Riemann Submersiyonları

Bu kısımda submersiyon, Riemann submersiyon tanımları verilecektir. Bu tanımlar ve bazı geometrik kavramlar kullanılarak e˘grilikler incelenecektir.

Tanım 2.3.1. (M, g) ve (N, h) sırasıyla m ve n boyutlu Riemann manifoldları olmak ¨uzere

π : (M, g) −→ (N, h) bir ¨orten C^∞d¨on¨us¸¨um¨u ic¸in

rankdπx= boyN

oluyorsa π ye x ∈ M noktasında bir submersiyon denir[4, 8].

Herhangi bir x ∈ N ic¸in F_x= π⁻¹(x) ¨uzerindeki lif, (M, g) manifoldunun r = (m − n)-boyutlu bir altmanifoldudur. π⁻¹(x) altmanifoldlarına submersiyonun lifleri denir[8].

Tanım 2.3.2. (M, g) ve (N, h) Riemann manifoldları ve

π : (M, g) −→ (N, h) bir C^∞d¨on¨us¸¨um olsun. x ∈ M ic¸in

V

x=

V

x(π) = c¸ekdπx= {X ∈ T_xM|dπx(X ) = 0} ⊂ T_xM ve

H

x=

H

x(π) =

V

x^⊥⊂ T_xM

olarak tanımlayalım.

V

x uzayına π d¨on¨us¸¨um¨un¨un x noktasındaki dikey uzayı denir.

M deki g metri˘gine g¨ore

V

x dikey uzayının dik t¨umleyeni olan

H

x uzayına ise π d¨on¨us¸¨um¨un¨un x noktasındaki yatay uzayı denir[8, 9].

B¨oylece, M Riemann manifoldu x ∈ M de

T_xM=

V

x⊕

H

x=

V

x⊕

V

x^⊥

ortogonal ayrıs¸ımına sahiptir.

Tanım 2.3.3. M ¨uzerindeki bir X vekt¨or alanı yatay distrib¨usyona aitse X vekt¨or alanına yatay vekt¨or alanı denir ve yatay vekt¨or alanlarının k¨umesi ΓT M^H g¨osterilir[8].

Tanım 2.3.4. M ¨uzerindeki bir X vekt¨or alanı dikey distrib¨usyona aitse X vekt¨or alanına dikey vekt¨or alanı denir ve dikey vekt¨or alanlarının k¨umesi ΓT M^V ile g¨osterilir[8].

Herhangi bir E ∈ ΓT M vekt¨or alanı ic¸in, E nin dikey ve yatay biles¸enleri sırasıyla vE ve hE ile g¨osterilir[8].

Tanım 2.3.5. (M, g) bir Riemann manifoldu olsun. Bu durumda, M ¨uzerinde izd¨us¸¨ur¨ulebilir vekt¨or alanlarının uzayı ΓT M^C ile g¨osterilir. Yani ΓT M^C uzayının her el-emanı M ¨uzerinde bir vekt¨or alanıdır ¨oyleki N ¨uzerindeki bir vekt¨or alanına π-ba˘glıdır[8].

Tanım 2.3.6. M ve N Riemann manifoldları olsunlar. E˘ger X yatay ve N ¨uzerindeki X⁰ vekt¨or alanına π-ba˘glı ise M ¨uzerindeki X vekt¨or alanına temel(basic) vekt¨or alanı denir[8].

Temel vekt¨or alanlarının uzayı

ΓT M^B = ΓT M^C∩ ΓT M^H dır.

Tanım 2.3.7. (M, g) ve (N, h) Riemann manifoldları ve π : (M, g) −→ (N, h) bir C^∞d¨on¨us¸¨um olsun. Her x ∈ M ve Ux,V_x∈ T_xMic¸in

g(U_x,V_x) = h(π∗(U_x), π∗(V_x)) oluyorsa π d¨on¨us¸¨um¨une M den N ye bir izometri denir[8, 9].

Tanım 2.3.8. (M, g) ve (N, h) Riemann manifoldları olsun.

π : (M, g) −→ (N, h)

bir C^∞submersiyonu as¸a˘gıdaki s¸artı sa˘glıyorsa π d¨on¨us¸¨um¨une bir Riemann submersiyonu denir:

Her p ∈ M noktasında π∗p d¨on¨us¸¨um¨u yatay vekt¨orlerin uzunlu˘gunu korur. Yani g_p(u, v) = h_{π( p)}(π∗pu, π∗pv), u, v ∈

H

p, p ∈ M

dir[4, 8].

Onerme 2.3.1. (M, g) ve (N, h) Riemann manifoldları,¨

π : (M, g) −→ (N, h)

bir Riemann submersiyonu, ∇ ve ∇⁰ sırasıyla M ve N nin Levi-Civita konneksiyonları olsun. M ¨uzerindeki X ,Y temel vekt¨or alanları X⁰,Y⁰vekt¨or alanlarına π-ba˘glı olsun. Bu durumda

(1) g(X ,Y ) = h(X⁰,Y⁰) ◦ π

(2) h[X ,Y ] temel vekt¨or alanı [X⁰,Y⁰] vekt¨or alanına π-ba˘glıdır.

(3) h(∇_XY) temel vekt¨or alanı ∇⁰_X0Y⁰vekt¨or alanına π-ba˘glıdır.

(4) Herhangi bir V ∈ ΓT M^V ic¸in[X ,V ] dikey vekt¨or alanıdır[8].

Riemann submersiyonları ic¸in B. O’Neill tarafından tanımlanan temel tens¨orler tanıtılacaktır.

Tanım 2.3.9. (M, g) ve (N, h) Riemann manifoldları ve

π : (M, g) −→ (N, h)

bir Riemann submersiyonu olsun. Bu durumda (1, 2) mertebeli T temel tens¨or alanı E, F ∈ ΓT M olmak ¨uzere

T(E, F) = T_EF= h∇vEvF+ v∇vEhF ile tanımlanır[1, 8].

T temel tens¨or alanı as¸a˘gıdaki ¨ozellikleri sa˘glar:

(i) E, F ∈ ΓT M ic¸in T_E anti-simetrik ve lineer operat¨ord¨ur. Yani g(T_EF, G) = −g(T_EG, F) dir.

(ii) E ∈ ΓT M ic¸in T_E yatay ve dikey altuzayların rollerini de˘gis¸tirir.

(iii) T dikey tens¨or alanıdır. Yani E ∈ ΓT M ic¸in T_E = T_vE dir.

(iv) T dikey tens¨or alanı simetriktir. Yani V,W ∈ ΓT M^V ic¸in TVW = T_WV dir[1, 8].

Tanım 2.3.10. (M, g) ve (N, h) Riemann manifoldları ve π : (M, g) −→ (N, h)

bir Riemann submersiyonu olsun. Bu durumda (1, 2) mertebeli A temel tens¨or alanı E, F ∈ ΓT M olmak ¨uzere

A(E, F) = A_EF = v∇hEhF+ h∇hEvF ile tanımlanır[1, 8].

Atemel tens¨or alanı as¸a˘gıdaki ¨ozellikleri sa˘glar:

(i) E, F ∈ ΓT M ic¸in A_E anti-simetrik ve lineer operat¨ord¨ur.Yani g(A_EF, G) = −g(A_EG, F) dir.

(ii) E ∈ ΓT M ic¸in A_E yatay ve dikey altuzayların rollerini de˘gis¸tirir.

(iii) A yatay tens¨or alanıdır. Yani E ∈ ΓT M ic¸in A_E = A_hE dir.

(iv) A yatay tens¨or alanı alterneleyendir. Yani X ,Y ∈ ΓT M^H ic¸in A_XY = −A_YX dir[1, 8].

Onerme 2.3.2. (M, g) ve (N, h) Riemann manifoldları ve¨

π : (M, g) −→ (N, h) bir Riemann submersiyonu olsun. X,Y ∈ ΓT M^H ic¸in

A_XY =1

2v[X ,Y ] dir[8].

Aksi belirtilmedikc¸e liflerin geometrik ¨ozelliklerini ˆ sembol¨u ile g¨osterece˘giz.

Lemma 2.3.1. (M, g) ve (N, h) Riemann manifoldları ve

π : (M, g) −→ (N, h)

bir Riemann submersiyonu olmak ¨uzere X ,Y ∈ ΓT M^H ve V,W ∈ ΓT M^V ic¸in (1) ∇_VW = T_VW+ ˆ∇_VW ,

(2) ∇_VX = h∇VX+ T_VX , (3) ∇_XV = A_XV+ v∇XV , (4) ∇_XY = h∇XY+ A_XY dir[8].

Teorem 2.3.1. (M, g) ve (N, h) Riemann manifoldları ve

π : (M, g) −→ (N, h)

bir Riemann submersiyonu ve (M, g) ¨uzerindeki yatay distrib¨usyon

H

olsun. Bu du-rumda

H

yatay distrib¨usyonunun integrallenebilir olması ic¸in gerek ve yeter s¸art A =0 olmasıdır[8].

Tanım 2.3.11. (M, g) ve (N, h) Riemann manifoldları ve

π : (M, g) −→ (N, h)

bir Riemann submersiyonu olsun. (M, g) Riemann manifoldunun dikey distrib¨usyonu

V

ve yatay distrib¨usyonu

H

¨uzerine olan projeksiyonlar v ve h olmak ¨uzere E, F ∈ ΓT M ic¸in

∇¯EF= v(∇EvF) + h(∇EhF) ile tanımlı konneksiyona Schouten konneksiyonu denir[4, 8].

Lemma 2.3.2. (M, g) ve (N, h) Riemann manifoldları ve

π : (M, g) −→ (N, h)

bir Riemann submersiyonu olsun. Bu durumda her E, F ∈ ΓT M ic¸in

∇EF= ¯∇EF+ T_EF+ A_EF dir[4, 8].

Onerme 2.3.3. (M, g) ve (N, h) Riemann manifoldları ve¨

π : (M, g) −→ (N, h)

bir Riemann submersiyonu olsun. Bu durumda x ∈ N ic¸in herhangi bir π⁻¹(x) lifi

¨uzerindeki ¯∇ Schouten konneksiyonu, g metrik tens ¨or¨unden indirgenen metrik tarafından belirlenen Levi-Civita konneksiyonu ile c¸akıs¸ır[8].

T dikey tens¨or alanının ΓT M^V× ΓT M^V ye kısıtlanması herhangi bir π⁻¹(x) lifinin ikinci temel formuna kars¸ılık gelir.

Tanım 2.3.12. (M, g) ve (N, h) Riemann manifoldları ve

π : (M, g) −→ (N, h)

bir Riemann submersiyonu olsun. E˘ger T tens¨or alanı sıfır ise π d¨on¨us¸¨um¨un¨un herhangi bir π⁻¹(x) lifine M manifoldunun total geodezik altmanifoldu denir[4, 8].

S¸imdi, T ve A temel tens¨orlerinin kovaryant t¨urevlerini kullanarak manifoldlar arasındaki e˘grilikleri inceleyelim.

Tanım 2.3.13. (M, g) bir Riemann manifoldu ve E, F, H ∈ ΓT M olsun. (1, 2) mertebeli Ave T tens¨or alanlarının kovaryant t¨urevleri

(∇_EA)_FH= (∇_EA)(F, H) = ∇_E(A_FH) − A_∇EF(H) − A_F(∇_EH) ve

(∇ET)_FH= (∇ET)(F, H) = ∇E(T_FH) − T_∇EF(H) − T_F(∇EH) ile tanımlanır[4].

Lemma 2.3.3. (M, g) ve (N, h) Riemann manifoldları ve

π : (M, g) −→ (N, h)

bir Riemann submersiyonu olsun. Bu durumda X,Y ∈ ΓT M^H ve V,W ∈ ΓT M^V ic¸in (1) (∇_VA)_W = −A_TVW,

(2) (∇_XT)_Y = −T_AXY, (3) (∇_XA)_W = −A_AXW, (4) (∇_VT)_Y = −T_TVY, dir[4].

Lemma 2.3.4. (M, g) ve (N, h) Riemann manifoldları ve π : (M, g) −→ (N, h)

bir Riemann submersiyonu olsun. Bu durumda(1, 1) mertebeli ∇A ve ∇T temel tens¨orleri ve X,Y ∈ ΓT M^H, U,V,W ∈ ΓT M^V ic¸in

(1) g((∇_UA)_XV,W ) = g(T_UV, A_XW) − g(T_UW, A_XV), (2) ∇T simetriktir. Yani g((∇_ET)_VW, X ) = g((∇ET)_WV, X ), (3) ∇A anti-simetriktir. Yani g((∇_EA)_XY,V ) = −g((∇EA)_YX,V ) dir[4].

Onerme 2.3.4. (M, g) ve (N, h) Riemann manifoldları ve¨

π : (M, g) −→ (N, h) bir Riemann submersiyonu olmak ¨uzere

(1) A yatay tens¨or alanı paralel ise A = 0 , (2) T dikey tens¨or alanı paralel ise T = 0 dır[8].

Paralel A tens¨or alanına sahip bir Riemann submersiyonda yatay distrib¨usyon in-tegrallenebilir ve paralel T tens¨or alanına sahip bir Riemann submersiyonunda ise lifler total geodezik olur.

Tanım 2.3.14. (M, g) ve (N, h) Riemann manifoldları ve (M, g) manifoldunun yatay distrib¨usyonu

H

olsun. ΓT M^H ¨uzerinde (1, 3) mertebeli e˘grilik tens¨or alanını R^∗ ile g¨osterelim. Herhangi X ,Y, Z ∈ ΓT M^H ve p ∈ M ic¸in

R⁰

π( p)(π∗pX_p, π∗pY_p, π∗pZ_p)

tens¨or¨un¨un yatay lifti R^∗(X ,Y, Z) ile ifade edilir. (N, h) manifoldunun R⁰ Riemann e˘grili˘gi;

π_∗(R^∗(X ,Y, Z)) = R⁰(π∗X, π∗Y, π∗Z) ile tanımlanır[8].

Herhangi X ,Y, Z, H ∈ ΓT M^H ic¸in

R^∗(X ,Y, Z, H) = g(R^∗(X ,Y, Z), H)

= R⁰(π∗X, π∗Y, π∗Z, π∗H) ◦ π

dir. x ∈ N ic¸in herhangi bir (π⁻¹(x), ˆg_x) lifinin Riemann e˘grili˘gini ˆRile g¨osterelim.

Teorem 2.3.2. (M, g) ve (N, h) Riemann manifoldları

π : (M, g) −→ (N, h)

bir Riemann submersiyonu ve R,R⁰, ˆR sırasıyla M,N ve(π⁻¹(x), ˆg_x) lifinin Riemann e˘grilik tens¨orleri olsun. Bu durumda herhangi X ,Y, Z, H ∈ ΓT M^H ve U,V,W, F ∈ ΓT M^V ic¸in g(R(U,V )W, F) = g( ˆR(U,V )W, F) + g(T_UW, T_VF) − g(T_VW, T_UF),

g(R(U,V )W, X ) = g((∇UT)_VW, X ) − g((∇VT)_UW, X ),

g(R(X ,Y )Z,V ) = −g((∇_ZA)_XY,V ) − g(A_XY, T_VZ) + g(A_YZ, T_VX) − g(A_XZ, T_VY), g(R(X ,Y )V,W ) = g((∇VA)_XY,W ) − g((∇WA)_XY,V ) + g(A_XV, A_YW) − g(A_XW, A_YV)

− g(T_VX, T_WY) + g(T_WX, T_VY),

g(R(X ,V )Y,W ) = g((∇XT)_VW,Y ) + g((∇VA)_XY,W ) − g(T_VX, T_WY) + g(A_XV, A_YW)

dir [1, 4, 8].

Teorem 2.3.3. (M, g) ve (N, h) Riemann manifoldları

π : (M, g) −→ (N, h)

bir Riemann submersiyonu ve K,K⁰, ˆK sırasıyla M,N ve(π⁻¹(x), ˆg_x) lifinin kesit e˘grilikleri olsun. X,Y ortonormal yatay vekt¨orler ve U,V ortonormal dikey vekt¨orler olmak ¨uzere

K(U,V ) = K(U,V ) + kTˆ _UVk²− g(T_UU, T_VV), K(X ,Y ) = K⁰(X⁰,Y⁰) ◦ π − 3kA_XYk²,

K(X ,V ) = g((∇XT)_VV, X ) − kT_VXk²+ kA_XVk² dir[1, 8].

Tanım 2.3.15. (M, g) bir Riemann manifoldu olsun. ∀X_i ∈ ΓT M^H ve ∀U_j ∈ ΓT M^V olmak ¨uzere (M, g) ¨uzerindeki bir {X_i,U_j}1≤i≤n,1≤ j≤rlokal ortonormal c¸atıya π-uyumlu c¸atı denir[8].

Lemma 2.3.5. (M, g) ve (N, h) Riemann manifoldları

π : (M, g) −→ (N, h)

bir Riemann submersiyonu, X,Y yatay vekt¨or alanları ve U,V dikey vekt¨or alanları olsun.

(M, g) ¨uzerindeki {X_i,U_j}1≤i≤n,1≤ j≤rbir π-uyumlu c¸atı olmak ¨uzere (1) ∑ⁿ_i=1g(T_UX_i, T_VX_i) = ∑^r_j=1g(T_UU_j, T_VU_j)

(2) ∑ⁿ_i=1g(A_XX_i, A_YX_i) = ∑^r_j=1g(A_XU_j, A_YU_j) (3) ∑ⁿ_i=1g(A_XX_i, T_UX_i) = ∑^r_j=1g(A_XU_j, T_UU_j) dır[8].

Tanım 2.3.16. (M, g) bir Riemann manifoldu ve

V

dikey distrib¨usyonun bir lokal ortonormal c¸atısı {U_j}_{1≤ j≤r} olsun. (M, g) ¨uzerindeki N yatay vekt¨or alanı lokal olarak

N=

r

∑

j=1

T_UjU_j

ile tanımlanır[8].

Tanım 2.3.17. (M^m, g) ve (Nⁿ, h) Riemann manifoldları

π : (M^m, g) −→ (Nⁿ, h)

bir Riemann submersiyonu olmak ¨uzere r = (m − n)-boyutlu herhangi bir lifin ortalama e˘grilik vekt¨or alanı

H= 1

riz(T ) =1 r

r

∑

j=1

T_UjU_j ile tanımlanır[8].

Lemma 2.3.6. π : (M, g) −→ (N, h) bir Riemann submersiyonu ve

V

distrib¨usyonunun bir lokal ortonormal c¸atısı {U_j}_{1≤ j≤r} olsun. Bu durumda herhangi bir E ∈ ΓT M ve X ∈ ΓT M^H ic¸in

g(∇EN, X ) =

r j=1

∑

g((∇ET)_UjU_j, X ) dır[8].

Onerme 2.3.5. (M, g) ve (N, h) Riemann manifoldları¨

π : (M, g) −→ (N, h)

bir Riemann submersiyonu ve{X_i,U_j} bir π-uyumlu c¸atı olsun. Bu durumda herhangi bir X,Y ∈ ΓT M^B ve U,V ∈ ΓT M^V ic¸in ρ Ricci tens¨or¨u as¸a˘gıdaki ¨ozellikleri sa˘glar:

ρ(U,V ) = ˆρ(U,V ) − g(N, TUV)

+

∑

i

{g((∇XiT)_UV, X_i) + g(A_XiU, A_XiV)},

ρ(X ,Y ) = ρ⁰(X⁰,Y⁰) ◦ π +1

2{g(∇_XN,Y ) + g(∇_YN, X )}

Belgede T.C. İNÖNÜ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ RİEMANN MANİFOLDLARI ARASINDAKİ KONFORM DÖNÜŞÜMLER ŞENER YANAN YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI MALATYA 2012 (sayfa 16-26)