O objetivo da Atividade 6 baseia-se no levantamento das condições de perpendicularismo entre a figura original e sua imagem sendo que, para isso, os alunos deveriam ordenar os passos da construção do aluno fictício Danilo e refazer a construção, concluindo, ao final, se concordam ou discordam da resposta dada pelo aluno. Desta forma, os alunos foram instruídos a abrirem o arquivo correspondente a esta atividade. A figura encontrada no arquivo era semelhante à figura da atividade anterior o que levou vários alunos a comentarem que já a haviam resolvido. Porém, a professora explicou que na atividade anterior, a análise baseava-se nas condições de paralelismo enquanto nesta, eles deveriam investigar as condições necessárias para o perpendicularismo entre os lados da figura original e sua respectiva imagem.
4.2.9.1. SISTEMA DE APRENDIZAGEM A
A estratégia utilizada pelas duplas deste sistema foi numerar as colunas conforme percebiam a existência das primitivas necessárias para cada uma das construções. Algumas das ferramentas, como por exemplo reta perpendicular e reta paralela, já haviam sido utilizadas na Atividade 5, enquanto as ferramentas bissetriz e ângulo, ainda não haviam sido exploradas, gerando dificuldades para as duplas. Para executar estas construções, as duplas requisitaram o auxílio da professora que esclareceu a ordem em que os vértices do ângulo deveriam ser selecionados para cada uma dessas novas ferramentas. Além dessas ferramentas, também foi disponibilizada a ferramenta perpendicular? que não ofereceu dificuldades de manuseio tendo em vista que os alunos já haviam utilizado ferramenta semelhante para identificação do paralelismo na atividade anterior.
As duplas não apresentaram dificuldades em numerar os comandos da tabela corretamente. Duas duplas deste sistema numeraram a seqüência na ordem apresentada pela Figura 4.33, enquanto a terceira dupla, numerou a seqüência na ordem 1-5-4-6-2-3. Ambas as respostas estão corretas pois as construções das
retas r, s e t dependem apenas da figura inicial e não das construções realizadas durante a atividade.
Figura 4.33: Exemplo da ordenação da construção de Danilo da atividade 6
A figura obtida durante esta atividade (Figura 4.34) foi construída de forma robusta, obedecendo aos comandos descritos na tabela da atividade (Figura 4.33). Porém, esta construção restringiu a manipulação, que pode ser realizada apenas para os vértices do polígono original (o que foi realizado por apenas uma das duplas), ou seja, a construção robusta acabou impossibilitando a manipulação do eixo de reflexão e conseqüentemente a verificação empírica de outras possibilidades deste eixo.
Figura 4.34: Exemplo de construção dos passos de Danilo da Atividade 6
Apesar desta impossibilidade de manipulação, a dupla Júlia e Maíra conjecturou que talvez existisse outro ângulo que possibilitasse o perpendicularismo dos lados do polígono localizado “do outro lado”, referindo-se ao lado oposto do eixo de simetria. O valor conjecturado pela dupla foi 180º e neste caso, foi verificado, através de uma nova construção auxiliada pela professora, que os segmentos
seriam paralelos (conforme o resultado obtido na atividade 5). Neste caso, estas alunas, assim como as demais duplas deste sistema, acabaram assumindo a resposta de Danilo como correta, utilizando para isso, justificativas empíricas conforme o exemplo da Figura 4.35.
Figura 4.35: Exemplo de resposta para as condições observadas sobre a reflexão da Atividade 6
Apesar de duas duplas mencionarem ângulos maiores, a única medida que foi verificada, além do valor de 45º , foi 180º .
As duplas deram continuidade à atividade realizando a translação da figura original. Nesta construção, nenhum das duplas apresentou dificuldades. A professora orientou os alunos para que utilizassem a ferramenta é perpendicular? na verificação empírica das condições de perpendicularismo. As figuras obtidas (Figura 4.36) foram realizadas através de uma construção robusta, onde a manipulação do vetor e/ou dos vértices do polígono continuaria produzindo figuras congruentes à figura original.
Desta forma, manipulando o vetor, nenhuma dupla teve dificuldades em verificar o domínio de validade para esta transformação respondendo a questão (Figura 4.37). Esta resposta poderia ter sido deduzida através da observação à resposta da Atividade 5 pois as duplas já haviam verificado que, através da translação, as figuras obtidas sempre são paralelas, porém, nenhuma das duplas deste sistema teve a iniciativa de retornar à atividade anterior visando observar os resultados obtidos e/ou conjecturar novas respostas.
Figura 4.37: Exemplo de resposta sobre a translação da atividade 6
Todas as duplas passaram, então, para o terceiro e último item da atividade 6 que se referia à rotação. As duplas necessitaram de auxílio da professora para relembrar a ordem em que as primitivas da rotação deveriam ser selecionadas. Após a breve explicação sobre a ordem de seleção das primitivas, as duplas conseguiram obter a construção conforme ilustra a Figura 4.38.
Figura 4.38: Exemplo de construção da rotação da Atividade 6
Na tentativa de elaborar a resposta para a questão sobre rotação, duas das duplas passaram a manipular o ângulo por iniciativa própria. A terceira dupla foi orientada pela professora a realizar esta manipulação. Como a mudança na ferramenta de verificação é muito sutil, as duplas perceberam uma “piscadela” da ferramenta é perpendicular? ao alcançarem o valor de 90º . Uma das duplas contentou-se com este único valor, as demais, conseguiram manipular o ângulo
até obter, empiricamente, o valor 270º . Em seguida, as duplas redigiram suas respostas, cujo exemplo encontra-se na Figura 4.39.
Figura 4.39: Exemplo de resposta sobre a rotação da atividade 6
Como esta atividade restringe-se à escolha das alternativas (sempre, nunca ou às vezes), não é possível analisar o uso da linguagem matemática nesta atividade. A construção obtida neste item também pode ser considerada robusta no sentido de que, manipulando o ângulo, os polígonos permanecem congruentes. Porém, em nenhum momento durante a execução desta atividade, pode-se dizer que os
alunos tomaram consciência deste fato. Por outro lado, manipulando-se a figura, a
condição de perpendicularismo dos lados do polígono não se mantém, ou seja, neste sentido, a construção não é robusta.
A ênfase desta atividade privilegia o aspecto interfigural ou seja, o levantamento das condições de perpendicularismo ocorre devido a observações referentes a objetos externos aos polígonos, ou seja, ao eixo de reflexão, ao vetor (na translação) e ao ângulo (na rotação).
O domínio de validade encontrado foi correto. No caso da reflexão, este domínio poderia apresentar também o valor de 135º , porém, devido às restrições de manipulação do eixo, nenhuma das duplas conseguiu observar este valor. No caso da rotação, uma única dupla deixou de investigar o valor de 270º tornando incompleta sua resposta.
As justificativas utilizadas nesta atividade dizem respeito às observações empíricas realizadas pelos alunos durante a execução e manipulação dos objetos como eixo, vetor e ângulo.
4.2.9.2. SISTEMA DE APRENDIZAGEM B
As duplas do sistema de aprendizagem B tiveram maiores dificuldades do que as do sistema A na ordenação dos passos da atividade 6 sobre reflexão. Esta dificuldade teve origem na percepção das primitivas necessárias para cada uma das construções a ser realizada, o que, no sistema de aprendizagem A, ocorreu com maior tranqüilidade. Neste caso, foi necessário que o professor/pesquisador interferisse questionando sobre a possibilidade de realização de uma das construções se a primitiva necessária ainda não havia sido construída, por exemplo, como seria possível construir a bissetriz do ângulo existente entre as retas r e s se ainda não havia reta r. Outra dificuldade ocorreu devido a utilização das ferramentas bissetriz e ângulo que ainda não haviam sido exploradas nas atividades anteriores.
As duplas conseguiram organizar corretamente os passos dados, sendo que duas delas numeraram os passos na seqüência 1-6-4-5-2-3 enquanto a terceira dupla numerou 1-5-7-6-3-2. Ambas as ordens podem ser consideradas corretas já que não necessitam de primitivas anteriormente construídas.
Todas as duplas concordaram com a afirmação de Danilo, porém parece evidente que, para este sistema, a utilização de uma construção robusta acabou prejudicando a exploração empírica, já que, duas das duplas conjecturaram a existência de outro valor sendo que o aluno Henrique chegou até mesmo a conjecturar que o valor seria 225º (valor incorreto), sendo que sua dupla discordou de tal valor mas não conjecturou nenhum outro.
Na seqüência, as duplas resolveram a atividade sobre translação. Nesta atividade, não houve dificuldade em sua resolução. Todas as duplas conseguiram afirmar que nunca é possível ocorrer o perpendicularismo entre um lado da figura original e sua imagem correspondente. Nenhuma das duplas recorreu à atividade 5 para realizar tal afirmação, mas sim, à verificação empírica da propriedade. A terceira parte da atividade, sobre o tema rotação, também não apresentou dificuldades para este sistema. Todas as duplas obtiveram a resposta correta: 90º ou 270º .
As construções obtidas na translação e na rotação são robustas no sentido que as imagens obtidas são sempre congruentes à figura original e não no sentido de permanência do perpendicularismo dos lados.
O aspecto privilegiado através desta atividade é o interfigural pois as duplas buscavam relacionar o eixo de reflexão, o vetor na translação e o ângulo na rotação ao perpendicularismo do lado da figura original e sua respectiva imagem.
4.2.9.3. CONCLUSÃO
A atividade 6 enfatizou o aspecto interfigural, destacando a relação existente entre o eixo de simetria, o vetor na translação e o ângulo na rotação na obtenção do perpendicularismo entre um dos lados da figura original e sua respectiva imagem.
No item onde a transformação enfocada foi a reflexão, a construção realizada foi robusta, conforme os passos dados na tabela da atividade. Se por um lado, essa construção favoreceu a obtenção do valor exato do ângulo, por outro, dificultou a verificação empírica de outros valores possíveis.
Nos demais itens, a construção realizada foi robusta no sentido de que a mesma possibilita sempre a construção de figuras congruentes, porém, manipulando-se o ângulo, no caso da rotação, a figura deixa de apresentar o perpendicularismo de seus lados.
Nos dois sistemas, o domínio de validade foi indicado corretamente: para a reflexão: quando o ângulo formado pelo segmento e pela reta de simetria é igual a 45º (faltando indicar o valor de 135º ); para a translação: nunca é possível que o segmento original seja perpendicular a sua imagem; e para a rotação: quando o ângulo for 90º ou 270º .
Pode-se perceber que a perspectiva dos alunos adotada durante a execução desta atividade aborda, segundo Balacheff, aspectos pragmáticos e não aspectos conceituais. Tal fato pode ser decorrente do modo como as tarefas foram enunciadas, ou seja, as atividades envolvem ações dos alunos através da
verificação empírica de posições de vetores, eixos de simetria e valores de ângulos.