Septik Şok

B.2.4. Determinação da pressão de colapso: análise de grandes deformações

Quando o tubo pressurizado internamente é submetido a grandes deformações, é necessário levar em conta a variação de sua geometria, uma vez que os deslocamentos da parede interna e externa serão importantes. A sua análise é consideravelmente simplificada quando o material é considerado incompressível . Neste caso, a condição de tubo de ponta fechada coincide-se com a condição de estado plano de deformação, sendo a tensão longitudinal dada por:

B.23

Se , e denotam, respectivamente, os valores do raio interno, externo e de uma posição qualquer e , e os valores destes raios após deformação, a manutenção do volume do material exige que:

B.24

Utilizando-se as aproximações acima, é possível, a partir das equações de equilíbrio, avaliar a pressão interna _{necessária para expandir o raio interno até} o valor (Chakrabarty, 2006):

B.25 Onde,

 define a curva tensão-deformação uniaxial dada pela equação



Caso a parede do tubo seja suficientemente espessa, a instabilidade do tubo ainda quando este estiver parcialmente plástico. Como definir o seu colapso não é de interesse deste trabalho e maiores informações podem ser encontradas em Chakrabarty (2006), pg. 348.

No caso do tubo não ser suficientemente espesso, o seu colapso ocorre no ato ou após a completa plastificação da sua parede. Neste caso, o critério de escoamento deve ser utilizado para toda a sua extensão, modificando a Equação B.25, do equilíbrio, para (Chakrabarty, 2006):

B.26

Deriva-se a Equação B.26 em relação a _{e se define como a} condição de instabilidade. A equação pode ser reescrita de uma forma mais conveniente, como mostrado pela Equação B.27 (Chakrabarty, 2006):

B.27 Sendo,

B.28

A Equação B.27 sugere que haverá valores de

e

, tal que

e que , como exemplificado na Figura B.5. Caso _{, o tubo colapsará no momento em que a plastificação atingir o} diâmetro externo. Se _{, então, o colapso acontecerá após a completa} plastificação do tubo (Chakrabarty, 2006).

Conhecendo-se _{, é possível determinar o valor instantâneo de} e, utilizando a Equação B.24, . Integrando-se numericamente a Equação B.26 com os valores obtidos anteriormente, é possível encontrar a pressão de colapso do tubo.

Apêndice C. Derivação da carga de colapso plástico de

uma placa plana em estado plano de deformações

A determinação da pressão de colapso plástico de uma placa plana sob estado plano de deformações pode ser feita analiticamente considerando certas aproximações. Caso as deformações plásticas sejam muito maiores que as deformações elásticas, estas últimas podem ser consideradas desprezíveis. Se a placa for muito maior em sua largura do que em sua espessura, a consideração de estado plano de deformações pode ser feita, como para o caso mostrado na Figura C.1, onde a placa é muito maior na direção _{que na direção , ou seja, .}

Figura C.1 – Placa plana sob estado plano de deformações

Fazendo estas considerações e definindo a força _{, monotônica, aplicada} em suas extremidades, como mostrado na Figura C.1, pode-se fazer a derivação analítica do problema. A tensão normal ao eixo _{pode ser determinada pela força} aplicada na área transversal normal a este mesmo eixo.

C.1

Considerando deformações na direção de nulas, bem como as tensões normais a _{, determina-se as tensões normais a estes eixos. As deformações em} sendo nulas e, consequentemente, suas deformações plásticas também nulas,

implicam na validade da lei generalizada de Hooke para determinação da tensão atuante nesta direção (Chakrabarty, 2006).

C.2

C.3

As equações de Lévy-Mises, mostradas pelas Equações C.4 e C.5, são utilizadas para determinação da relação entre o incremento infinitesimal de tensão e de deformação plástica durante o fluxo plástico.

C.4

C.5

Onde, são as tensões deviatórias normais, calculadas pela Equação C.6, são os incrementos de deformação plástica e _{é um escalar positivo,} dependente do incremento de tensão aplicada. Já é parte plástica do incremento de deformação equivalente e _{é a tensão equivalente de von Mises, Equação C.8.} Como determinado anteriormente, em todo momento, a deformação em é nula, logo _.

C.6

Onde, é o delta de Kronecker e a tensão hidrostática do estado de tensões atual. As tensões deviatórias, considerando as Equações C.1, C.2 e C.3, tornam-se, então:

C.7 C.8

Juntando-se as Equações C.4, C.5, C.7 e C.8, chega-se à definição dos incrementos de deformação plástica em função da tensão aplicada , como mostrado pela Equação C.9.

C.9

A deformação da placa deixa de ser uniforme quando a taxa de deformação cai para um valor crítico. Neste ponto, a deformação passa a ser localizada, induzindo um estado tri-axial de tensões, conhecido como a formação do pescoço. É razoável assumir que a carga externa aplicada atinge valores estacionários _{neste momento, que antecede a instabilidade. A derivação} logarítmica da tensão aplicada, considerando que as deformações elásticas são irrelevantes perto das deformações plásticas, leva a:

C.10

Portanto, o incremento de tensão na direção de _{pode ser calculado} utilizando as Equações C.9 e C.10.

C.11

Derivando-se o critério de escoamento de von Mises, é possível chegar à relação abaixo (Chakrabarty, 2006):

C.12

Utilizando-se as Equações C.9 e C.11 na Equação C.12, chega-se à relação mostrada pela Equação C.13.

C.13

Se o material encruar segundo a lei de potência , a parte da esquerda da Equação C.13 torna-se:

C.14

Assim, a deformação equivalente no momento precedente à instabilidade pode ser calculada juntando-se as Equações C.13 e C.14. Em seguida, a tensão equivalente neste ponto pode ser calculada com ajuda da lei de potência que caracteriza o material.

C.15

Para calcular a força máxima suportada pela placa, é necessário determinar a espessura da placa neste momento, , e a tensão atuando na direção de .

C.17

Conhecendo-se a espessura inicial da placa , sua espessura pode ser calculada, a qualquer momento, por:

C.18

A deformação total na direção de _{no momento da instabilidade é} calculada integrando-se a Equação C.9, sabendo-se que o carregamento imposto é monotônico, cujo resultado pode ser substituído pela Equação C.15. Consequentemente, é definido pela Equação C.19.

C.19

Por fim, a pode ser calculada substituindo-se as Equações C.8, C.16 e C.19 na Equação C.17. C.20

Apêndice D. Estudo da convergência da malha em

elementos finitos

Neste capítulo, são mostrados os resultados obtidos durante o estudo da convergência da malha em elementos finitos. O item D.1 é dedicado à placa e o item D.2 ao tubo.