A análise de superfícies de tendência é uma técnica amplamente utilizada nas geociências, principalmente em hidrogeologia e petrologia (DAVIS, 1986). Sua aplicação principal é para estudos espaciais de delimitação de corpos mineralizados, distribuição de teores de minérios, mapeamento de contorno estrutural de camadas e profundidade de níveis potenciométricos.
Esta metodologia permite o reconhecimento do comportamento espacial de uma variável, expressando a tendência geral e ressaltando flutuações locais ou valores anômalos em torno da tendência média, sendo estes, aparentemente, não-ordenados e impondo-se aos padrões gerados por grandes e sistemáticas mudanças existentes nesta área.
A Análise de Superfícies de Tendência (Trend Surface Analysis) é uma técnica matemática que procura fornecer uma superfície que melhor se adapte a um dado conjunto de observações, aos quais deseja-se correlacionar a distribuição de uma variável dependente “z t” em função das coordenadas “x i”, de sentido leste-oeste, e “y j”,
de sentido norte-sul, no caso tridimensional, pelo modelo linear geral, semelhantemente ao modelo linear simples (bidimensional), que visa o encaixe da melhor curva aos pares (xi e yj) de valores observados. A aplicação desta técnica permite a separação dos
dados mapeáveis em duas componentes: uma de caráter regional, representado pela própria superfície (de característica determinística); e outra que revela as flutuações locais, representadas pelos valores residuais (de caráter probabilístico ou estocástico) (LANDIM, 1998; LANDIM; CORSI, 2001).
Para a aplicação desta análise é aconselhável uma coleta de dados sobre uma malha regular, utilizando-se, portanto, polinômios ortogonais e possibilitando o uso do modelo da análise das séries de Fourier. Porém, geralmente não é possível a coleta de dados orientada em geociências e ciências ambientais, imprimindo-se uma malha (rede) irregular de amostragem e fazendo-se então mister a utilização de polinômios não- ortogonais, procurando-se encaixar uma superfície linear aos dados, em seguida uma quadrática e assim por diante (Fig. 30), sendo usual o emprego da regressão pelos mínimos quadrados como método para o ajuste da superfícies aos dados. O cálculo da superfície por polinômios não-ortogonais numa malha regular pode gerar artefatos que não refletem a realidade, principalmente em efeito de bordas dado pela ausência de dados.
Fig. 30: Comportamento espacial de uma variável independente condicionada por uma variável independente (curvas), duas variáveis independentes (superfícies) e três variáveis
Segundo Landim (1998), após o cálculo das superfícies e os respectivos desvios, estas são examinadas para que se verifiquem as suas implicações geológicas. Em alguns casos, como em problemas de suavização, o interesse é pelo melhor ajuste aos dados e assim procura-se pelas superfícies de mais alto grau possível. Em outros, como na detecção de anomalias e deste trabalho, o que interessa são os resíduos e, para tanto, calcula-se as superfícies de baixo grau, com os respectivos mapas de resíduos, positivos e negativos.
O modelo para a superfície de tendência geral é (KRUMBEIN; GRAYBILL, 1965 apud SUTTERLIN; HASTINGS,1986):
z0 (xi,yj) = zt (xi,yj) + eij
onde, z0 (xi,yj) é o valor observado da variável mapeada
zt (xi,yj) é o valor de tendência da variável mapeada e
eij é o resíduo
O modelo para a representação da superfície pelo método dos polinômios não ortogonais é:
zt (xi,yj) = (a0 + a1.xi + a2.yj + a3.xi2 + a4.xi.yj + a5.yj2 + ...) + eij
onde zt (xi,yj) é a variável mapeada em função das coordenadas xi e yj e eij representa os resíduos, ou seja, a fonte não sistemática de variação.
Assim, a representação de uma superfície linear é dada por:
zt (xi,yj) = (a0 + a1.xi + a2.yj) + eij A superfície quadrática é representada por:
zt (xi,yj) = (b0 + b1.xi + b2.yj + b3.xi2 + b4.xi.yj + b5.yj2) + eij
e assim por diante seguem-se as superfícies de grau superior, no mesmo processo de desenvolvimento polinomial.
Esta análise já foi aplicada em diversas áreas de conhecimento, chamando aqui a atenção para a sua aplicação em hidrogeologia. Sturaro e Landim (1988) já se utilizaram da análise de superfície de tendência em estudos espaciais sobre o nível piezométrico do aqüífero Botucatu em Ribeirão Preto. Bellenzani-Júnior, Landim e Sturaro (1990) aplicaram essa metodologia em dados hidrogeológicos de poços profundos de água subterrânea no município de Araraquara.
É usual calcular as equações polinomiais de graus sucessivamente maiores para verificar seu ajuste aos dados. Davis apud Landim (1998) sugere um teste estatístico para verificar qual a contribuição dos sucessivos coeficientes parciais de regressão e fornecer uma medida do ajustamento aos dados devido a cada um dos incrementos da equação polinomial, pela análise de variância:
Fontes de Variação SQ g.l. MQ F calculado Regressão de grau p SQP k MSP Resíduos referentes à p SQR n - k - 1 MSR MSP/MSR (1) Regressão de grau p+1 SQP1 m MSP1 Resíduos referentes à p+1 SQR1 n - m - 1 MSR1 MSP1/MSR1 (2)
Regressão devido ao incremento
de p para p+1 grau SQI=SQP1 - SQP m - k MSI MSI/MSR1
(3)
T o t a l SQT n - 1
(1)
teste de significância relativo à superfície de tendência de grau p; (2) teste de significância relativo à superfície de tendência de grau p+1; e (3) teste de significância relativo à melhoria de ajuste da superfície p+1 em comparação com a superfície p
sendo, variação total: SQT=∑yi −
[(
∑yi)
/n]
2 2
variação devido à superfície calculada: SQP=∑y*i2−
[(
∑y*i)
2/n]
variação devido aos resíduos ou desvios: SQR = SQT - SQP porcentagem de ajuste da superfície: R2 =
(SQP / SQT).100 %
n: número de observações
grau p: k coeficientes, não contando a constante a0
grau p+1: m coeficientes, não contando a constante b0
y e y*: valor da variável observado e estimado pela regressão polinomial, respectivamente
A hipótese nula (H0) é a de que a contribuição do incremento polinomial para o
ajuste aos dados é nula e a hipótese alternativa (H1) é que a contribuição do incremento
polinomial para o ajuste aos dados é significativa.
Assim, se o valor de Fcalculado for menor que F(α;ν1,ν2) crítico (tabelado), aceita-se a
hipótese nula H0, que é insignificante a diferença entre a variância das superfícies de
tendência, dessa forma, adotando a superfície de grau p (mais baixo) como suficiente. Caso contrário, rejeita-se a hipótese nula H0 e se aceita a hipótese alternativa H1, que
diz que a contribuição do incremento polinomial para o ajuste dos dados é significativa, sugerindo que se calcule a superfície para um grau polinomial maior e se verifique novamente a significância do incremento.
2.1. Comparação Quantitativa de Superfícies de Tendência
Muitas aplicações procuram ajustar superfícies de tendência a variáveis simples em uma determinada área, mas a outras interessa o ajuste a múltiplas variáveis, ou
variáveis simples medidas em diferentes áreas, sendo possível, nestas situações, a determinação quantitativa das similaridades entre as superfícies ajustadas.
Goodman (1983) propõe uma metodologia de comparação de distribuições espaciais mapeadas que pode ser estabelecida com base nas propriedades dessas superfícies, sendo dada especial atenção, no artigo citado, aos seguintes grupos:
9
9 Coeficientes de correlação produto-momento e estrutural entre valores reais e valores previstos para a superfície zi*;
9
9 Distorções entre valores zi* padronizados;
9
9 Correlação e distância taxonômica entre os coeficientes das superfícies e coeficientes da superfície ponderados pela contribuição percentual da soma de resíduos quadrado;
9
9 Comparação entre direções e mergulhos das superfícies de 1o grau; e
9
9 Correlação entre mergulhos de superfícies de 2o e 3o grau.
Aqui se pretende aplicar a análise de superfície de tendência aos valores calculados (zi) e os resíduos (ei) mapeados para prever valores a serem interpolados. Depois de determinados os coeficientes da superfície que melhor se adapte ao conjunto de dados (xi, yi e zi observado) sob estudo, obtém-se um determinado valor (zi previsto), pela aplicação das coordenadas ortogonais (posição) desejadas e os coeficientes calculados, onde não se possui o valor zi observado. A esse valor calculado pela superfície de tendência é acrescentado o resíduo, lido nesse mesmo ponto e extraído a partir do mapa de resíduos correspondente.
Esta técnica resulta num melhor preditor do que aquele que seria obtido a partir de um mapa de isovalores observados, por que a distribuição absoluta dos valores residuais (ei) e o seu desvio padrão são usualmente menores que os valores observados.
Uma aplicação é a extensão desta técnica numa situação onde se conhece melhor a configuração de uma superfície e não tão bem de uma outra, mas pretende-se compará-las entre si. Isso acontece quando se quer, e.g., determinar o volume de uma unidade estratigráfica a partir de vários poços que não chegaram a atravessá-la na totalidade, assim dispõe-se de mais informações sobre o topo da unidade do que de sua base, mas se que conhecer ambas com o mesmo grau de certeza. Nessa situação os valores residuais da superfície superior podem ser usados para prever se valores a serem estimados na superfície inferior estarão acima ou abaixo do que os valores computados, se:
configurações semelhantes; e
2) Os resíduos mapeados dessas duas superfícies apresentarem alguma correspondência.
Quando ambas situações ocorrem, uma suposição pode ser feita de que os “desvios” que ocorrem na superfície inferior devem ser reflexo dos resíduos positivos ou negativos da superfície superior.
A comparação entre os desvios residuais em pontos onde dados são disponíveis para ambas as superfícies fornecerão uma medida da probabilidade dos resíduos da superfície superior servir como preditor para a unidade inferior.
Esse trabalho tinha como uma das propostas iniciais aplicar tal metodologia, em um estudo de caráter hidrogeológico, com dados obtidos da área urbana do município de Ribeirão Preto (SP), constituindo-se de valores topográficos e valores da superfície potenciométrica/piezométrica. Dispondo-se de um número bem maior com referências aos dados topográficos (cerca de 14 mil pontos) a intenção era determinar a configuração do nível da superfície potenciométrica com maior acurácia.
Landim, Sturaro e Monteiro (1995) demonstraram a importância dos coeficientes de correlação entre os valores observados de ambas as superfícies como ferramenta que deve ser melhor explorada para a aplicação da cokrigagem, procedimento geoestatístico de maior complexidade, já que a medida que os coeficientes de correlação espacial entre as variáveis diminui, o erro associado à estimativa da variável que se estuda aumenta. Esses autores aplicaram a comparação de superfícies de tendência (GOODMAN, 1983) associada a geoestatística entres as superfícies topográfica e piezométrica de Bauru (SP), para o emprego da cokrigagem.
Para o presente estudo não foi possível o emprego dessa metodologia associada à cokrigagem (cf. LANDIM; STURARO; MONTEIRO, 1995), porque o rebaixamento da superfície potenciométrica já seria da ordem de 10 a 25 metros no final da década de 1980 (MONTENEGRO; RIGHETTO; SINELLI, 1988) e atualmente o coeficiente de correlação linear entre a superfície topográfica e da superfície potenciométrica é de 25,9%, considerada muito baixa, fornecendo variogramas cruzados sem sentido.