Serum NSE Düzeyler

3
+ x 2
= x(x−1)(x2_+7x−6) 24

onde x ≥ 2 é o número de vértices da face externa de G. Esta quantidade é referente à atribuição dos quatro rótulos de modo que nenhum vértice receba mais do que dois rótulos. Entretanto, não é necessário examinar todas as escolhas de associações dos rótulos para determinar se existe uma 4-extensão de G. O processo de construção da 4-extensão falha se criarmos um circuito contendo menos que 4 arestas e que não é face, ou se tal circuito já existir em G (lema 4.3 e teorema4.5). Se o circuito já existir, então o grafo não possui uma representação retangular independentemente da escolha dos rótulos. Caso contrário, vamos apresentar uma propriedade que elimina algumas associações.

Seja C0(G) o circuito da face externa de G. Uma corda de C0(G) é uma aresta α que é

adjacente a dois vértices de C0(G), porém α 6∈ E(C0(G)). Sempre que nos referirmos a uma

corda de G, estamos nos referindo a uma corda do circuito mais externo de G.

Qualquer circuito criado com a adição de arestas em G da forma descrita acima contém ao menos um dos vértices vN, vL, vS, vO e tamanho maior ou igual a 3. Pela forma que

completamos o grafo G, todos os circuitos que contêm v∞ e não formam uma face possuem

tamanho maior que 3. Um circuito que contém 3 arestas que não é face só é criado se um dos vértices vN, vL, vS, vO é adjacente a dois vértices da face externa de G e existe uma corda

entre eles. A existência de tal circuito, pelo teorema4.5 implicaria que a extensão de G não seria 4-conexo. Assim, tais circuitos devem ser evitados.para evitar estes tipos de circuitos, os rótulos vSE, vSO, vN O e vN E serão atribuídos de modo não existe um vértice do conjunto

{vN, vL, vS, vO} que seja adjacente a ambos extremos de uma corda.

Conforme ilustrado na figura 4.18, C0(G) pode ter muitas cordas. Isso implica que

precisamos definir os rótulos vN, vL, vS, vO de modo que quando adicionarmos os vértices

vS, vN, vL e vO, os extremos de qualquer corda não pertençam a um triângulo que não é face.

Como já argumentado anteriormente, para que os extremos u, v de uma corda não formem um triângulo que não é face, precisamos escolher ao menos um vértice interno do caminho de u a v que utiliza somente arestas de C0. É fácil ver que se rotularmos um dos extremos

Nem todas as cordas de C0(G) precisam ser analisadas para satisfazer estas restrições.

Note que as cordas podem possuir outras cordas internas a ela. Uma corda com extremos u e v é chamada de corda crítica se nenhum dos vértices internos do menor caminho de u a v que utiliza somente arestas de C0(G) contém um extremo de uma outra corda, este caminho

será conhecido como caminho crítico. Deste modo, para satisfazer as restrições de todas as cordas de C0(G), precisamos satisfazer somente as restrição para os extremos das cordas

críticas de C0(G).

Figura 4.18: Exemplo de uma configuração das cordas do circuito da face externa. As cordas críticas são representadas por uma linha pontilhada.

Teorema 4.7: Um grafo plano triangulado G que é 2-conexo, em que cada circuito que não é face possui tamanho maior ou igual a 4 possui uma representação retangular se e somente se não existem mais que 4 caminhos críticos.

Demonstração: Suponha que existe uma representação retangular de G. Se G possuir 5 ou mais caminhos críticos, então para qualquer escolha dos vértices da face externa de G para os rótulos vSE, vSO, vN O e vN E, temos que ao menos um dos caminhos, por exemplo,

vSO a vSE, irá conter ao menos 3 extremos de cordas críticas, onde 2 destes são extremos de

uma determinada corda crítica. Consequentemente, a construção da 4-extensão irá falhar, pois existirá um triângulo que desconecta ao menos um vértice do restante do grafo. Um absurdo com o fato de G possuir uma representação retangular.

Suponha agora que G possui η ≤ 4 caminhos críticos. Precisamos encontrar uma rotulação dos vértices da face externa de G de modo que exista uma representação retangular. Ainda, note que existe uma ordem para os rótulos, precisamos rotular os vértices da face externa de modo que quando percorrermos o circuito da face externa no sentido horário os rótulos vSE, vSO, vN O e vN E apareçam nesta ordem.

Para cada caminho crítico, escolha um de seus vértices internos para rotulá-lo apropriadamente. Para os 4−η rótulos restantes escolha um vértice qualquer da face externa. Deste modo, todos os circuitos que não são faces possuem ao menos 4 arestas. Portanto, existe uma representação retangular de G.

4.3 Construção de uma 4-extensão para grafos gerais 41

4.3

Construção de uma 4-extensão para grafos

gerais

Nesta seção, vamos apresentar uma construção para grafos planos conexos. Um grafo plano conexo, não precisa ser, necessariamente, um bloco, ele pode conter um conjunto de blocos maximais, de modo que, dois blocos maximais contêm, no máximo, um vértice em comum, perceba que este vértice é uma articulação.

Seja G um grafo plano triangulado. Considere que B1, B2, . . . , Bk são blocos maximais

de G. Como todas as faces de G são triângulos, não é possível desenhar um bloco maximal Bj dentro de uma face de um bloco maximal Bi. Pela figura 4.19 vemos que não é

possível desenharmos um bloco maximal em uma face de um outro bloco maximal, pois, ou contradizemos que todas as faces de G sejam triângulos, ou com o fato de Bi e Bj serem

blocos maximais. Na figura 4.19 os vértices de um bloco maximal é representado pela cor azul enquanto os vértices de um outro bloco maximal possuem cor vermelha. Se o bloco com os vértices vermelhos for desenhado na face do bloco dos vértices azuis, então deve existir mais uma aresta entre algum vértice vermelho a um vértice azul pois todas as faces do grafo possuem três arestas. Entretanto, caso exista tal aresta, contrariamos o fato de que Bi e Bj

são blocos maximais.

Figura 4.19: Ilustração do bloco maximal Bj (vértices vermelhos) desenhado em uma face do bloco

maximal Bi (vértices azuis). O circuito externo de Bj possui cor vermelha.

É fácil ver que se G é um grafo plano triangulado, então todas as articulações de G pertencem à face externa de G. Suponha que existe um vértice v que é uma articulação G de modo que v não pertence a face externa. Sejam {v1, v2, . . . , vk} os vizinhos de v em ordem

horária. Como v não pertence a face externa e como todas as faces internas são triangulares, então há o circuito hv1, v2, . . . , vn, v1i em G.

Logo, podemos encontrar todas as articulações percorrendo o ciclo da face externa de G. A ideia é encontrar todas articulações para obter todos os blocos maximais de G.

um bloco maximal de G, e existe uma aresta se os respectivos blocos maximais possuem um vértice em comum.

Teorema 4.8: Um grafo plano triangulado G possui uma representação retangular se e somente se o grafo de vizinhança dos blocos é um caminho.

Podemos interpretar o teorema 4.8 da seguinte forma: Para cada bloco maximal, encontramos sua respectiva representação retangular. Após encontrar todas as representações retangulares, podemos juntá-las de modo que a representação retangular resultante seja a representação retangular de G. Esta junção equivale a satisfazer as restrições impostas pelo grafo de vizinhança dos blocos. A figura4.20mostra um exemplo de um grafo de vizinhança dos blocos de 4 vértices que não é um caminho. Perceba que é impossível desenhar uma representação retangular, pois como não existem arestas entre os blocos maximais a e d e entre os blocos c e d, logo, temos que o desenho resultante não é um retângulo.

(A) (B)

Figura 4.20: (A) Grafo de vizinhança dos blocos com 4 vértices. (B) Um desenho das restrições impostas por (A)

Um caminho crítico em um bloco maximal Bi é um caminho crítico no subgrafo Bi que

não contém nenhuma articulação de G.

Teorema 4.9: Um grafo plano triangulado G possui uma representação retangular se e somente se (1) cada circuito que não é face possui ao tamanho maior ou igual a 4, (2) o grafo da vizinhança dos blocos é um caminho, (3) ambos os blocos maximais correspondentes aos vértices dos extremos do caminho do grafo da vizinhança dos blocos devem conter, cada um, no máximo 2 caminhos críticos, e (4) nenhum outro bloco maximal contém um caminho crítico.