3 RESTAURANT SEKTÖRÜ TANITIMI
3.5 Restaurant Servis Çeşitleri
O ordenamento de dados que usamos ´e a estrutura de dados chamada de Heap (bin´ario), pois ´e um arranjo que pode ser visto como uma ´arvore bin´aria praticamente completa, ver Figura 3.3. Cada n´o da ´arvore corresponde a um elemento no arranjo que armazena um determinado valor, que em o nosso caso s˜ao os m´ınimos do conjunto Q no algoritmo de Dijkstra.
Temos que para um arranjo A que representa uma Heap, a raiz da ´arvore ´e A[1] e, sendo i o ´ındice de um determinado n´o, podemos calcular de modo simples os ´ındices de seu pai P AREN T (i), do seu filho da esquerda LEF T (i) e do seu filho da direita RIGHT (i):
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Figura 3.3: Na figura acima temos uma Heap, que ´e uma ´arvore bin´aria completa e de prioridade, pois o valor de cada n´o ´e menor ou igual que os de seus filhos. Para termos uma ´arvore bin´aria de prioridade completa ´e preciso que seus n´ıveis estejam cheios, com poss´ıvel exce¸c˜ao do ´ultimo, ao qual est´a preenchido da esquerda para a direita at´e um certo ponto.
P AREN T (i) retorne ⌊i/2⌋ LEF T (i) retorne ⌊2i⌋ RIGHT (i) retorne ⌊2i + 1⌋
Existem dois tipos de heaps bin´arios: heaps m´aximos, onde o maior elemento ´e armaze- nado na raiz, pois a propriedade de heap de m´aximo ´e que para todo n´o i diferente da raiz temos a condi¸c˜ao A[P AREN T (i)] ≥ A[i], ou seja, o valor de um n´o ´e no m´aximo o valor de seu pai; e heaps de m´ınimo, que s˜ao organizada de forma que o menor elemento da heap esteja na raiz, pois a propriedade de heap de m´ınimo ´e que, para todo n´o i diferente da raiz temos a condi¸c˜ao de que A[P AREN T (i)] ≤ A[i].
Para o nosso caso usamos um heap de m´ınimo, pois estamos interessados em calcular os m´ınimos do conjunto Q no algoritmo de Dijkstra e inseri-los em uma lista de prioridades seguindo as condi¸c˜oes de uma heap de m´ınimo. A forma de ordenamento de dados nessa estrutura ´e tal que segue as seguintes opera¸c˜oes:
Figura 3.4: Uma simples e interessante representa¸c˜ao de uma heap usando vetores. Temos que a raiz ocupar´a o primeiro elemento do vetor A[1] = 2 e seus filhos ocupam as posi¸c˜oes A[2] = 4 pois tal posi¸c˜ao ´e 2 × (´ındice do pai) e A[3] = 9 pois ´e 2 × (´ındice do pai) + 1. Assim os filhos de A[2] ocupar˜ao as posi¸c˜oes A[4] = 6 e A[5] = 5 e os filhos de A[3] ocuparam as posi¸c˜oes A[6] e A[7], que para o nosso caso s´o ser´a A[6] = 98 e A[7] = 10 .
• Inserir um elemento na estrutura heap.
• Remover o elemento de maior prioridade na heap. • Consultar o elemento de menor prioridade na heap.
Abaixo explicaremos cada uma dessas opera¸c˜oes.
3.3.1
Inserindo um elemento na heap
Para inserir um elemento na estrutura o mesmo ter´a que ser colocado na ´ultima posi¸c˜ao da heap, ou seja, a esquerda do n´umero 5. Seja tal elemento com prioridade 3, a ´arvore ficar´a com o aspecto indicado abaixo na Figura 3.5(a). Agora comparamos o valor do elemento inserido com o valor do seu pai (n´o com valor 5) com o intuito de tornar a ´arvore novamente de prioridade, logo se o elemento inserido for menor que seu pai eles trocam de posi¸c˜ao na heap. As compara¸c˜oes prosseguem at´e encontrar um pai com valor inferior ou igual. Em sequˆencia compara-se o 3 com o 5, nesse caso como o pai 5 ´e maior que o filho 3 troca-se de posi¸c˜ao, depois se compara o 3 com o 4 (pai) e troca-se de posi¸c˜ao novamente, finalmente compara-se o 3 com o 2, mas como o pai tem um valor menor terminam as compara¸c˜oes e a ´arvore final fica com o aspecto da Figura 3.5(b).
Na representa¸c˜ao atrav´es de vetor, ao colocarmos o novo elemento (n´o com valor 3) na heap, o mesmo ´e inserido no final do vetor A representado por um ´ındice i, assim comparamos
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Figura 3.5: a) Inserimos o elemento de prioridade 3 na ´ultima posi¸c˜ao da heap, ou seja, a esquerda do elemento de prioridade 5. b) Comparamos o valor do elemento inserido com o valor do seu pai (n´o com valor 5) com o intuito de tornar a ´arvore novamente de prioridade, caso o elemento inserido seja menor que seu pai eles trocam de posi¸c˜ao na heap.
o novo elemento com o elemento que est´a no ´ındice ⌊i/2⌋, que ´e o seu pai, e assim ´e comparado sucessivamente at´e encontrar um pai menor ou atingir a raiz da ´arvore.
3.3.2
Extraindo um elemento da heap
A opera¸c˜ao de extrair um m´ınimo significa remover o elemento de prioridade 2 da heap, que ´e o elemento com a menor prioridade e que est´a na raiz da ´arvore bin´aria. Assim quando removemos o elemento que est´a na raiz da ´arvore substitu´ımos o conte´udo da raiz pelo valor do ´ultimo elemento da heap e que se encontra mais a direita da mesma, ver Figura 3.3. Para o nosso exemplo a raiz ficar´a com o valor 81, logo em seguida compara-se o n´o raiz com seus
Figura 3.6: Para o nosso exemplo a raiz ficar´a com o valor 81, logo em seguida compara-se o n´o raiz com seus filhos e trocam-se os valores sucessivamente caso os filhos tenham um valor menor que o do pai at´e que se encontre a posi¸c˜ao que satisfa¸ca a prioridade da heap, ou seja, uma posi¸c˜ao em que o pai ´e menor do que qualquer um dos filhos ou at´e n˜ao ter mais elementos.
filhos e trocam-se os valores sucessivamente caso os filhos tenham um valor menor que o do pai at´e que se encontre a posi¸c˜ao que satisfa¸ca a prioridade da heap, ou seja, uma posi¸c˜ao em que o pai ´e menor do que qualquer um dos filhos ou at´e n˜ao ter mais elementos, ver Figura 3.6.
Cap´ıtulo 4
Redes de fraturas
4.1
Introdu¸c˜ao
Fraturas est˜ao presentes em v´arios campos de estudo [8], sendo um dos problemas b´asicos na engenharia civil e mecˆanica, onde tal problema relaciona-se tamb´em com a extra¸c˜ao de petr´oleo em reservat´orios subterrˆaneos e at´e mesmo com a preserva¸c˜ao de len¸c´ois fre´aticos. Para a extra¸c˜ao de qualquer tipo de fluido, por exemplo, petr´oleo ou g´as natural precisa-se que o meio ao qual o fluido est´a imerso tenha uma permeabilidade bastante alta, assim fraturas naturais ou feitas pelo homem tendem a aumentar a permeabilidade do meio, facilitando assim a extra¸c˜ao de tais fluidos [9]. desta forma a teoria de percola¸c˜ao e modelos que tratam os poros como uma rede aleat´oria podem ser empregados para tal estudo.
V´arios estudos sobre redes de fraturas em rochas heterogˆeneas relatam seu car´ater fractal [8,9], sendo que o valor da dimens˜ao fractal de uma fratura depende do comprimento de escala da observa¸c˜ao. Geralmente para um sistema basicamente bidimensional, ou seja, finas sec¸c˜oes de uma rocha fraturada s˜ao caracterizadas por Df rac≈ 1,19 para escalas de grandes
comprimentos, da ordem de quilˆometros, alguns exemplos bem conhecidos desse fato s˜ao forma¸c˜ao de montanhas de Yucca em nevada [10] e algumas forma¸c˜oes japonesas [11], j´a para escalas de pequenos comprimentos, da ordem de metros, s˜ao caracterizadas por Df rac
indo de 1,16 at´e 1,17. Para redes de fraturas tridimensionais o encontrado ´e que sua dimens˜ao fractal ´e em torno de Df rac ≈ 2,5 para grandes escalas [9].
H´a modelos baseados em percola¸c˜ao cujos resultados concordam experimentalmente com os encontrados para fraturas em pequenas e grandes escalas, como exemplo, a representa¸c˜ao de uma superf´ıcie rochosa por uma rede de liga¸c˜oes interconectadas atrav´es de molas, onde
Figura 4.1: Falha de San Andreas na California. Considerando apenas uma fratura simples, o encontrado para tal falha ´e que sua dimens˜ao fractal ´e em torno de Df rac≈ 1.15 (5) [12].
cada s´ıtio ´e ligado aos seus vizinhos por molas e identificado pelo seu vetor posi¸c˜ao [13]. A porosidade ´e inclu´ıda em tal modelo de forma que a mesma seja fun¸c˜ao da remo¸c˜ao aleat´oria ou correlacionada de uma fra¸c˜ao de molas, sendo que tais molas seguem uma lei de elasticidade linear com a seguinte peculiaridade, se ela for esticada mais do que seu valor limite, ela se quebra irreversivelmente.
4.2
Fraturas de caminhos ´otimos
A identifica¸c˜ao e caracteriza¸c˜ao do caminho ´otimo em um sistema desordenado ´e um importante problema tanto na F´ısica Te´orica como na F´ısica Computacional, sendo tamb´em um problema relevante para a ciˆencia e tecnologia devido a sua grande aplicabilidade [14-19], incluindo o estudo de pol´ımeros aleat´orios, transporte em meios porosos e at´e quando usamos o GPS (Global Positioning System) para tra¸car a melhor rota at´e o nosso destino.
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Sabemos que os caminhos ´otimos s˜ao escolhidos de forma natural com o prop´osito de que seus custos sejam o de menor energia, como ocorre por exemplo em um fluxo el´etrico ou em um fluido atrav´es de um meio aleat´orio. Tais caminhos podem ser escolhidos por dispositivos feitos pelo homem para reduzir o custo do caminho, como por exemplo no tr´afico da internet ou em um tr´afico veicular, mas uma vez que tais caminhos s˜ao largamente usados os mesmo se tornam propensos a falhas por superaquecimento, sobrecarga ou congestionamento.
Recentemente, Andrade et al. [20] introduziu um novo modelo de fraturas, chamado “optimal path crack (OPC)”, onde a fratura por caminhos ´otimos (OPC) ´e obtido por inter- rup¸c˜oes sistem´aticas do caminho ´otimo em um meio aleat´orio. Tal modelo tem o prop´osito de gerar uma falha macrosc´opica em paisagens aleat´orias e estudar a sucessiva evolu¸c˜ao dos caminhos ´otimos sob tais falhas, usando uma aplica¸c˜ao iterativa do algoritmo de Dijkstra [21]. Duas quest˜oes que naturalmente surgem sobre fraturas por caminhos ´otimos s˜ao: (i) como e quando o sistema entrar´a em colapso e (ii) como a topologia e heterogeneidade desta fratura afeta o desempenho do sistema. Abaixo explicaremos detalhadamente o Modelo de Fraturas por Caminhos ´Otimos.
4.2.1
Modelo de fraturas de caminhos ´otimos
Dada uma rede quadrada de tamanho L com condi¸c˜oes de contorno fixa (CCF) tanto na parte superior quanto na parte inferior e condi¸c˜oes de contorno peri´odicas (CCP) nas suas laterais, atribuimos a cada s´ıtio i um valor de energia ǫi > 0 dada por ǫi = exp[βD(pi−1)] [22],
onde pi ´e uma vari´avel aleat´oria uniformemente distribu´ıda no intervalo [0, 1], e βD ´e uma
parˆametro positivo, chamado parˆametro de desordem, pelo o qual introduzimos a desordem no sistema.
A energia total de qualquer caminho ´otimo no sistema ´e definida como a soma de todas as energias de seus s´ıtios, sendo que o caminho ´otimo ´e o ´unico dentre todos os caminhos da rede que apresenta uma menor soma sobre todas as energias. No limite onde todos os s´ıtios tˆem a mesma energia, o caminho ´otimo ´e uma linha reta com massa (n´umero de s´ıtios) MOP = L. Quando as energias s˜ao distribu´ıdas aleatoriamente, em geral, o caminho ´otimo
n˜ao ´e uma linha reta, sendo sua massa ´e maior ou igual a L e as sua propriedades dependem da distribui¸c˜ao de energia.
A energia dos s´ıtios da rede ´e dada pela transforma¸c˜ao ǫi = exp[βD(pi− 1)], e tal trans-
forma¸c˜ao ´e equivalente a escolher os valore de ǫi usando uma distribui¸c˜ao em lei de potˆencia
sistema controlada pelo parˆametro βD ≥ 0. No limite de βD → 0, ǫmin → ǫmax, e o OP se
aproxima de uma linha reta. Para grandes valores de βD, a distribui¸c˜ao se torna mais ampla
e estamos no regime de desordem forte.
Dada essa configura¸c˜ao da rede, o OPC ´e formado seguindo os passos mostrados a baixo: 1. Encontre o OP atrav´es da rede, ou seja, o caminho ´otimo que conecta a parte superior da rede a parte inferior. Somente s´ıtios ocupados podem fazer parte de um caminho. 2. Identifique e remova o s´ıtio mais vulner´avel no caminho ´otimo, ou seja, o s´ıtio com o
maior valor de energia.
3. Repita os passos 1 e 2 at´e n˜ao haver um caminho que conecte a parte superior a parte inferior da rede.
4. A configura¸c˜ao obtida dos s´ıtios removidos por esse algoritmo ´e o Optimal Path Crack (OPC).
Uma vez que ´e determinado o caminho que conecta as bordas superior e inferior da rede, procuramos o s´ıtio dentre todos os s´ıtios do caminho que tem o maior valor de energia, que ent˜ao se torna o primeiro a ser bloqueado, o bloqueio ocorre ao impor uma energia infinita a tal s´ıtio. Em seguida ´e gerado um novo caminho ´otimo entre os s´ıtios restantes da rede, do qual o s´ıtio com maior energia ´e novamente bloqueado, e assim por diante. Tal processo continua interativamente at´e que o sistema seja interrompido e n˜ao exista caminho que percole verticalmente a rede, ou seja, at´e que haja uma fratura que impossibilite a conex˜ao entre as bordas superior e inferior da rede.
Para entendermos melhor a raz˜ao de bloquearmos alguns s´ıtios, podemos imaginar tais elementos como uma via para transportes rodovi´arios e a rede como um conjunto de todas as rotas rodovi´arias poss´ıveis. Sabemos que a todo o tempo pessoas est˜ao trafegando e que tais rotas podem por algum motivo ficarem bloqueadas, ainda mais quando pessoas trafegam buscando um objetivo em comum, como chegar a um determinado evento, logo muitas pessoas inicialmente optam pelo caminho mais curto para chegarem a determinados locais. Isso ocasionar´a um grande engarrafamento em algum trecho desse caminho e dessa maneira, o resto das pessoas s˜ao levadas a procurarem caminhos alternativos, evitando naturalmente os caminhos obstru´ıdos.
Na Figura 4.2 ´e mostrado o resultado da distribui¸c˜ao espacial de s´ıtios bloqueados que constituem o OPC em uma paisagem aleat´oria gerada com diferentes graus de desordem. A mesma sequˆencia de n´umeros aleat´orios distribu´ıdos uniformemente foram usados para
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Figura 4.2: As figuras (a) e (b) mostram o regime de desordem fraca para realiza¸c˜oes equivalentes: em (a) as energias dos s´ıtios s˜ao distribu´ıdas segundo a lei de potˆencia P (ǫi) ∝ ǫ1i com βD = 0.002,
enquanto que em (b) as energias s˜ao uniformemente distribu´ıdas. As figuras (c) e (d) mostram fraturas para βD = 6 e βD = 100, sendo que a figura (c) corresponde ao regime de desordem
intermedi´ario e a figura (d) o regime de desordem forte. O backbone da fratura ´e mostrado em vermelho, os s´ıtios pertencentes ao maior cluster da fratura, com ausˆencia do backbone, est˜ao em azul, e os s´ıtios bloqueados que n˜ao fazem parte da fratura e do backbone est˜ao em verde. Figura retirada da ref [20].
todas as configura¸c˜oes. A estrutura do OPC tem trˆes elementos b´asicos, alem da espinha dorsal da fratura (backbone, mostrada em vermelho) que efetivamente “separa” o sistema em dois. Observaremos a presen¸ca de ramifica¸c˜oes ou ciclos da fratura (mostrada em azul), bem como clusters isolados distribu´ıdos homogeneamente ao longo de toda a rede. Embora a distribui¸c˜oes de fissuras e o n´umero de ciclos ou clusters isolados sejam fun¸c˜ao do grau da desordem, a espinha dorsal da fratura ´e invariante em rela¸cˆao a desordem.
A situa¸c˜ao torna-se muito diferente quando aumentamos o valor do parˆametro de desor- dem βD, como mostrado na Figura 4.2 (c) ao qual o sistema est´a sobre um parˆametro de
desordem moderada βD = 6, o n´umero de fissuras e clusters isolados no OPC tornam-se
significantemente menor do que no caso de desordem fraca com βD = 0.002. Aumentado
ainda mais o valor da desordem, βD = 100, como na Figura 4.2 (d) observamos que apenas a
espinha dorsal permanece, sendo ele o mesmo para todos os valores de desordem, enquanto que o n´umero de todos os s´ıtios bloqueados ´e altamente dependente da desordem induzida no sistema. O parˆametro βD n˜ao determina o limite entre desordem fraca e forte, desde que
esta propriedade tamb´em depende significantemente do tamanho do sistema.
As propriedades da fratura s˜ao analisadas quando analisamos trˆes tipos diferentes de massa: • O n´umero de todos os s´ıtios removidos do sistema, Mt. A densidade total ρt ´e definida
como ρt = Mt/N , sendo N o n´umero total de s´ıtios contidos inicialmente na rede, ou
seja, N = L2;
• O n´umero de s´ıtios que formam o maior cluster que disconecta o sistema, Mf;
• O n´umero de s´ıtios que formam o menor caminho na fratura (backbone), Mb, suficiente
para desconectar o sistema.
As trˆes massas introduzidas acima variam assintoticamente com o tamanho linear do sistema, L, de forma que
Mt≈ Ldt, Mf ≈ Ldf, Mb ≈ Ldb (4.1)
onde
df = d −
β
ν (4.2)
´e a dimens˜ao fractal do maior cluster , β ´e o expoente cr´ıtico relacionado ao parˆametro de ordem, e ν ´e o expoente relacionado como tamanho de correla¸c˜ao.
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Figura 4.3: Dependˆencia logar´ıtmica da massa de todos os s´ıtios bloqueados Mt formando o OPC,
o cluster de todos os s´ıtios na fratura Mf, e a massa do backbone da fratura Mb, pelo tamanho L
do sistema para βD = 0.002. Figura retirada da ref [20].
´
E mostrado na Figura 4.3 que para βD = 0.002 a massa m´edia da espinha dorsal do
OPC varia com Mb ≈ Ldb, com o expoente db = 1.22 ± 0.22. Tal dimens˜ao fractal ´e muito
pr´oxima a dimens˜ao encontrada para percola¸c˜ao por invas˜ao (1.22 ± 0.01) e para caminhos em minimum spanning trees (1.22 ± 0.01). Como proposto na eq. (4.1), a rela¸c˜ao funcional das massas com o tamanho do sistema ´e dada por leis de potˆencia. Os expoentes obtidos s˜ao dt = 2.00 ± 0.01, que ´e referente ao n´umero de todos os s´ıtios retirados do sistema, e
a fratura, o qual consiste de ambas as massas da espinha dorsal e suas ramifica¸c˜oes tem dimens˜ao df = 1.59 ± 0.02. ´E importante notar que o valor de db reflete uma propriedade
n˜ao local do sistema que ´e intrinsecamente associado com o processo interativo envolvido no c´alculo do OPC. A remo¸c˜ao do s´ıtio de maior energia resulta em uma mudan¸ca global do caminho, e, potencialmente, qualquer s´ıtio pode ser removido nos passos seguintes.
Na Figura 4.4 vemos a transi¸c˜ao do regime de desordem fraca para a desordem forte a medida que aumentamos sistematicamente o tamanho do sistema. Como j´a mencionado, a desordem forte no sistema em que consiste em baixos valores de L e altos valores de βD, resulta
em um n´umero menor de s´ıtios bloqueados, que se torna cada vez mais localizados em uma estreita fratura conectada. No limite de desordem muito forte, o observado ´e que somente a
massa da espinha dorsal do OPC (Mb) permanece, isto ´e, Mt → Mb e Mf → Mb, tendo a
mesma dimens˜ao que no caso de desordem fraca, Mb = Ldb, com o expoente db = 1.22 ± 0.22.
Figura 4.4: Dependˆencia logar´ıtmica da massa de todos os s´ıtios bloqueados Mt formando o OPC,
o cluster de todos os s´ıtios na fratura Mf, e a massa do backbone da fratura que parte o sistema,
pelo tamanho L do sistema para βD = 6. Para este valor intermedi´ario de βD podemos indentificar
o crossover no regime de desordem forte para o regime de desordem fraca que depende do tamanho do sistema. Figura retirada da ref [20].
Como mostrado na Figura 4.1, a espinha dorsal ´e de fato invariante sobre qualquer mu- dan¸ca do parˆametro de desordem βD. Quando aumentado o valor de L ´e observado uma
gradual mudan¸ca na inclina¸c˜ao de Mt e Mf devido ao comportamento de suas leis de escala
no regime de desordem fraca, ver Figura 4.4.
A transi¸c˜ao do regime de desordem fraca para o forte ´e melhor ilustrado quando colocamos a densidade de todos os s´ıtios bloqueados ρt como fun¸c˜ao do parˆametro βD, ver Figura 4.5.
As curvas exibem trˆes diferentes regimes, dependendo do valor de βD. Para baixos valores
de βD < 1, a densidade de s´ıtios tem um valor fixo. Para valores altos, a densidade decai
com uma lei de potˆencia ρt ≈ βD−θ, com expoente, θ ≈ 4/3. Para redes de tamanhos finitos,
as curvas apresentam outro “crossover” para uma densidade m´ınima que agora depende do tamanho do sistema. Este segundo “crossover”, βD×, o qual indica a transi¸c˜ao para a
desordem forte, deve depender do tamanho do sistema de tal forma que sistemas de tamanho infinito estejam na desordem fraca para qualquer valor finito de βD.
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Figura 4.5: Transi¸c˜ao da desordem forte para a desordem fraca no modelo de OPC. As curvas exibem o comportamento da densidade de todos os s´ıtios bloqueados ρtpelo parˆametro de desordem
do sistema. Estas curvas apresentam trˆes regimes. Para a desordem fraca (βD < 1), onde vemos uma
satura¸c˜ao na densidade de s´ıtios bloqueados em torno de ρt = 0.22. Para desordem intermedi´aria
vemos que a densidade diminui com o parˆametro de desordem e que n˜ao h´a uma dependˆencia em rela¸c˜ao ao tamanho do sistema. Para regimes de desordem forte vemos que o valor da densidade depende do tamanho L do sistema. Figura retirada da ref [20].
Fraturas de caminhos ´otimos na rede
de Barab´asi-Albert
5.1
Introdu¸c˜ao
Neste capitulo apresentaremos o modelo de Fraturas de Caminhos ´Otimos (OPC) voltado para redes livres de escala, especificamente para o modelo de rede de Barab´asi-Albert, ao qual consiste o foco desta disserta¸c˜ao. O processo de aplica¸c˜ao de tal modelo na rede de (BA) ´e similar ao processo quando aplicado a uma rede quadrada, como ´e tratado no capitulo 3, Redes de fraturas. A motiva¸c˜ao para tal trabalho ´e tal que o estudo da estabilidade e robustez de redes livres de escala ´e um assunto de bastante interesse, principalmente quando adicionamos falhas (remo¸c˜ao aleat´oria de s´ıtios) ao sistema com o prop´osito de analisar o seu comportamento global. A internet, rotas a´ereas e redes de energia s˜ao exemplos de redes, cuja fun¸c˜ao depende de forma crucial do padr˜ao de interliga¸c˜ao entre os componentes do sistema [33].
Muitos desses sistemas apresentam um surpreendente grau de tolerˆancia quando adicio-