O material aplicado à placa foi caracterizado após obtenção dos parâmetros necessários através dos testes de tração discutidos no item 4.1.1. O aço foi modelado como isotrópico e homogêneo, sendo seu comportamento na região elástica definido pela Lei de Hooke – coeficiente de Poisson . A região plástica foi modelada utilizando a teoria incremental da plasticidade, definindo o encruamento como isotrópico e o critério de escoamento de von Mises foi utilizado. Visto que se trata de uma simulação em regime estático, qualquer dependência do
comportamento do material com a taxa de deformação foi desprezada. Como grandes deformações desejam ser observadas, a opção Nlgeom foi ativada, forçando o software a levar em consideração as deformações não lineares da geometria e, por consequência, recalcular a matriz de rigidez dos elementos a cada iteração.
A placa, de espessura , foi desenhada com comprimento total de , de forma a tornar desprezível a influência das pontas na área de interesse, perto da região da trinca. A fim de evitar singularidades devido à aplicação de carga na extremidade da placa, um ressalto foi inserido nesta região, com espessura de 7mm e comprimento de 15mm. Além disso, a extremidade foi modelada com um material praticamente rígido e incompressível ( e ), para evitar deformações excessivas decorrentes do efeito de Poisson na região de aplicação da carga. O local de utilização deste material é mostrado em cinza na Figura 4.11. A transição entre o corpo da placa e o ressalto foi feita através de um arco tangencial ao primeiro, cobrindo uma região horizontal de 15mm.
Considerou-se a simetria do problema na parte central da placa, denominada “Face A” na Figura 4.11, onde se encontra a trinca. Nesta face, foram restringidos os deslocamentos do material no eixo , bem como as rotações no eixo . Para evitar a interpretação numérica de movimento de corpo livre na direção do eixo , os deslocamentos verticais na “Face B”, oposta à “Face A”, foram restringidos, como mostrado na Figura 4.11.
Figura 4.11 – Geometria e condições de contorno utilizadas no modelo em elementos finitos da placa plana – dimensões em mm
Para seguir a metodologia de comparação descrita no item 3.5.1, utilizou- se o estado plano de deformações na direção de z, sendo a largura da placa nesta direção 1m. Ademais, uma força pontual foi aplicada de modo a impor tração à placa. No entanto, a força foi aplicada em um corpo rígido solidário à “Face B” da placa, como mostrado na Figura 4.12, para evitar os efeitos localizados de aplicação da carga em um material elastoplástico, que poderiam mascarar os resultados obtidos. As superfícies foram definidas como solidárias através de uma restrição do tipo Tie, com método de discretização “Nó para superfície”, por se tratar de interação envolvendo um corpo rígido. Por esta mesma razão, o corpo rígido deve ser definido como superfície mestra, enquanto a “Face B” foi escolhida a superfície escrava.
Por fim, para adicionar estabilidade mecânica e numérica ao sistema, evitando grandes deslocamentos, sobretudo na iminência do colapso plástico da placa, foi adicionada uma barra de contenção. Esta barra foi modelada com um material elástico, de módulo de elasticidade 1GPa e coeficiente de Poisson 0,3, seção transversal de 10-3m2 e comprimento 30mm. A barra foi engastada na sua extremidade livre e teve o deslocamento restringido na direção vertical no ponto de junção com a superfície rígida. A barra e a superfície rígida foram modeladas como solidárias com restrição do tipo Tie. A análise feita para restrição superfície rígida- placa é válida, também, para este caso.
Devido à configuração escolhida, a resistência à força total é a soma das rigidezes da placa e da barra de contenção. A componente da força total aplicada à barra de contenção pode ser obtida como resposta do modelo em elementos finitos, sendo a força de reação na direção na sua extremidade engastada. Logo, a força componente da força aplicada à placa pode ser calculada pela Equação 4.3.
Figura 4.12 – Carregamento aplicado ao modelo em elementos finitos da placa plana
Diversas geometrias foram criadas utilizando a configuração apresentada, somente variando o comprimento da trinca, como mostrado na Tabela 4.1. Primeiramente, foi criada uma geometria sem trinca, para determinar a carga de falha de referência. Duas geometrias tinham comprimento da trinca correspondendo a 2,5% e 5% da parede. Nas geometrias subsequentes, o comprimento da trinca foi aumentado em 5% da espessura até atingir 50%. Valores acima deste são de pouca ou nenhuma importância prática para as aplicações discutidas na seção 3.3, portanto não foram levados em consideração.
Tabela 4.1 – Comprimento de trinca da placa em cada geometria criada Geometria a [mm] t [mm] a/t [-] 1 0 3,9 0% 2 0,0975 3,9 2,5% 3 0,195 3,9 5% 4 0,390 3,9 10% 5 0,585 3,9 15% 6 0,780 3,9 20% 7 0,975 3,9 25% 8 1,170 3,9 30% 9 1,365 3,9 35% 10 1,560 3,9 40% 11 1,755 3,9 45% 12 1,950 3,9 50%
A trinca foi modelada no Abaqus CAE® utilizando uma linha de junção, isto é, uma face que, originalmente é fechada, porém, com a aplicação de carga, pode-se abrir, como no exemplo da Figura 4.13. Nesta linha de junção, os nós da malha de elementos finitos gerados são duplicados e destacados (Dassault Systèmes, 2013), conferindo a liberdade das faces da trinca para se deslocarem de maneira independente.
Figura 4.13 – Exemplo de trinca modelada por linha de junção no Abaqus CAE – adaptado de Dassault Systèmes (2013)
Nos modelos gerados neste trabalho, as trincas foram inseridas na região de simetria do problema. Assim, apenas uma das faces da trinca é visível, como na Figura 4.14, onde apenas a região ao entorno da trinca é mostrada. Sua ponta foi modelada com um pequeno círculo vazado, de raio , na técnica conhecida como “buraco de fechadura” (keyhole, do inglês). A utilização de embotamento na ponta da trinca é usual na modelagem por elementos finitos, desde que o seu raio seja pequeno o suficiente para que, nas cargas de interesse, a geometria final não dependa da geometria inicial. A utilização de uma ponta de trinca muito aguda é evitada visando a diminuir problemas de convergência numérica causada pelos enormes gradientes de tensão causados por este tipo de geometria (Dassault Systèmes, 2013).
Figura 4.14 – Modelagem geométrica da trinca
O método de cálculo utilizado no Abaqus para estimar a integral de contorno J pelo método dos elementos finitos é a extensão virtual de trincas (vce, do
da divergência é aplicado para reformular a integral de contorno como uma integral de área. A integral J é definida em termos da taxa de liberação de energia associada a um aumento fictício do comprimento da trinca (Brocks; Scheider, 2001). Portanto, é necessário definir a direção de uma possível propagação de trinca, vetor , para aplicação da sua extensão virtual, mostrado na Figura 4.15.
Figura 4.15 – Definição da frente de trinca e da direção da sua extensão virtual
Visto que, na teoria, o valor da integral de contorno J é independente do caminho tomado, qualquer área definida para seu cálculo utilizando o método vce deve retornar o mesmo resultado. No Abaqus®, existe a possibilidade do cálculo de várias integrais de contorno utilizando diferentes áreas. Para isso, é necessário definir a primeira linha de elementos ao redor da ponta da trinca, chamados de frente da trinca, como mostrado na Figura 4.15. Estes elementos serão utilizados para o cálculo do primeiro contorno. Em seguida, os elementos que circundam a frente da trinca serão adicionados para cálculo do segundo contorno e assim sucessivamente (Dassault Systèmes, 2013). Para este estudo, 20 contornos foram utilizados para cálculo da integral J. Um exemplo de como são escolhidos os nós de elementos para cada um dos contornos é mostrado na sequência da Figura 4.16.
Figura 4.16 – Exemplos de nós utilizados em cada um dos contornos para cálculo da integral J
A malha em elementos finitos foi gerada focalizada na ponta da trinca, tanto em direção quanto em seu refinamento. Na Figura 4.17, são mostradas as cinco regiões em formato de semicírculo criadas ao redor da ponta da trinca, de tal modo que a malha pudesse ser gerada utilizando o método de varredura (sweep, em inglês). O tamanho dos elementos cresce à medida que se distancia da ponta da trinca. A título de exemplo, a ordem de grandeza do tamanho dos elementos que tocam a ponta de trinca é de 0,3μm e aqueles mais externos, na região 5, têm em torno de 10μm de lado.
Figura 4.17 – Malha focalizada na ponta da trinca
Por outro lado, a região longe da ponta da trinca provavelmente terá pouca influência na sua resposta, assim como no comportamento da seção remanescente. Assim, não é necessário refinar a malha nesta área, apontada pelo número 8 na Figura 4.18. Foi utilizada uma geração de malha livre (free, do inglês), sendo 1mm um tamanho típico de elemento.
Para fazer a transição da malha refinada da ponta da trinca para o corpo da placa, utilizou-se as regiões 6 e 7. Para a primeira, o método de geração de malha estruturada com minimização de transição foi escolhido. Já para na segunda, foi utilizado o método de varredura. Um tamanho típico de elemento utilizado nestas regiões foi de 0,2mm.
O tamanho final dos elementos utilizados em cada região dependerá da configuração de malha ótima decidida após estudo de convergência. Este estudo foi feito para cada configuração de tamanho de trinca, através do método h, isto é, aumentando o número de elementos em cada uma das regiões, sequencialmente, porém sem alterar a ordem do elemento. Uma carga de tração foi aplicada até o colapso plástico da placa, monitorando, também, a curva de integral J aplicada à ponta da trinca. A convergência para cada uma das regiões foi considerada atingida quando os valores de controle – carga para atingir o colapso plástico e o valor de integral J aplicada a 90% da carga de colapso – variaram menos de 2,5% com a duplicação do número de elementos na região estudada. A sequência de estudo da convergência se deu das áreas com menor influência no resultado para aquelas com maior influência, isto é, começou-se pela região 8, em seguida foram estudadas em conjunto as regiões 6 e 7, terminando com as regiões 1 a 5.
Toda a placa foi modelada com elementos quadrilaterais biquadráticos de oito nós com integração reduzida, reproduzindo o estado plano de deformações, cuja nomenclatura no Abaqus CAE® é CPE8R. A utilização de elementos quadrilaterais pertencentes a uma malha gerada pelo método de varredura é mandatória no Abaqus para avaliação de integrais de contorno. (Dassault Systèmes, 2013). A razão da obrigação da utilização de elementos quadrilaterais não foi encontrada diretamente no manual de ajuda do software, porém foi discutida por Anderson (2005): a maioria dos algoritmos de pós-processamento que avaliam a integral J definem a região de integração buscando os elementos para fora, partindo da ponta da trinca, usando a matriz de conectividade de elementos. Malhas bem construídas com elementos quadrilaterais, utilizando o método de varredura, resultam em domínios regulares e concêntricos para avaliação de J. No entanto, uma infinidade de elementos triangulares podem estar ligados a um mesmo ponto, orientados arbitrariamente, tornando a definição de contornos regulares e concêntricos utilizando a matriz de conectividade virtualmente impossível.
Elementos de integração reduzida usam um menor número de coordenadas Gaussianas para realizar a integração numérica das sua forças internas e rigidez. Uma aparente perde de precisão é compensada por outras vantagens, dentre elas um menor custo computacional devido à diminuição da matriz a ser integrada e menores limitações numéricas em situações de incompressibilidade do material, caso do escoamento plástico. Elementos com integração completa travam (do inglês “lock”) em situações onde o coeficiente de Poisson se aproximam de 0,5, como na plasticidade, gerando respostas extremamente rígidas, com deslocamentos tendendo a zero (Dassault Systèmes, 2013).
Por fim, a utilização de elementos biquadráticos é geralmente recomendada, exceto em casos de incompatibilidade de elementos, pois, em relação a elementos de primeira ordem, apresentam uma acurácia na solução muito maior por grau de liberdade (Dassault Systèmes, 2013).
A barra de contenção foi modelada com um elemento de treliça linear com dois nós, suportando apenas cargas axiais. O nome de referência no Abaqus CAE® é o T2D2.
Figura 4.18 – Diferentes tipos de malhas utilizados na placa