2. TEKLİF ÇAĞRISINA İLİŞKİN KURALLAR
2.6. Sözleşme İmzalanması ve Uygulama Koşulları
Um software indicado para auxiliar a aprendizagem dos principais conceitos teóricos do cálculo é o Derive que diferencia e integra simbolicamente, calcula limites e integrais definidas. Gráficos bidimensionais e tridimensionais são traçados com o comando Plot. O Derive calcula constantes matemáticas importantes com qualquer grau de precisão.
O reconhecimento do valor da Informática no ensino vem sendo comprovado dia após dia. Pesquisas recentes têm mostrado a relevância do computador como uma ferramenta para a aprendizagem de conceitos de funções, como observa Rego (2000, p.76):
“As principais vantagens dos recursos tecnológicos, em particular o uso de computadores, para o desenvolvimento do conceito de funções seriam, além do impacto positivo na motivação dos alunos, sua eficiência como ferramenta de manipulação simbólica, no traçado de gráficos e como instrumento facilitador nas tarefas de resolução de problemas. A utilização de computadores no ensino provocaria, a médio e longo prazo, mudanças curriculares e de atitude profundas uma vez que, com o uso da tecnologia, os professores tenderiam a se concentrar mais nas idéias e conceitos e menos nos algoritmos”.
Além disso, como mostrou Castro-Filho (2001b), software de simulação ou sensores acoplados a computadores têm auxiliado bastante no desenvolvimento do conceito de taxa de variação e função. O autor realizou pesquisa em uma escola de Ensino Médio em Austin, nos Estados Unidos, na qual foram utilizados o “Diagrama Interativo Conta
Bancária” e um sensor de movimento. A investigação foi concentrada nos resultados relativos a quatro dos professores da escola. Os resultados também sugeriram como o currículo escolar em geral limita o desenvolvimento conceitual dos alunos e professores, circunscrevendo o ensino de funções somente a uma gama limitada de gráficos e de situações (funções do 1.º grau, quadráticas etc.). Estes assuntos são estudados de maneira isolada, sem relação com a taxa de variação.
Na disciplina de Cálculo, é extremamente importante que o aluno adote uma visão variacional - considerar na função a relação que existe entre a variação de x1 a x2 e a variação
de f(x1) a f(x2) - para analisar subconceitos de derivada e valores extremos. Com esta e outras
preocupações o EDC – Educational Development Center - desenvolveu o software
DynaGraph.
O Function Probe é um software educacional voltado para o estudo da Álgebra moderna, Trigonometria e conteúdos básicos da disciplina Cálculo Diferencial e Integral. Foi desenvolvido pela Universidade de Cornell, também nos Estados Unidos. Possui um pacote multi-representacional que contém três ferramentas integradas: um gráfico, uma tabela e uma calculadora. Cada ferramenta é independente e exibida através de sua própria interface. Todavia, pode-se enviar uma informação de uma ferramenta para outra. Assim, por exemplo, ao trabalhar com a função y = 2x na ferramenta tabela, à medida que o aprendiz vai atribuindo valores à variável independente x, localizados na primeira coluna, o programa vai calculando os valores correspondentes da variável dependente y. Acionado o comando Send/Ponts to
Figura 3.1 – Ferramenta Tabela do Software Educacional Function Probe.
Figura 3.2 - Ferramenta Gráfico do Software Educacional Function Probe.
A idéia de fazer o intercâmbio entre as representações é um meio que permite aos alunos trabalharem com as múltiplas representações quando estão resolvendo uma situação- problema. Mediado por ele, podem-se explorar situações didáticas envolvendo funções e modelagens matemáticas. Um dos seus recursos consiste em mudar dinamicamente um gráfico e perceber os seus efeitos na equação da função.
Utilizando duas adaptações do DynaGraph: DynaGraph Paralelo e DynaGraph
Cartesiano e Function Probe, Ferreira (1998) realizou uma pesquisa com quatro pares de
estudantes brasileiros da 2ª série do Ensino Médio. Para investigação de alguns subconceitos de função, foram selecionados: conjunto imagem, periodicidade, variação, vértice e simetria axial. A pesquisadora aponta que os software utilizados juntamente com as atividades elaboradas em torno deles encorajaram os alunos a desenvolverem percepções, generalizações e conexões com os subconceitos estudados.
Estes estudos mostram como o software educativo, usado como ferramenta interativa, pode suprir as dificuldades de aprendizagem e permitir ao aluno do Ensino Médio, uma maior participação no seu processo de desenvolvimento conceitual matemático. Todavia, como se sabe, a introdução do computador no ensino por si só, não provoca o questionamento dos modelos tradicionais do ensino e aprendizagem. Em muitos casos, pode até afastar professor e aluno de questões básicas sobre a concepção da natureza da aprendizagem e da formação de conceitos, conforme analisa Carraher (1992).
Atualmente, no Ensino Médio, o estudo de funções é voltado essencialmente para Álgebra, ou seja, para a expressão analítica de uma função. Os alunos pouco estudam as representações gráficas ou tabulares das funções matemáticas. Acreditamos que o motivo maior de enfocar mais aquela representação se deve ainda à ênfase no raciocínio algorítmico, praticando a seqüência técnica (algoritmo)/prática (exercícios) objetivando a aprovação no vestibular. Além disso, como argumentam Borba e Penteado (2001, p. 29) “[...] tal destaque muitas vezes está ligado à própria mídia utilizada. Sabemos que é difícil a geração de diversos gráficos num ambiente em que predomina o uso de lápis e papel e, então, faz sentido que não se dê muita ênfase a esse tipo de representação”.
A construção de gráficos de funções em sala de aula, utilizando mídias tradicionais (lousa, lápis, papel quadriculado etc.) pode demandar grande volume de cálculos desnecessários para se construir tabelas de pares ordenados. Para reverter esse quadro, em contextos de ensino e aprendizagem de funções, podemos usar a tecnologia gráfica. Outra vantagem desse instrumental de aprendizagem seria trabalhar com famílias de funções não usuais.
Todavia, ao visualizar os gráficos dessas funções, mostrados na tela do computador, podemos ter erros de interpretação e concepções falsas. De fato, dependendo da escala utilizada nesses ambientes, o gráfico da função seno poderá ser apresentado como uma reta (ABRAHÃO; PALIS, 2004).
Tendo essas considerações em mente, as autoras realizaram uma pesquisa junto a quatro professores regentes na 1.º série do Ensino Médio, cujo objetivo geral era de discutir como esses professores interpretam alguns gráficos não usuais de funções produzidas em computadores e calculadoras gráficas.
A análise das concepções dos professores ao se depararem com gráficos não usuais, obtidos em calculadoras e computadores, mostra dentre outras, suas dificuldades em conciliar seus conhecimentos teóricos com a visualização gráfica.
Assim, por exemplo, um dos professores, ao visualizar uma janela na qual o gráfico da função cúbica tinha aspecto parabólico, entendeu esse gráfico local como sendo o gráfico completo da função cúbica. A exposição desse gráfico, dentro de um intervalo, parecia-lhe de uma função quadrática. Nesse sentido, o curso de seu raciocínio foi aplicar propriedades relativas às funções quadráticas. Mesmo alertado para o fato que a função era polinomial do terceiro grau ele insistiu em calcular o vértice
2a b - x e 4a - yv = ∆ v = . Segundo
Hector (1992 apud ABRAHÃO; PALIS, 2004), esse é um problema que os alunos também encontram.
Além disso, outros resultados apontaram a dificuldade dos professores com escala. Após a visualização dos gráficos
6 25 x 3 1 - g(x) e 5 - 3x
f(x)= = + o encontro das duas
retas pareciam não ser perpendiculares. Após uma análise cuidadosa, apenas dois professores perceberam que o não perpendicularismo geométrico era um problema de escala.
utilização de diferentes escalas na representação gráfica de algumas funções pode causar desequilíbrios cognitivos no professor, levando-o a rever e reavaliar seus conhecimentos.
Borba (1999) realizou um estudo com alunos da disciplina de Matemática Aplicada do primeiro ano do curso de graduação em Biologia. Esses alunos foram divididos em grupos de três alunos. O enfoque da pesquisa era coordenar a representação gráfica com a algébrica. Cada grupo fazia experimentações, utilizando a calculadora gráfica e o software FUN39 (BORBA; JANUZZI, 1998). Uma das tarefas consistia em relacionar o deslocamento do gráfico com a mudança nos coeficientes a e b das funções quadráticas da forma y = ax2 +
bx +c. Após várias tentativas, os alunos elaboraram várias conjecturas que foram debatidas pelos colegas e o professor.
Uma delas, levantadas pelo grupo, afirmava que o gráfico da função quadrática com b > 0 interceptava o eixo y com sua parte crescente. Por outro lado, se b < 0 a interseção com o eixo vertical se daria com sua parte decrescente.
O próprio autor observa que a hipótese levantada por este grupo estava correta visto que a análise do sinal da abscissa do vértice
2a b -
xv = nas quatro possíveis combinações (a>0 e b< 0, a > 0 e b >0, a<0 e b < 0, a > 0 e b > 0), nos fornece a posição do vértice da parábola em relação ao eixo vertical y. Em particular, se f(x) = x2 + 3x +1, a concavidade da parábola estará voltada para cima, a abscissa do vértice será negativo e o eixo de simetria da parábola estará voltado à esquerda do eixo vertical y. Por conseguinte, o ponto de encontro da parábola e o eixo vertical pertencerá ao intervalo de crescimento.
Essa pesquisa ilustra a potencialidade de uma aula baseada em experimentação e na coordenação das múltiplas representações de um conteúdo matemático. Geralmente, nas aulas tradicionais de Matemática, o estudo de funções é transmitido pelo professor através da exposição oral da teoria, seguida de exemplos e exercícios. No nosso exemplo, os alunos foram incentivados a investigar, a fazer experimentações antes de conhecerem uma sistematização de funções quadráticas. Os resultados se mostraram satisfatórios na medida em
39 Software para o estudo de funções,criado, por Marcelo de Carvalho Borba e Glauter Jannuzzi, o qual até
que puderam descobrir uma importante propriedade desse assunto.
Além disso, Meira (1993, p.64) afirma “[...] o estudo de funções pode gerar atividades com múltiplos sistemas de representação (tabelas, gráficos, diagramas e equações), cujo domínio é uma condição importante para o desenvolvimento do pensamento matemático” (MEIRA, 1993, p.64).