cretas e roteamento est´atico n˜ao-bifurcado
Apresenta-se nesta se¸c˜ao uma extens˜ao n˜ao-bifurcada da formula¸c˜ao integrada para atribui¸c˜ao discreta de capacidades e fluxos bifurcados proposta no cap´ıtulo 3 em 3.2.1- 3.2.5. Seja Pkh, (h = 1, ..., Nk) um conjunto de Nk caminhos diretos que podem ser
utilizados para o transporte do produto k conectando Ok e Dk em G. Esse conjunto
pode ser um conjunto de todos os caminhos diretos entre Oke Dkou um sub-conjunto
de caminhos vi´aveis. Seja xkh o volume de fluxo do produto k atrav´es do caminho
est´atico direto h. Seja ykh uma vari´avel de decis˜ao, onde ykh = 1 se o caminho h ´e
selecionado para transportar o fluxo xkh, e ykh = 0 zero caso contr´ario. Seja akh o
vetor de incidˆencia arco-caminho m-dimensional.
O problema de atribui¸c˜ao de capacidades e roteamento n˜ao-bifurcado ´e definido como: minimize m X i=1 τi(fi) (4.2.1) sujeito a K X k=1 Nk X h=1 akh i xkh = fi, ∀i = 1, ..., m (4.2.2) Nk X h=1 xkh = dk, k = 1, ..., K (4.2.3) 0 ≤ fi ≤ cnic, ∀i = 1, ..., m (4.2.4) xkh ∈ ℜ+, k = 1, ..., K, h = 1, ..., Nk (4.2.5) xkh ≤ dkykh, k = 1, ..., K, h = 1, ..., Nk (4.2.6) Nk X h=1 ykh = 1, k = 1, ..., K (4.2.7) ykh ∈ {0, 1}, k = 1, ..., K, h = 1, ..., Nk (4.2.8)
As restri¸c˜oes (4.2.6)-(4.2.8) garantem que para cada produto um ´unico caminho seja selecionado.
A fun¸c˜ao objetivo definida em (4.2.1) gera um problema multiproduto n˜ao-convexo. Essa caracter´ıstica de n˜ao convexidade ´e inerente ao problema de decis˜ao associado `a escolha da capacidade de cada arco. Uma extens˜ao do m´etodo c´ıclico de melhoria apresentado no cap´ıtulo anterior ser´a adotada. A adapta¸c˜ao do m´etodo c´ıclico de melhoria ´e justificada pelo fato de que os limites inferiores obtidos para o problema bifurcado s˜ao limites tamb´em v´alidos para o problema n˜ao-bifurcado correspondente. A heur´ıstica encontra uma solu¸c˜ao vi´avel e, ent˜ao, gradualmente reduz o custo da solu¸c˜ao obtida at´e que nenhuma solu¸c˜ao melhor possa ser encontrada para (4.2.1) a (4.2.8). Ela ´e baseada em trˆes fases.
Na primeira fase, o problema convexificado ´e solucionado sem as restri¸c˜oes (4.2.6), (4.2.7) e (4.2.8). A solu¸c˜ao obtida ¨φ ´e um limite inferior para o problema original.
¨ φ = inf f ∈F ( m X i conv τi(fi) ) (4.2.9) onde F ´e definido por (4.2.2) a (4.2.5).
Na segunda fase, o roteamento obtido ´e usado como ponto de partida para en- contrar uma solu¸c˜ao heur´ıstica ˘φ do problema n˜ao bifurcado dado por (4.2.1)-(4.2.8) novamente com a fun¸c˜ao objetivo convexificada.
˘ φ = inf ˘ f ∈F ( m X i conv τi( ˘fi) ) (4.2.10) onde F ´e definido por (4.2.2) a (4.2.8).
Na terceira fase, o roteamento obtido ´e usado como solu¸c˜ao inicial para o m´etodo c´ıclico entre atribui¸c˜ao de capacidades e roteamento de fluxos n˜ao bifurcado at´e que n˜ao ocorram mais melhorias significativas no valor da fun¸c˜ao objetivo.
ˆ φ = inf ¯ f ∈F ( m X i τi( ˆfi) ) (4.2.11) onde F ´e definido por (4.2.2) a (4.2.8).
Em termos pr´aticos, o gargalo computacional do algoritmo proposto est´a no m´etodo de solu¸c˜ao de problemas n˜ao-lineares multiproduto n˜ao-bifurcados. Se fosse
poss´ıvel resolver o problema de roteamento n˜ao-bifurcado de maneira eficiente o al- goritmo heur´ıstico proposto teria desempenho garantido, tal como no caso bifurcado.
M´etodo c´ıclico de melhoria
Fase I: Fase de aproxima¸c˜ao convexa com roteamento bifurcado:
Passo 1- Encontre uma solu¸c˜ao inicial vi´avel f0 para o problema bifurcado, t = 0.
Passo 2- Aplique um algoritmo de roteamento para encontrar o ´otimo ¨f do pro- blema convexo aproximado. O valor da fun¸c˜ao objetivo obtido ¨φ ´e um limite inferior do problema (4.2.1)-(4.2.5).
Fase II: Fase de aproxima¸c˜ao convexa com roteamento n˜ao-bifurcado:
Passo 3- Partindo do roteamento bifurcado obtido determine uma solu¸c˜ao inicial n˜ao-bifurcada f0
nb, definida como o conjunto de rotas mais curtas sob a m´etrica
li = ∂conv τ∂fii(fi)
.
Passo 4- Aplique um algoritmo de roteamento n˜ao-bifurcado para encontrar uma solu¸c˜ao ˘fnbdo problema convexificado. Se | ˘φ− ¨φ| < ε, pare com ˘fnb, sendo, com
erro ε, um ´otimo global do problema n˜ao-bifurcado convexificado. Se isso ocorre ´e poss´ıvel determinar um limite superior te´orico para o problema (4.2.1)-(4.2.8). Passo 5- Avalie a fun¸c˜ao objetivo n˜ao-convexa original ˜φ, para o vetor de fluxos
˘
fnb. Se | ˜φ − ¨φ| < ε, pare. Se ˘fnb for, com erro ε, um ´otimo global do problema
n˜ao-bifurcado convexificado, ent˜ao ˘fnb ´e tamb´em com erro ε, um ´otimo global
de (4.2.1)-(4.2.8). Caso contr´ario, v´a para a Fase III. Fase III: M´etodo c´ıclico de melhoria:
Passo 6- fˆinb = ˘finb ∀i = 1, ..., m.
Passo 7- Usando a rota obtida, para cada arco i, assinale uma capacidade aplicando as seguinte regras:
se 0 ≤ ˆfinb ≤ γ
0
se γijcji ≤ ˆfinb < γ
j+1 i c
j+1
i ent˜ao ci = cj+1i .
Passo 8- Aplique um algoritmo de roteamento n˜ao-bifurcado para o problema con- vexo multiproduto resultante e obtenha uma nova solu¸c˜ao para (4.2.1)-(4.2.8).
Passo 9- Se | ˆφ( ˆft
nb) − ˆφ( ˆfnbt+1)| < ǫ, pare; sen˜ao t ← t + 1 e v´a para o Passo 6.
Esse algorimo produz uma seq¨uˆencia decrescente e limitada inferiormente de solu¸c˜oes vi´aveis. Uma s´erie de testes foram executados com o objetivo de mostrar que esse algoritmo ´e eficaz na obten¸c˜ao de boas solu¸c˜oes.
4.2.1
Roteamento n˜ao-bifurcado
A introdu¸c˜ao das restri¸c˜oes de n˜ao-bifurca¸c˜ao transforma o conjunto de roteamentos de fluxos multiprodutos vi´avel em um conjunto discreto. O n´umero de elementos desse conjunto ´e igual ao n´umero de todas as poss´ıveis combina¸c˜oes de caminhos entre todos os pares origem-destino e este problema ´e NP-dif´ıcil. O problema de roteamento n˜ao-bifurcado de fluxos com fun¸c˜ao de custos linear e atribui¸c˜ao de capacidades ´e denominado na literatura de problema de projeto de redes capacitadas [11]. O estado da arte dos algoritmos de resolu¸c˜ao exata desse problema tem resolvido instˆancias com, por exemplo: 14 n´os, 44 arcos e 210 produtos [10] ou 29 n´os, 61 arcos e 70 produtos [6]. Cabe ressaltar que nas formula¸c˜oes adotadas n˜ao existe um limite superior para a capacidade a ser instalada que ´e tratada como tendo um valor m´ultiplo de uma capacidade pr´e-definida. N˜ao s˜ao feitas considera¸c˜oes sobre economia de escala nos custos de instala¸c˜ao de capacidades.
N˜ao existe muita pesquisa publicada sobre o problema de roteamento n˜ao-bifurcado e n˜ao-linear. As abordagens de solu¸c˜ao encontradas se concentram em m´etodos de Relaxa¸c˜ao Lagrangeana [14] [25][67].
M´etodos cont´ınuos como o m´etodo de desvio de fluxos n˜ao podem ser usados na solu¸c˜ao de problemas de roteamento de fluxos n˜ao-bifurcados. Entretanto, Gerla [29] mostrou que quando a rede ´e grande e balanceada uma heur´ıstica baseada no m´etodo de desvios de fluxos pode ser aplicada apresentando bons resultados.
η , ωσ (K − 1) ¯K ≪ 1 (4.2.12) onde: σ , max ij dij d
a raz˜ao entre a maior demanda e a demanda m´edia, e
d , 1
(K − 1)K X
ij
dij
´e a demanda m´edia por par de n´os (i, j), e
ω , m n a densidade m´edia de arcos por n´os na rede, e
¯ K , P ij dij¯lij P ij fij
onde ¯lij ´e o comprimento em n´umero de arcos do caminho mais curto entre (i, j), e
fij ´e o fluxo total no caminho (i, j).
O fato ´e que, como foi demonstrado por Kleinrock em [41], em uma rede grande e balanceada, na m´edia, o fluxo de um ´unico produto em qualquer arco pode ser considerado como sendo infinitesimal, quando comparado ao fluxo total naquele arco. Uma conseq¨uˆencia desse resultado ´e que, se a rede for grande e balanceada, a solu¸c˜ao do problema de roteamento com uma formula¸c˜ao bifurcada ´e uma boa aproxima¸c˜ao para o problema n˜ao-bifurcado. Tal fato tamb´em permitiu a Gerla desenvolver uma heur´ıstica baseada no m´etodo de desvios de fluxos e em uma estrat´egia de coordenadas descendentes para resolver o problema de roteamento n˜ao-bifurcado. Esta heur´ıstica foi adotada e os resultados obtidos e apresentados nas pr´oximas se¸c˜oes atestam que os resultados n˜ao-bifurcados se aproximam dos bifurcados.