Sıralı Kümeler, Latisler, Yarılatisler

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER

2.2 Sıralı Kümeler, Latisler, Yarılatisler

x x xcx ycx ycy y    y

şeklindedir. Ayrıca  örtendir. Çünkü, her



ac cb,



 L R için,



  

( , )ac cb  abc cab,  ab 

şeklindedir. Son olarak  bir homomorfizmadir. Her x y S,  için,



 



   

( )xy   xyc cxy,  xc cy,  xcyc cxcy,  xc cx yc cy, ,  x y

elde edilir.



34



L sol sıfır yarıgrup ve R sağ sıfır yarıgrup olmak üzere S L R  olsun. O zaman

   

a b c d, , , S gibi iki elemanın çarpımı,

   

a b c d, ,  ac bd,

 

 a d,



(2.3) şeklinde verilir. Burada A L ve B R alınırsa istenen elde edilir.



4 1



S A B  ve bu yarıgrup üzerindeki çarpım,

   

a b c d, ,  a d,



şeklinde verilsin. O zaman her a

 

x y, _, b

 

z t, S _için,

        

, , , , , ,

aba x y z t x y  x t x y  x y a (2.4) şeklinde olur. Böylece S yarıgrubu dikdörtgensel band olur.

Not 2.1.31 [20] Tanım 2.1.28 de verilen “dikdörtgensel band” tanımındaki “dikdörtgensel” kelimesi Teorem 2.1.30 un (4) ifadesinden gelmektedir. (4)’de



a b a b ve1, 1



2, 2





a b a b çarpımları ile bu noktalar şekil 2.1 deki gibi bir2, 2



1, 1



dikdörtgenin köşelerini oluştururlar.

Tanımdaki “band” kelimesi ise genellikle idempotent elemanları içeren bir yarıgrup için kullanılmaktadır.

Şekil 2.1 : Dikdörtgensel Band.

Örnek 2.1.32 [21] S 



a b c d, , ,



elemanlarından oluşan bir yarıgrup olsun. Bu yarıgrup üzerindeki ikili işlem şekildeki gibi olsun. O zaman S yarıgrubundaki her eleman idempotent olup Teorem 2.1.30’a göre bir dikdörtgensel band olur.

a b c d

a a b a b

b a b a b

c c d c d

d c d c d



2.2 Sıralı Kümeler, Latisler ve Yarılatisler

Tanım 2.2.1 [ 17] X bir küme ve w ise X üzerinde herhangibi bir bağıntı olsun.

w bağıntısı yansımalı, ters simetrik ve geçişmeli ise w bağıntısına X üzerinde bir kısmi sıralama bağıntısı denir. x y X,  elemanları wsıralama bağıntısına göre bağlı iseler

 

x y, w, x_w y veya x y gösterimlerinden biri kullanılabilir.X kümesine

w sıralama bağıntısı ile kısmi sıralı küme denir ve



X,



ile gösterilir.

Yukarıdaki özelliklere ek olarak her x y X,  için xw y ise, w bağıntısına X

üzerinde bir tam sıralama bağıntısı, X kümesine ise tam sıralı küme veya zincir denir.

Tanım 2.2.2 [17] X sıralı bir küme ve Y  Xolsun. Bir a Y için,



 y Y y a



  y a _(2.5) oluyorsa, a elemanına Y kümesinin minimal elemanı denir. Ayrıca bir b Y için,



 y Y b y



 _(2.6)

oluyorsa, b elemanına Y kümesinin minimum elemanı denir.

Herhangi kısmi sıralı bir kümede her minimum eleman minimaldir ama tersi doğru değildir. Tersinin doğru olması için kümenin tam sıralı olması gerekir.

Tanım 2.2.3 [17]



X,



kümesi kısmi sıralı bir küme olsun. X kümesinin boş olmayan her alt kümesinin bir minimal elemanı varsa X kümesine minimallik koşulunu sağlıyor denir. X kümesi tam sıralı ve minimallik koşulunu sağlıyor ise

X kümesine iyi sıralı küme denir.

Benzer şekilde maksimum eleman, maksimal eleman ve maksimallik koşulu tanımı da yapılabilir.

Tanım 2.2.4 [14]



X,



kısmi sıralı bir küme,   Y X ve c X olsun.  y Y için c y ise c elemanına Ykümesinin bir alt sınırı denir. Y’nin alt sınırlarının kümesinin d gibi bir maksimum elemanı varsa d elemanına Ykümesinin en büyük alt sınırı denir ve





d   y y Y _(2.7)

Örnek 2.2.5 [22] Reel sayılar kümesi bilinen ” küçük eşit” bağıntısına göre tam sıralıdır. Fakat iyi sıralı değildir.

 

0,1 R kümesi

 

0,1   olduğu halde minimumu yoktur. Benzer şekilde tamsayılar kümesi de tam sıralı fakat iyi sıralı değildir. Çünkü tamsayılar kümesinin kendisinin minimumu yoktur.

Örnek 2.2.6 [22] Doğal sayılar kümesi iyi sıralıdır. Ayrıca bir



X,



kümesi iyi sıralı ise onun her alt kümesi de iyi sıralıdır.

Örnek 2.2.7 [22] E bir küme, X P E

 

olsun. Bu takdirde içerme bağıntısına göre



X,



kısmi sıralı bir kümedir. İçerme bağıntısı her küme kendisinin alt kümesi olduğundan yansıyan, A B B A    A B olduğundan ters simetrik ve farklı iki

ave b elemanlarına sahip olsun. A

 

a _, B

 

b _{olarak alırsak} A B ve B A olduğundan



P E C tam sıralı değildir. Yani,

 



E kümesinin iki yada daha fazla elemanı varsa



P E C de karşılaştırılamayan elemanlar vardır. Ayrıca

 





P E C

 



tam sıralıdır  E 1, E N olsun. N sonsuz elemanlı olduğundan



P N C tam

 



sıralı değildir. Fakat burada bir zincir örneği verebiliriz.

 









0 , 1 1 , 2 1,2 , 3 1,2,3 ,..., n 1,2,...,

A   A  A  A  A  n olsun. F 



A n N_n 



olarak alırsak A_n  A_m  n m olduğundan F,



P N C ’nin bir zinciridir.

 



Önerme 2.2.8 [14] X kısmi sıralı bir küme ve   Y X olsun.

(i) Y, en fazla bir tane minimum elemana sahiptir

(ii) Y, tam sıralı ise minimal ve minimum terimleri birbirine eşittir. Tanım 2.2.9 [14]



X,



kısmi sıralı bir küme ve a b X,  için a b mevcut ise,



X,



kümesine bir alt yarılatis denir. Ayrıca X kümesinin boştan farklı her Y

alt kümesi için 



y y Y: 



mevcut ise o zaman



X,



kümesine tam alt yarılatis denir.

Benzer şekilde üst yarılatis ve tam üst yarılatis tanımlanabilir.

Tanım 2.2.10 [14]



X,



kısmi sıralı bir küme olsun.



X,



hem ( tam) alt yarılatis hem de üst yarılatis ise o zaman



X,



kümesine (tam) latis denir.

Önerme 2.2.11 [17]



E,



bir alt yarılatis olsun. O zaman



E,



kümesi tüm elemanları idempotentler olan değişmeli bir yarıgruptur. Ayrıca a b E,  _{olmak üzere,}

a b olması için gerek ve yeter koşul a b a  olmasıdır.

Tersine

 

E, idempotentlerden oluşan değişmeli bir yarıgrup olsun. E üzerinde her ,

a b E için a b   a b a olacak şekilde  bağıntısını tanımlayalım. O zaman



E,



bir alt yarılatis olup her a b E,  için a b a b   şeklindedir.

İspat:

  

i ,E 



bir alt yarıtalis olsun. O zaman her a b c E, ,  için



a b c d  



1 ve a b c 





d2olsun. Buradan d1



a b



ve d c1 şeklindedir. Böylece d1a,

d b , d c1 elde edilir. Buradan da d1a ve d1



b c



ve dolayısıyla





1 2

d   a b c d elde edilir. Yani d1 d2 şeklindedir. Benzer şekilde d2 d1 elde edilir. Böylece d1 d2 olup



E,



bir yarıgruptur. Her ,a b E için a a a  ve a b b a   olduğundan



E,



idempotentlerden oluşan değişmeli bir yarıgruptur. Her ,a b E için a b ise a b a  olduğu aşikardır. Tersine,

a b a  olsun. O zaman a a ve a b olup a b şeklindedir.

   

ii ,E  idempotentlerin oluşturduğu değişmeli bir yarıgrup olsun. a b c E, ,  olsun. _a2 __a _olup _{a a}_ _{dır. Yani} _ _{bağıntısı yansımalıdır. Şimdi} _{a b}_ _ve _{b a}_ olsun. O zaman a b a  ve b a b  olur. E değişmeli olduğundan a b b a   olup bu ise a b olduğunu gösterir. Yani  bağıntısı ters simetriktir. Son olarak a b ve

b a olsun. O zaman a b a  ve b c b  olup





 

a c  a b c a b c       a b a (2.8) şeklindedir. Buradan a c olup  bağıntısı geçişmelidir. Böylece  bağıntısı bir kısmi sıralama bağıntısıdır. Şimdi a b E,  olsun. O zaman



_{a b a a b a}_{    }







_{   }_{a a b}





_{a b a b}2_{     }_{a b a}

(2.9)



_{a b b a b b}_{      }



 

_{a b}2 _{    }_{a b} _{a b b}

(2.10) olur. Yani a b hem a için hem de b için bir alt sınırdır. c E , a ile b için başka

16 Buradan,

   

 









2 2

c c              c a c b c a c b c a b c a b (2.11) olup c a b  elde edilir. Böylece a b a b   olur.

Belgede Çift devirsel ve çift basit yarı gruplar (sayfa 33-38)