é enfatizado? Os alunos utilizam processos de enumeração de soluções? E a árvore de possibilidades? Descreva um pouco isso.
Abel: No mês que se trabalha a análise combinatória, eu costumo gastar, pelo menos, uma semana e meia, quase metade do mês trabalhando o Princípio Fundamental da Contagem. Eu acho que é a maneira mais ampla de resolver problemas de análise combinatória. [...] Os alunos utilizam a enumeração, isso é fantástico! [...] A árvore de possibilidades dificilmente é utilizada. Nem nas explicações, eu costumo valorizar. A gente começa com alguns problemas da árvore de possibilidades, mas são problemas muito restritos.
Felipe: Acho que as fórmulas são mais valorizadas que o Princípio Fundamental da Contagem. [...] No começo, eles utilizam bastante a enumeração, mas quando há um número muito grande, eles perguntam: “Mas será que não tem uma fórmula para isso, professor?” [...] Sim, eles usam bastante a árvore de possibilidades, acho que é porque é a primeira coisa que é dada.
José: Se ele sabe o Princípio Multiplicativo, pronto, acabou! O resto é uma consequência lógica de uma etapa que você vai seguir, resolvendo problemas, colocando problemas, ficando mais complexo. [...] É comum, eles utilizarem a enumeração para resolver problemas.
Mário: Eu acho que o Princípio Fundamental da Contagem é a gênese do objeto. Na minha visão, é o ponto fundamental. [...] Para mim, foi fundamental isso, entender o que é, da forma que a professora da Faculdade explicou para nós e fez essa exposição. [...] Fazer com que o aluno use a árvore de possibilidades em determinadas situações, eu acho que ajuda muito, pois é uma forma do aluno mapear as possibilidades, verificar se teve repetição, se não teve repetição.
Raul: O Princípio Fundamental da Contagem é muito enfatizado porque é o “pé da coisa”. Então, eu acho que o Princípio Fundamental é fundamental. Os alunos usam e, geralmente, eles tentam correr para o Princípio Fundamental e tem hora que não dá, não tem como usar o Princípio Fundamental porque quando você começa a ter repetição, alguma coisa, já não dá para usar o Princípio Fundamental. Mas acho que ele é o mais importante, tem de ser dado, tem de ser visto e mostrar que ali você começa no Princípio Fundamental, que você começa a fazer aquela árvore de possibilidades, aí você começa a mostrar que tem um recurso paralelo, entendeu? E o que existe além do recurso paralelo? Existe a fórmula que é a multiplicação só, mas é uma fórmula, entendeu? Então, se vão multiplicar duas ou três coisas pra te dar o Princípio Fundamental, então, porque é um princípio multiplicativo mesmo, ele não é... Pode ser aditivo, mas ele fundamentalmente é um princípio multiplicativo, mas a multiplicação é uma extensão da adição, dá até pra fazer o princípio aditivo, mas aí vai ser a contagem
da árvore de possibilidades. [...] é muito gostoso fazer com a árvore de possibilidades. Eu também gosto de fazer e faço com eles e tal.
Rita: Eu começo mostrando o Princípio Fundamental para eles. [...] aí eles percebem que é só multiplicar, fazer o produto. Faço diferença do “e” e do “ou”, aí eu fico realizada. [...] Então, isso pra mim me ajuda muito. Quando eles aprendem o “e” e o “ou”, no começo. [...] A árvore de possibilidades não usamos bastante, só bem na introdução, no princípio [...] Muito pouco os alunos utilizam a árvore de possibilidades, quase nunca. [...] Uns 10% utilizam a enumeração [...], eu percebo isso na prova, alguns não conseguem, aí tentam fazer, aí param na metade.
Em suas falas, os professores Abel, José, Mário e Rita valorizaram o uso do Princípio Fundamental da Contagem nas aulas de análise combinatória. Segundo eles, o uso do Princípio Multiplicativo favorece o entendimento dos conceitos de contagem e o desenvolvimento do raciocínio combinatório.
Acreditamos que o emprego do Princípio Fundamental da Contagem na resolução de problemas, como técnica, no sentido dado por Chevallard (1999), seja valoroso e necessita estar integrado aos saberes do professor, pois, no contexto delineado, o Princípio Fundamental da Contagem pode ser observado, como uma técnica disponível, a fim de abordar e resolver problemas de análise combinatória, como também ser observado com o objetivo de generalizar resultados, ou seja, justificar o uso das fórmulas na resolução de problemas. Entendemos que o uso das fórmulas, nas aulas de análise combinatória, caracterizar-se-á, como um processo de entendimento, discussão e desenvolvimento a fim de formalizar os conceitos matemáticos. Vale ressaltar que discutimos e explicitamos isso no tópico 3.2.
Por outro lado, as falas dos professores Felipe e Raul destacam uma valorização do uso de fórmulas na resolução de problemas de contagem, em detrimento do emprego do Princípio Multiplicativo, coerente com a fala deles apresentadas nas duas questões anteriores. Felipe afirmou que os alunos questionam a existência dessas fórmulas durante as aulas, mas citou que não saberia justificar a pertinência, a origem, como também a aplicabilidade das
também, a fala do professor Raul que evidenciou de forma positiva o uso do Princípio Fundamental da Contagem na resolução de problemas, mas, não mostrou evidências, como também clareza sobre essa importância.
O professor Raul afirmou que nos problemas que envolvem repetições de elementos torna-se inviável o uso do Princípio Fundamental da Contagem. Vale salientar que no tópico 3.2 sugerimos e exemplificamos a utilização do Princípio Multiplicativo, como uma possível técnica disponível, no sentido dado por Chevallard (1999), a fim de abordar e resolver problemas nos quais há repetição de elementos. Desse modo, temos a hipótese de que o professor Raul desconhece ou não domina por completo parte dos conteúdos relacionados a esse tema.
Assim sendo, acreditamos que, no contexto delineado, os professores Felipe e Raul apresentam, segundo a Taxonomia de Tardif (2002), lacunas em relação ao desenvolvimento de seus saberes disciplinares no ensino de análise combinatória.
Tardif (2002) refere que o saber do professor está em confluência entre as várias fontes de saberes provenientes de sua historicidade, da instituição escolar, de outros atores educativos, etc. Ponte (1998) afirma que os conhecimentos e competências adquiridos pelo professor durante sua escolarização tornam-se em, muitos casos, insuficientes para o exercício de suas funções. Nesse contexto, o professor Raul, em sua fala, comentou que não estudou em sua história escolar análise combinatória nem no Ensino Médio, como também nos anos de graduação.
Desse modo, conjecturamos que os conceitos sobre o ensino de análise combinatória do professor Raul desenvolveram-se das relações por ele construídas com seus pares, nas instituições onde trabalhou e nos livros em que teve oportunidade de pesquisar, o que entendemos que poderia justificar as lacunas aqui apresentadas.
Percebemos, também, que a autonomia docente tem seu papel favorecendo a procura de formação continuada, pesquisas em livros ou cursos de desenvolvimento profissional. A mesma justificativa adapta-se à fala do professor
Felipe, que argumentou que sempre estudou análise combinatória, decorando fórmulas e aplicando-as a problemas estereotipados.
Com relação ao uso da árvore de possibilidades e da enumeração das soluções; na fala dos entrevistados, não notamos a valorização dessas técnicas, no sentido usado por Chevallard (1999). Esteves (2001) afirma que incentivar o uso de diagramas, tabelas, enumerações ou a árvore de possibilidades são meios valorosos a fim de sistematizar a compreensão do Princípio Fundamental da Contagem.
Sob essa ótica, entendemos que a enumeração e a árvore de possibilidades são técnicas (Chevallard, 1999) que não participaram da historicidade (processo de escolarização), como também do desenvolvimento profissional dos professores Raul e Felipe. Assim sendo, justifica-se a não valorização do uso dessas técnicas (Chevallard, 1999) no ensino de análise combinatória.