Öğr. Gör. Dr. Filiz YAĞCI 1 & Prof. Dr. Rıdvan EZENTAŞ2
1 Bursa Uludağ Üniversitesi, Fen-Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü, Bursa, Turkey. gfiliz@uludag.edu.tr
2 Bursa Uludağ Üniversitesi, Eğitim Fakültesi, Matematik Eğitimi ABD, Bursa, Turkey. rezentas@uludag.edu.tr
27
GİRİŞ
Günümüze kadar birçok filozof tarafından, matematik ve müzik insanı tarafından bu iki disiplin arasındaki ilişki üzerine araştırmalar yapılmış, müziğin matematiksel yapısı anlaşılmaya çalışılmıştır. Genellikle diziler, aralıklar, ritim, ölçü, form, melodi, akorlar, oktav eşdeğerliği, doğuşkanlar, tını, akustik, eşit aralıklı ses sistemi ve akordun alternatif yöntemleri gibi bazı müziksel kavramların matematiksel olarak izahı yapılmıştır (Stolzenburg, 2009).
Müzik, en temel ögesinden en karmaşık ögesine kadar, çeşitli matematiksel yapıları içermekte olup, müzik ile matematik pek çok açıdan birbiriyle ilişkili iki disiplindir. Bu iki disiplin üzerine ilk akademik çalışmaların MÖ 6. yüzyılda Yunan filozof ve matematikçi Pisagor ile başladığı düşünülmektedir. Pisagor’un seslerin frekansları arasındaki çeşitli sayısal oranları keşfiyle ortaya koyduğu sesler arasındaki ilişkilerin sistematik yapısı, müzik kuramının temelini oluşturmaktadır (Riedweg, 2005). Bu da müzik, gizli bir aritmetik alıştırmadır diyen Leibniz’in haklılığını göstermektedir (Orhan, 1995).
19.yy. da matematikçi J. Fourier tarafından müzikal seslerin niteliği incelenmiş insandan ve müzik aletinden çıkan seslerin matematiksel ifadelerle tanımlanabileceğini göstermiştir. Çıkan seslerin bir sinüs fonksiyonları ile ifade edilebileceğini ispatlamıştır (Orhan, 1995). Piyano tuşları İtalyan matematikçi L. Fibonacci’nin oluşturduğu Fibonacci dizisi (1,1,2,3,5,8,13,21,34,…) ile müzik arasındaki
28 MÜZİĞİN MATEMATİĞİ VE MÜZİK EĞİTİMİ
bağlantının görsel açıklamasına olanak sağlar (Koshy, 2001). Fibonacci dizisinde ardışık iki sayının oranı yaklaşık olarak ɸ=1,61804 değerine altın oran denilir. Altın oran uyum ve güzellik ölçütü olarak sanat ve estetiğin vazgeçilmez kriterlerinden biridir. Ayrıca Mozart, Beethoven, Bach, Chopin, Béla Bartók gibi birçok ünlü bestecinin, eserlerinde Fibonacci Dizisi ve Altın Oran’ı kullandığı varsayılmış ve ispat edilmeye çalışılmıştır. Örneğin Mozart Sonatı’ndaki No1.K.279, No2.K.280, No7.K.309, No10.K.330, No15.K.545, No16.K.570 eserlerinde altın oran’ı kullandığı ispatlanmıştır.
Bunun yanında, Fibonacci dizisini bilinçli olarak kullanan ve bunu belirten besteciler de bulunmaktadır (Lehmann ve ark., 2007). B. Taylor, titreşimi temsil eden bir diferansiyel denklem çözümünün bir sinus eğrisi olduğunu bulmuştur. D'Alembert ve L. Euler gibi matematikçiler titreşim dizisini bir diferansiyel denklem olarak ifade etmişler ve J. B. Fourier, titreşim dalgalarını trigonometrik fonksiyonları kullanarak tanımlamıştır (Devlin, 2000). 1869’da, müzik teorisyeni A.V. Oettingen, 20. yüzyılın müzik dünyasında, çığır açtığı harmoniklik teorisini kurmuştur (Rehding, 2003).
Bilgisayar ile geometrik modelleme yöntemlerinin kullanımı son yirmi yılda büyük bir hızla ilerlemektedir. Bilgisayar destekli olarak yapılan tasarım, yapının görsel olarak sunulmasını, veri hazırlanmasını, analiz yazılımlarının kullanılmasından sonra sonuçların değerlendirilmesini ve bilgisayar destekli üretimde kullanılmasını sağlar. Genel olarak iki boyutlu (2D) geometrik eğri modelleme ve üç boyutlu (3D) geometrik
29
yüzey modelleme, bilgisayar grafikleri, bilgisayar destekli tasarım ve üretim teknolojileri alanlarının hızlı bir şekilde gelişmesinde temel etkenlerden biridir.
Bézier eğrisi ilk olarak 1959’da Paul de Casteljau tarafından ileri sürülmüştür. Fransız mühendis Pierre Bézier (1974), tarafından otomobillerin tasarımında kullanılmasıyla tanınmıştır. Bézier eğrisi ile yüzeylerin tasarımı ve programlanması daha kolay hale gelmiştir. Bu tür özelliklerinden dolayı Bézier eğrisi, şimdilerde vektör temelli çizim, font tasarımı, endüstriyel ve bilgisayar destekli tasarım, ve 3D modelleme gibi bir çok alanda kullanılmaktadır (Gökler, 2015).
Franz Joseph Haydn (1723-1809) dünyaca ünlü Avusturyalı bir bestecidir. Haydn, hayatı boyunca 800'ün üzerinde besteye imza atmış, bunun yanı sıra 450'nin üzerinde şarkının düzenlemesini yapmıştır. Klasik müzik tarihinin en verimli sanatçılarından biridir. En çok senfoni türündeki eserleriyle tanınmakta olup, 104 senfoni bestelemiştir (Kennedy, 1996). 1778’den önce bestelen Hob-XVI No.34 olarak işaretlenen Mi minör Piyano Sonatı, o yılların en başarılı sonatlarından biri olarak nitelendirilir. Mi minör tonda ve 6/8’lik ölçüde başlayan 1. Bölüm, çok hızlı (Presto) tempodadır. 2. Bölüm Sol Majör tonda 3/4’lük ölçüde ve ağır (Adagio) tempodadır. Haydn’ın daha önce denediği çok süslü tarz, burada müziğe destek olarak seçkinleşir ve şiirsel bir anlatım kazanır. Haydn, 2/4’lük ölçüde, çok canlı (Molto vivace) tempodaki 3. Bölümün başlığına Innocentemente (masum bir tarzda) kelimesini uygun görmüştür. Bennett’in “Ana temanın, aralara
30 MÜZİĞİN MATEMATİĞİ VE MÜZİK EĞİTİMİ
karşıt karakterdeki bölmelerin yerleştirilmesiyle tekrar ettiği form” (Bennett, 1995) olarak kısaca tanımlanabilecek rondo formundaki bu final, ciddilikle zararsız bir neşenin kontrastını ustaca yansıtan A-B (Mi Majör)-A-B (varyasyonlu)-A (Coda) formülüyle gerçekleşir (Aktüze, 2003).
Bilgisayarlar ile geometrik modelleme yöntemlerinin kullanımı son yirmi yılda büyük bir hız ile ilerlemektedir. Birçok materyalin geometrik modelinin oluşturulmasında Bézier eğri ve yüzey modelleme yöntemlerinin kullanıldığı bilinmektedir (Farin, 1997). Müzik eserlerinin matematiksel boyutta kodlanıp incelenmesi, bilgisayar destekli yazılımlar aracılığıyla eserlerin analizlerinin yapılması, farklı yaklaşımların üretilmesi ve disiplinler arası çalışma olanaklarının sağlanması bakımından yararlı görülmektedir. Bu anlamda soyut boyutta olan seslerin geometrik ortama aktarılarak somut hale dönüştürülmesi, eserleri oluşturan seslerin yükseklik ve süre değerlerinin farklı kombinasyonlarda ele alınarak yapısal analizlerinin gerçekleştirilme çalışmaları yenilikçi bir yaklaşım olarak görülmektedir. Bilgisayar destekli müzik uygulamalarında Bezier Spline modellemesinin kullanılan Curve Analysis and Composition System (PI- CACS) sistemi Bezier eğrilerini kullanarak perdelerin oluşturulmasını sağlayan fonksiyonlara sahiptir. Battey B. çalışmasında, Hindistan da kyahal vokal müziğinin perdelerinin modellenmesinde Picacs sisteminin bezlists fonksiyonunu kullanmıştır (Battey, 2019).
31
J.S. Bach’ın piyano için yazdığı BWV 784 la minör iki sesli envansiyonunu meydana getiren seslerin matematiksel kodlama yoluyla Rasyonel Bézier eğrileri kullanılarak görsel modeli oluşturulmuştur (Yağcı ve ark. 2020). Bu çalışmada ise F. J. Haydn‘ın 1778’den önce bestelendiği belirtilen Hob-XVI No.34 olarak işaretlenen Mi minör Piyano Sonatının Rondo bölümünü meydana getiren seslerin Rasyonel Bezier eğrileri vasıtasıyla eserin görsel tasarımı Maple programlama dilinde kodlanan program aracılığıyla yapıldı. Bu oluşturulan program ses yükseklik, ses değeri ve kullanım sayılarına göre tüm müzik eserlerinin görsel tasarımlarını yapabilecek şekilde kodlanmıştır.
YÖNTEM
Bu çalışmada seçilen eserin nota ses yükseklikleri ve nota ses sürelerinin matematiksel kodları kullanılarak Rasyonel Bézier eğrileri tasarlama yöntemi ile görsel model oluşturulmuştur. Çalışma verileri eserin bütününü oluşturan sağ ve sol el partilerinde yer alan seslerin yükseklik ve süre değerleriyle elde edilmiştir.
Bilgisayar grafiklerinin önemli bir uygulaması olan Bézier eğrisi, poligonun köşeleri ile birebir ilişkilidir. Poligonunda sadece ilk ve son köşeleri eğri üzerinde bulunur ve diğer köşeler ise eğrinin şeklini ve derecesini tanımlamaktadır. Bézier eğrisi açık veya kapalı poligon olarak tanımlanabilir. Burada poligonların kontrol noktalarındaki değişiklikler eğrideki değişikliğe neden olmaktadır. Kullanıcı köşelerin
32 MÜZİĞİN MATEMATİĞİ VE MÜZİK EĞİTİMİ
kullanımı sayesinde görsel olarak ulaşabileceği sonuçları önceden farkedebilmektedir (Farin, 1997). Şekil 1’de gösterildiği gibi, Bézier eğrileri kontrol noktalarını içeren bir konveks çokgen içerisinde tanımlı Bernstein polinomlarından oluşan parametrik bir eğri çeşididir. Tasarımda kullanım kolaylığı açısından oldukça yaygın bir biçimde tercih edilen Bézier eğrileri içinde bulundukları konveks çokgenin başlangıç ve bitiş noktalarının değiştirilmesi ile eğrinin genel olarak değişimini sağlamaktadır. Bu nedenle Bézier eğrisinin uç noktalarındaki teğet ve eğrilik hesapları geometrik açıdan önemlidir. Bézier eğrileri, girdi olarak kullanılan kontrol noktaları ve bir dizi polinom fonksiyonlarıyla tanımlanır. n. dereceden, n+1 adet 𝐵𝑖 kontrol noktasına sahip bézier eğrisinin parametrik denklemi; Bernstein polinomları olarak bilinen katsayılar
𝐽𝑛,𝑖(𝑡) = (𝑛𝑖) 𝑡𝑖(1 − 𝑡)𝑛−𝑖 olmak üzere,
P(𝑡) = (𝑋(𝑡), 𝑌(𝑡)) = ∑𝑛𝑖=0𝐵𝑖 𝐽𝑛,𝑖(𝑡), 0 ≤ t ≤ 1 (1) şeklinde tanımlanır. Bézier eğrisi üzerindeki herhangi bir noktanın koordinatı,
𝑥(𝑡) = ∑𝑛𝑖=0𝑥𝑖 𝐽𝑛,𝑖(𝑡) , 𝑦(𝑡) = ∑𝑛𝑖=0𝑦𝑖 𝐽𝑛,𝑖(𝑡) (2) formülleri ile hesaplanır (Kusak, ark. 2015).
33
Şekil 1. Bézier Eğrilerine Örnekler
Rasyonel Bézier eğrileri, konik kesitlerin incelenmesinde pratik kullanımı açısından oldukça avantajlı bir eğri üretme tekniğidir (Farin, 1997). Şekil 2’de görüldüğü gibi hepsi birden sıfır olmayan 𝑤𝑖 skaler ağırlıklı n. dereceden Rasyonel Bézier eğrisi
𝑃(𝑡) = (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) =∑ 𝐵𝑖 𝐽𝑛,𝑖(𝑡)𝑤𝑖
𝑛 𝑖=0
∑𝑛𝑖=0𝑤𝑖 𝐽𝑛,𝑖(𝑡) (3)
şeklinde tanımlanır (Rogers, ark. 1990).
34 MÜZİĞİN MATEMATİĞİ VE MÜZİK EĞİTİMİ
Bilgisayar destekli geometrik modelleme yöntemleri vasıtasıyla, eğri veya yüzey oluşturmak için matematiksel ifadeleri ve bunların uygulanması için gerekli algoritmalar mevcuttur. Bilgisayar destekli olarak yapılan tasarım bize tasarımın görsel olarak sunulmasını, veri hazırlanmasını, analiz yazılımlarının kullanılmasından sonra sonuçların değerlendirilmesini sağlamaktadır. Rasyonel Bézier eğrileri tasarlama yöntemi öncelikle kontrol noktaları seçilir. İlk ve son kontrol noktası, eğrinin başlangıç ve bitiş noktalarını, diğer noktalar ise eğrinin yapısını belirlemek için kullanılır. Bu kontrol noktalarının oluşturduğu poligonsal bölge konveks çokgen (Convex Hull) olarak isimlendirilir. Konveks çokgenin bir köşesinin konumu değiştirildiğinde eğrinin tümü değil sadece belli bir kısmı değişir. Daha sonra belirlenen kontrol noktalarıyla Rasyonel Bézier eğrilerinin parametrik denklemi bulunur. Denklemi bulunan bu eğrinin görsel modeli bir programlama dili aracılığıyla oluşturulur (Farin, 1997).
Bu çalışmanın verileri, seçilen müzik eserinin ses yükseklik ve nota ses süre değerlerinin kodlama tabloları yardımıyla matematiksel ortama aktarılmasıyla elde edilmiştir. Eseri oluşturan sesler [-20,29] aralığında ve seslerin nota çalınma süre değerleri [2,16] aralığında tanımlanmıştır. Eseri oluşturan seslerin kodlamaları sağ ve sol el partileri için ayrı ayrı yapılmış, SPSS istatistik programı yardımıyla elde edilen verilerin çapraz tabloları oluşturulmuştur. Sağ, sol el partilerin ve eserin çapraz tabloları Tablo 1, 2 ve 3 de verilmiştir.
35
Tablo 1. Eserin sağ el partisinin ses yükseklik ve süre değerlerinin çapraz tablosu
Sağ el partisi ses yükseklik değerleri
Sağ el partisi ses süre değerleri Toplam
4 6 8 12 16 N % -1 0 1 0 0 2 3 0,5 0 0 0 34 0 2 36 5,6 2 0 0 0 0 3 3 0,5 4 0 0 0 0 3 3 0,5 4 0 0 1 0 3 4 0,6 6 0 0 1 0 3 4 0,6 7 0 0 2 0 4 6 0,9 8 0 0 6 5 0 11 1,7 9 0 0 2 1 5 8 1,3 10 1 0 3 0 9 13 2,0 11 0 0 1 0 4 5 0,8 12 2 0 19 0 17 38 6,0 13 0 0 2 0 4 6 0,9 14 0 0 0 1 14 15 2,4 15 0 0 3 0 4 7 1,1 16 4 0 17 0 29 50 7,8 17 8 0 47 2 38 95 14,9 18 0 0 0 0 9 9 1,4 19 0 0 59 3 26 88 13,8 20 4 0 11 5 11 31 4,9 21 0 0 10 3 17 30 4,7 22 0 0 28 4 22 54 8,5 24 2 1 31 2 14 50 7,8 25 2 0 26 0 12 40 6,3 26 0 0 2 0 2 4 0,6 27 0 0 11 0 9 20 3,1 28 0 0 1 0 0 1 0,2 29 0 0 0 0 3 3 0,5 Toplam 23 2 319 26 268 368 100
Tablo 1 incelendiğinde eserin sağ el partisine ait ses yüksekliklerinin tanım aralığı [-1,29] ve toplam 31 adet ses kombinasyonu oluşturularak toplam 368 nota kullanılmıştır. Bu seslerin 268 tanesi 16’lık, 26 tanesi 12’lik, 319 tanesi 8’lik, 2 tanesi 6’lık ve 4 tanesi ise 23’lük notalardan oluşmuştur. En yüksek sağ el partisi ses yükseklik değerleri sırasıyla 16, 17, 19 ve 22 ve buna karşılık gelen ses sürelerinin frekansları 50
36 MÜZİĞİN MATEMATİĞİ VE MÜZİK EĞİTİMİ
(%7,8), 95 (%14,9), 88 (%13,8) ve 54 (%8,5) iken en düşük sağ el nota ses yükseklikleri ise 28, -1, 23 ve 29 buna karşılık gelen ses sürelerinin frekansları 1 (%0,2), 3 (%0,5), 4 (%0,6) ve 4 (%0,6) olduğu görülmektedir. Eser de pes ses oranı %5 iken tiz ses oranı ise %95 olarak görülmektedir. Şekil 3’de ise sağ el partisi ses yükseklik ve süre değerlerinin dağılımı verilmiştir.
Şekil 3. Sağ el partisi ses yükseklik ve değerleri
Şekil 3’de eserin sağ el partisini oluşturan seslerin yükseklik ve frekans dağılımı görülmektedir. Eserin sağ el partisinde kullanılan toplam 368 notanın içerisinde 1 tane pes ses kullanılmıştır. Şekil 3 de görüldüğü gibi ses yüksekliği ile nota değerini temsil eden eğriler belli bir fark değeri ile birbirinin ötelenmiş eğrileri konumdadırlar.
-10 0 10 20 30 40 50
37
Tablo 2. Eserin sol el partisinin ses yükseklik ve süre değerlerinin çapraz tablosu
Sol el partisi ses yükseklik değerleri
Sol El Ses Süre Değerleri Toplam
2 4 8 16 N % -20 0 0 2 0 2 0,2 -17 0 0 2 0 2 0,2 -16 0 1 0 0 1 0,1 -15 0 0 1 2 3 0,3 -14 0 0 0 1 1 0,1 -13 0 0 1 9 10 1,1 -12 0 0 0 12 12 1,3 -10 0 0 0 6 6 0,7 -9 0 0 0 8 8 0,9 -8 0 2 1 487 490 55 -6 0 0 2 18 20 2,2 -5 0 4 1 34 39 4,4 -4 0 3 1 0 4 0,4 -3 0 0 4 42 46 5,2 -2 0 0 1 0 1 0,1 -1 0 3 3 80 86 9,7 0 1 1 27 0 29 3,9 1 0 0 0 24 24 2,7 3 0 0 0 14 14 1,6 4 0 0 2 6 8 0,9 5 0 4 4 18 26 2,9 6 0 0 0 6 6 0,7 7 0 0 4 14 18 2,0 8 0 0 1 24 25 2,8 9 0 0 5 0 5 0,6 10 0 2 2 0 4 0,4 12 0 0 1 0 1 0,1 Toplam 1 20 65 805 891 100
38 MÜZİĞİN MATEMATİĞİ VE MÜZİK EĞİTİMİ
Tablo 2’de eserin sol el partisini oluşturan seslerin yüksekliklerinin tanım aralığı [-22,10] ve toplam 33 adet ses kombinasyonu oluşturularak toplam 285 nota kullanıldığı görülmektedir. Bu notaların 172 tanesi 16’lık, 109 tanesi 8’lik ve 3 tanesi ise 4’luk notalardan oluşmuştur. En yüksek sol el nota ses değerleri sırasıyla 1, -3 ve -8 ve buna karşılık gelen ses sürelerinin frekansları 30 (%10,4), 27 (%9,3) ve 23 (%8,2) iken; en düşük sol el nota ses yükseklikleri ise -9, 2, 9 ve 10 ve buna karşılık gelen ses sürelerinin frekansı 1 (%0,4) olduğu görülmektedir. Sol el partisi eserin %81,9 pes seslerden oluşmasını sağlamıştır. Eserin sol el partisi ses yükseklik ve ses süre değerlerinin dağılımı Şekil 4’de verilmiştir.
Şekil 4. Sol el partisi ses yükseklik ve değerleri
Şekil 4’de eserin sol el partisini oluşturan seslerin yükseklik ve frekans dağılımı görülmektedir. Eserin sağ el partisininde de görüldüğü gibi sol el partisinde de ses yüksekliklerini ve nota ses değerlerini temsil eden eğriler belli fark değerleri ile birbirlerinin ötelenmiş eğrileri konumdadırlar. -30 -20 -10 0 10 20 30
39
Tablo 3. Eserin ses yükseklik ve süre değerlerinin çapraz tablosu
Ses yükseklik
değerleri
Ses süre değerleri
Toplam 2 4 6 8 12 16 N % -20 0 0 0 2 0 0 2 0,13 -17 0 0 0 2 0 0 2 0,13 -16 0 1 0 0 0 0 1 0,07 -15 0 0 0 1 0 2 3 0,2 -14 0 0 0 0 0 1 1 0,07 -13 0 0 0 1 0 9 10 0,66 -12 0 0 0 0 0 12 12 0,79 -10 0 0 0 0 0 6 6 0,39 -9 0 0 0 0 0 8 8 0,52 -8 0 2 0 1 0 487 490 32,13 -6 0 0 0 2 0 18 20 1,31 -5 0 4 0 1 0 34 39 2,56 -4 0 3 0 1 0 0 4 0,26 -3 0 0 0 4 0 42 46 3,02 -2 0 0 0 1 0 0 1 0,07 -1 0 3 1 3 0 82 89 5,84 0 1 1 0 61 0 2 65 4,26 1 0 0 0 0 0 24 24 1,57 2 0 0 0 0 0 3 3 0,2 3 0 0 0 0 0 14 14 0,92 4 0 0 0 3 0 9 12 0,79 5 0 4 0 5 0 21 30 1,97 6 0 0 0 0 0 6 6 0,39 7 0 0 0 6 0 18 24 1,57 8 0 0 0 7 5 24 36 2,36 9 0 0 0 7 1 5 13 0,85 10 0 3 0 5 0 9 17 1,11 11 0 0 0 1 0 4 5 0,33 12 0 2 0 20 0 17 39 2,56 13 0 0 0 2 0 4 6 0,39
40 MÜZİĞİN MATEMATİĞİ VE MÜZİK EĞİTİMİ 14 0 0 0 0 1 14 15 0,98 15 0 0 0 3 0 4 7 0,46 16 0 4 0 17 0 29 50 3,28 17 0 8 0 47 2 38 95 6,23 18 0 0 0 0 0 9 9 0,59 19 0 0 0 59 3 26 88 5,77 20 0 4 0 11 5 11 31 2,03 21 0 0 0 10 3 17 30 1,97 22 0 0 0 28 4 22 54 3,54 23 0 0 0 2 0 2 4 0,26 24 0 2 1 31 2 14 50 3,28 25 0 2 0 26 0 12 40 2,62 26 0 0 0 2 0 2 4 0,26 27 0 0 0 11 0 9 20 1,31 28 0 0 0 1 0 0 1 0,07 29 0 0 0 0 0 3 3 0,2 Toplam 1 43 2 384 26 1073 1529 100
Çizelge 3 incelendiğinde eserin ses yüksekliklerinin tanım aralığı [-20, 29] ve toplam 49 adet ses kombinasyonu oluşturularak toplam 1529 nota kullanılmıştır. Bu seslerin 1073 tanesi 16’lık, 26 tanesi 12’lik, 384 tanesi 8’lik, 2 tanesi 6’lık, 4 tanesi ise 43’lük ve 1 tanesi 2’lik notalardan oluşmuştur. En yüksek ses yükseklik değerleri sırasıyla -8, 0 ve 19 ve buna karşılık gelen ses sürelerinin frekansları 490 (%32,13), 65 (%4.26) ve 88 (%5,77) iken en düşük ses yükseklikleri ise -16, -14, -2 ve 28 karşılık gelen ses sürelerinin frekansları 1 (%0,07) olduğu görülmektedir. Şekil 5’de eserin ses yükseklik ve ses sürelerinin frekans dağılımı verilmiştir.
41
Şekil 5. Eserin ses yükseklik ve değerleri
Şekil 5’de eserin ses yükseklik ve ses sürelerinin frekans dağılımı verilmiştir. Eseri oluşturan ses yüksekliklerini ve nota ses değerlerini temsil eden eğriler belli fark değerleri ile birbirlerinin ötelenmiş eğrileri konumdadırlar.
BULGULAR
Bu çalışmada bilgisayar destekli eğri tasarımında kullanılan ve 𝑥(𝑡) = ∑𝑛 𝑥𝑖 𝐽𝑛,𝑖(𝑡) 𝑖=0 , 𝑦(𝑡) = ∑𝑛 𝑦𝑖 𝐽𝑛,𝑖(𝑡) 𝑖=0 ve 𝑃(𝑡) = (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) =∑ 𝐵𝑖 𝐽𝑛,𝑖(𝑡)𝑤𝑖 𝑛 𝑖=0 ∑𝑛𝑖=0𝑤𝑖 𝐽𝑛,𝑖(𝑡)
denklemi ile temsil edilen Rasyonel Bézier Eğri tasarlama yöntemi kullanılmıştır. Rasyonel Bézier eğri denklemleri birer polinom fonksiyondur. Rasyonel Bézier eğri parametrik denkleminde Mi minör Piyano Sonatında xi, ses yükseklikleri, yi, ses değerleri ve wi, ise frekans değerleri ile gösterilmiştir. Seçilen eserin sağ ve sol partilerini temsil eden Rasyonel Bézier Eğri denklemini ve grafiklerinin bulmak için de
-40 -20 0 20 40 60
42 MÜZİĞİN MATEMATİĞİ VE MÜZİK EĞİTİMİ
genel amaçlı matematiksel problem çözüm yazılımları içinde matematiksel hesaplama, programlama, modelleme yazılımı olarak dünyaca en güvenilen yazılımlardan biri olan Maple 13 kullanılmıştır. Seçilen eserin kodlamalarına göre Maple 13 için oluşturulan program aşağıda verilmiştir.
Sağ el partisinin maple programı;
k1:=Matrix([[-1,6],[-1,16],[0,8],[0,16],[2,16],[4,8], [4,16], [5,8], [5,16], [7,8], [7,16], [8,8],[8,12], [9,8],[9,12],[9,16],[10,4],[10,8],[10,16],[11,8],[11,16],[12,4],[12,8],[12,16],[13,8],[1 3,16], [14,12],[14,16], [15,8], [15,16],[16,4], [16,8],[16,16], [17,4],[17,8], [17,16], [18,16],[19,8],[19,12],[19,16], [20,4],[20,8],[20,12], [20,16],[21,8],[21,12],[21,16], [22,8], [22,12],[22,16],[23,8],[23,16],[24,4],[24,6], [24,8],[24,12], [24,16], [25,4],[25,8], [25,16],[26,8], [26,16],[27,8], [27,16],[28,8], [29,16]]): w1:=Matrix([[1,2,34,2,3,1,3,1,3,2,4,6,5,2,1,5,1,3,9,1,4,2,19,17,2,4,1, 14,3,4,4,17,29,8,47,38,9,59,3,26,4,11,5,11,10,3,17,28,4,22,2,2,2,1,31,2,14,2,26,12,1 2,2,11,9,1,3]]): m,n:=Dimension(k1): b:=m-1:x:=0:y:=0:binomx:=0:binomy:=0: for i from 0 to b do x:=x+w1[1,i+1]*binomial(b,i)*(t^i)*(1-t)^(b-i)*k1[i+1,1]: y:=y+w1[1,i+1]*binomial(b,i)*(t^i)*(1-t)^(b-i)*k1[i+1,2]: binomx:=binomx+w1[1,i+1]*binomial(b,i)*(t^i)*(1-t)^(b-i): binomy:=binomy+w1[1,i+1]*binomial(b,i)*(t^i)*(1-t)^(b-i): end do: x1:=x/binomx: y1:=y/binomy:
egri1:=plot([x1(t),y1(t), t=0..1], color=blue, thickness=2,scaling=CONSTRAINED): k1_poligon:=plot(k1,scaling=CONSTRAINED):
display({egri1,k1_poligon})
olup, bu programın çalıştırılması ile elde edilen ve sağ el partisini temsil eden Rasyonel Bézier eğrisinin parametrik denklemleri:
x(t) =a1(1 − t)
65+ a2t(1 − t)64+ a3t2(1 − t)63+ . . . +a64t64(1 − t) + a65t65
43
y(t) = c1(1 − t)
65+ c2t(1 − t)64+ c3t2(1 − t)63+ . . . +c64t64(1 − t) + c65t65
d1(1 − t)65+ d2t(1 − t)64+ d3t2(1 − t)63+ . . . +d64t64(1 − t) + d46t65
şeklinde bulunmuş ve bu denklemlerin oluşturduğu eğrinin grafiği Şekil 6’de verilmiştir. Burada katsayılar büyük reel sayılardan oluşması nedeniyle a1, a2, a3, . . . , a43, a44, b1, b2, b3, . . . , b43, b44, c1, c2, c3, . . ., c43, c44, d1, d2, d3, . . . , d43 ve d44 şeklinde alfabetik olarak yazımı tercih edilmiştir.
Şekil 6. Haydn’ın Mi minör Piyano Sonatının Sağ Partisinin Rasyonel Bézier Eğrisinin Görsel Modeli
Şekil 6’da parametrik denklemleri 65. dereceden birer polinom fonksiyon olan 𝑃(𝑡) = (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) ile tanımlı Rasyonel Bézier eğrisinin grafiği çizilmiştir. Bu eğrinin x ekseni tanım aralığı [-1, 29] olan sağ el nota yükseklikleri, y ekseni ise sağ el ses süreleri ile kodlanmıştır. Grafikte anlaşıldığı gibi eserde [-1, 0] aralığında kullanılan pes seslerin [1, 29] aralığında tiz seslere göre oldukça az kullanıldığı tespit edilmiştir. Bulunan Rasyonel Bézier eğrisinin grafiği aracılığıyla sağ partinin görsel modelinin oluşturulmuştur.
44 MÜZİĞİN MATEMATİĞİ VE MÜZİK EĞİTİMİ
Envansiyonun sol partisinin maple programı;
k2:=Matrix([20,8],17,8],16,4],15,8], 15,16], 14,16],13,8], 13,16], [-12,16], [-10,16], [-9,16], [-8,4], [-8,8],[-8,16],[-6,8],[-6,16],[-5,4],[-5,8],[-5,16],[-4,4], [-4,8],[-3,4],[-3,8],[-3,16],[-2,8],[-1,4],[-1,8],[-1,16],[0,2],[0,4],[0,8],[1,16],[3,16],[4,8], [4,16], [5,4],[5,8], [5,16], [6,16],[7,8], [7,16], [8,8],[8,16], [9,8],[10,4],[10,8],[12,8]]): w2:=Matrix([2,2,1,1,2,1,1,9,12,6,8,2,1,487,2,18,4,1,34,3, 1,4,42,1,3,3,80,1,1,27,24,14,2,6,4,4,18,6,4,14,1,24,5,2,2,1]): m,n:=Dimension(k2): b:=m-1:x:=0:y:=0:binomx:=0:binomy:=0: for i from 0 to b do x:=x+w2[1,i+1]*binomial(b,i)*(t^i)*(1-t)^(b-i)*k2[i+1,1]: y:=y+w2[1,i+1]*binomial(b,i)*(t^i)*(1-t)^(b-i)*k2[i+1,2]: binomx:=binomx+w2[1,i+1]*binomial(b,i)*(t^i)*(1-t)^(b-i): binomy:=binomy+w2[1,i+1]*binomial(b,i)*(t^i)*(1-t)^(b-i): end do: x2:=x/binomx: y2:=y/binomy:
egri2:=plot([x2(t),y2(t),t=0..1], color=blue, thickness=2,scaling=CONSTRAINED): k2_poligon:=plot(k2,scaling=CONSTRAINED):
display({egri2,k2_poligon});
olup, bu programın çalıştırılması ile elde edilen ve sağ partiyi temsil eden Rasyonel Bézier eğrisinin parametric denklemleri;
𝑥(𝑡) =𝑎1(1 − 𝑡) 46+ 𝑎2𝑡(1 − 𝑡)45+ 𝑎3𝑡2(1 − 𝑡)44+ . . . +𝑎45𝑡45(1 − 𝑡) + 𝑎46𝑡46 𝑏1(1 − 𝑡)46+ 𝑏2𝑡(1 − 𝑡)46+ 𝑏3𝑡2(1 − 𝑡)44+ . . . +𝑏45𝑡45(1 − 𝑡) + 𝑏46𝑡46 𝑦(𝑡) = 𝑐1(1 − 𝑡) 46+ 𝑐2𝑡(1 − 𝑡)45+ 𝑐3𝑡2(1 − 𝑡)44+ . . . +𝑐45𝑡45(1 − 𝑡) + 𝑐46𝑡46 𝑑1(1 − 𝑡)46+ 𝑑2𝑡(1 − 𝑡)45+ 𝑑3𝑡2(1 − 𝑡)44+ . . . +𝑑45𝑡45(1 − 𝑡) + 𝑑46𝑡46
şeklinde bulunmuş ve bu denklemlerin oluşturduğu eğrinin grafiği Şekil 8’de verilmiştir. Burada katsayılar oldukça büyük reel sayılardan oluşması nedeniyle 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, . . . , 𝑎45, 𝑎46, 𝑏1, 𝑏2, 𝑏3, . . . , 𝑏45, 𝑏46, 𝑐1,
45
𝑐2, 𝑐3, . . . , 𝑐45, 𝑐46, 𝑑1, 𝑑2, 𝑑3, . . . , 𝑑45ve 𝑑46 şeklinde alfabetik olarak yazımı tercih edilmiştir.
Şekil 7. Haydn’ın Mi minör Piyano Sonatının Sol Partisinin Rasyonel Bézier
Eğrisinin Görsel Modeli
Şekil 7’de parametrik denklemleri 51. dereceden birer polinom fonksiyon olan 𝑃(𝑡) = (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) ile tanımlı Rasyonel Bézier eğrisinin grafiği çizilmiştir. Bu eğrinin x ekseni tanım aralığı [-20, 12] olan sol el nota yükseklikleri, y ekseni ise sol el ses süreleri ile kodlanmıştır. Bulunan Rasyonel Bézier eğrisinin grafiği aracılığıyla eserin sağ partisinin görsel modeli oluşturulmuştur. Bu modelle de eserin sağ partisinin. [1, 12] aralığında kullanılan tiz seslerin [-22, -1] aralığında pes seslere daha az kullanıldığı tespit edilmiştir.
Envansiyonun sağ ve sol partilerinin maple programı;
k3:=Matrix([20,8],17,8],16,4],15,8], 15,16],14,16], 13,8], 13,16], [-12,16], [-10,16], [-9,16], [-8,4], [-8,8],[-8,16],[-6,8],[-6,16],[-5,4],[-5,8],[-5,16],[-4,4],
[-4,8],[-3,8],[-3,16],[-2,8],[-1,4],[-1,6],[-1,8],[-1,16],[0,2],[0,4],[0,8],[0,16],[1,16],[2,16],[3,16],[4,8], [4,16], [5,4],[5,8], [5,16], [6,16],[7,8], [7,16], [8,8],[8,12],[8,16],
46 MÜZİĞİN MATEMATİĞİ VE MÜZİK EĞİTİMİ [9,8],[9,12],[9,16],[10,4],[10,8],[10,16],[11,8],[11,16],[12,4],[12,8],[12,16],[13,8],[1 3,16], [14,12],[14,16], [15,8], [15,16],[16,4], [16,8],[16,16], [17,4],[17,8], [17,16], [18,16],[19,8],[19,12],[19,16], [20,4],[20,8],[20,12], [20,16],[21,8],[21,12],[21,16], [22,8], [22,12],[22,16],[23,8],[23,16],[24,4],[24,6], [24,8],[24,12], [24,16], [25,4],[25,8], [25,16],[26,8], [26,16],[27,8], [27,16],[28,8], [29,16]]): w3:=Matrix([[2,2,1,1,2,1,1,9,12,6,8,2,1,487,2,18,4,1,34,3, 1,4,42,1,3,1,3,82,1,1,61,2,24,3,14,3,9,4,5,21,6,6,18,7,5,24,7,1,5,3,5,9,1,4,2,20,17,2,4 ,1,14,3,4,4,17,29,8,47,38,9,59,3,26,4,11,5,11,10,3,17,28,4,22,2,2,2,1,31,2,14,2,26,12 ,2,2,11,9,1,3]]): m,n:=Dimension(k3): b:=m-1:x:=0:y:=0:binomx:=0:binomy:=0: for i from 0 to b do x:=x+w3[1,i+1]*binomial(b,i)*(t^i)*(1-t)^(b-i)*k3[i+1,1]: y:=y+w3[1,i+1]*binomial(b,i)*(t^i)*(1-t)^(b-i)*k3[i+1,2]: binomx:=binomx+w3[1,i+1]*binomial(b,i)*(t^i)*(1-t)^(b-i): binomy:=binomy+w3[1,i+1]*binomial(b,i)*(t^i)*(1-t)^(b-i): end do: x3:=x/binomx: y3:=y/binomy:
egri3:=plot([x3(t),y3(t), t=0..1], color=blue, thickness=2,scaling=CONSTRAINED): k3_poligon:=plot(k3,scaling=CONSTRAINED):
display({egri3,k3_poligon});
olup, bu programın çalıştırılması ile elde edilen ve tüm partileri temsil eden Rasyonel Bézier eğrisinin parametric denklemleri;
𝑥(𝑡) =𝑎1(1 − 𝑡) 97+ 𝑎2𝑡(1 − 𝑡)96+ 𝑎3𝑡2(1 − 𝑡)65+ . . . +𝑎96𝑡96(1 − 𝑡) + 𝑎97𝑡97 𝑏1(1 − 𝑡)97+ 𝑏2𝑡(1 − 𝑡)97+ 𝑏3𝑡2(1 − 𝑡)96+ . . . +𝑏96𝑡96(1 − 𝑡) + 𝑏97𝑡97 𝑦(𝑡) = 𝑐1(1 − 𝑡) 98+ 𝑐2𝑡(1 − 𝑡)97+ 𝑐3𝑡2(1 − 𝑡)96+ . . . +𝑐97𝑡97(1 − 𝑡) + 𝑐98𝑡98 𝑑1(1 − 𝑡)98+ 𝑑2𝑡(1 − 𝑡)97+ 𝑑3𝑡2(1 − 𝑡)96+ . . . +𝑑97𝑡97(1 − 𝑡) + 𝑑98𝑡98
şeklinde bulunmuş ve bu denklemlerin oluşturduğu eğrinin grafiği Şekil 9’da verilmiştir. Burada katsayılar oldukça büyük reel sayılardan oluşması nedeniyle 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, . . . , 𝑎77, 𝑎78, 𝑏1, 𝑏2, 𝑏3, . . . , 𝑏97, 𝑏98, 𝑐1,
47
𝑐2, 𝑐3, . . . , 𝑐97, 𝑐98, 𝑑1, 𝑑2, 𝑑3, . . . , 𝑑97 ve 𝑑98 şeklinde alfabetik olarak yazımı tercih edilmiştir.
Şekil 8. Haydn’ın Mi minör Piyano Sonatının Rasyonel Bézier Eğrisinin Görsel
Modeli
Şekil 8’da parametrik denklemleri 98. dereceden birer polinom fonksiyon olan 𝑃(𝑡) = (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) ile tanımlı Rasyonel Bézier eğrisinin grafiği çizilmiştir. Bu eğrinin x ekseni tanım aralığı [-20,29] olan nota yükseklikleri, y ekseni ise ses süreleri ile kodlanmıştır. Bulunan Rasyonel Bézier eğrisinin grafiği aracılığıyla eserin modeli oluşturulmuştur. Bu modelle de eserin sol partisinin pes sesleri temsil eden [-20, -1] aralığında artarak seyreder iken tiz seslerin yer aldığı [1, 20] aralıkta azalarak devam ederken 25 nota yüksekliğinde sonra hızlı artış gösterdiği edilmiştir.
48 MÜZİĞİN MATEMATİĞİ VE MÜZİK EĞİTİMİ
SONUÇLAR
Matematik ve müzik, bilimin ve sanatın iki önemli disiplinidir. Bu iki disiplin antik devirlerden itibaren karşılaştırılmış ve ilişkilendirilmiştir. Matematiğin iç disiplininde ve uyumunda estetik ve güzellik vardır. Matematikte işlemler arasında renkler, notalar ve sözcükler gibi uyumlu bir düzen bulunmaktadır. Problemin ya da teoremin ispatın da ki orijinallik, sıra dışılık ve çözüme ulaşabilme deki düşünme şekli matematiğin estetiğidir. Matematiğin estetiğini rahatlıkla fark edilebilecek bu çalışmada J Haydn’ın Mi minör Piyano Sonatını meydana getiren seslerin matematiksel kodlama yoluyla Rasyonel Bézier eğrileri kullanılarak görsel modelinin oluşturulmuştur. Rasyonel Bézier Eğri parametrik denkleminde ses yükseklikleri, ses değerleri ve frekans değerleri olarak kullanılmış ve buna bağlı müzik eserinin sağ ve sol partilerini temsil eden polinom fonksiyonların grafikleri çizilmiştir. Bu polinomların grafikleri ile eserin görsel modeli elde edilmiştir. Mi minör Piyano Sonatının görsel tasarımını gerçekleştiren eğrinin parametrik denklemleri 97. dereceden birer polinom fonksiyon olan 𝑃(𝑡) = (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) ile tanımlı Rasyonel Bézier eğrisidir Bu eğrinin x ekseni tanım aralığı [-20, 29] olan nota yükseklikleri, y ekseni ise ses süreleri ile kodlanmıştır. Bulunan Rasyonel Bézier eğrisinin grafiği aracılığıyla eserin modeli oluşturulmuştur. Bu modelle de eserin sol partisinin pes sesleri temsil eden [-20, -1] aralığında artarak seyreder iken tiz seslerin yer aldığı [1, 20] aralıkta azalarak devam ederken 25 nota yüksekliğinde sonra hızlı artış gösterdiği edilmiştir.
49
Pisagor’un seslerin frekansları arasındaki çeşitli sayısal oranları keşfiyle ortaya koyduğu sesler arasındaki ilişkilerin sistematik yapısı, müzik kuramının temelini oluşturmaktadır (Orhan, 1995). Bu çalışmada ise J Haydn’ın Mi minör Piyano Sonatını meydana getiren sağ ve sol el partilerinde kullanılan ses yükseklik ve nota ses değerlerinin görsel tasarımında grafik dönüşümlerinden olan öteleme dönüşümü olduğu görülmüştür.
50 MÜZİĞİN MATEMATİĞİ VE MÜZİK EĞİTİMİ
KAYNAKÇA
Battey B., 2019 Bézier Spline Modeling of Pitch-Continuous Melodic Expression and Ornamentation, Computer Music Journal, 28(4) , 25-39.
Bigerelle, M., Alain. I. 2000. Fractal dimension and classification of music. Chaos Solitons & Fractals, 11, 2179 – 2192.
Büke, A. 2005. Bach Yaşamı ve Eserleri. Kabalcı Yayınevi, İstanbul. Büke, A. ve Altınel, İ. 2006. Müziği Yaratanlar Barok Dönem. Globous
Dünya Basımevi, İstanbul.
Campbell, P. 1986. The music of digital computers. Nature, 324:523– 528.
Demirbatır R.E., Yağcı F., Ezentaş R. 2018. Matematiksel Kodlama Yoluyla A. Adnan Saygun’un “İnci” Adlı Piyano Parçasının Geometrik Modellemesi. Uluslararası Necatibey Egitim ve Sosyal Bilimler Arastırmaları Kongresi, Tam Metin Bildiri Kitabı, 26-28 Ekim 2018, Balıkesir. S. 483-492
Devlin, K. (2000). The math gene: How mathematical thinking evolved and why numbers are like gossip, Great Britain, Basic Books. Dönmez, B. M. ve Atan, A. 2016. Johann Sebastian Bach’ın Klavsen
Eserlerinde Anlatım Üslubu, İnönü Üniversitesi Sanat Ve Tasarım Dergisi, 211-233.
51
Farin G. 1997. Curves and Surfaces for Computer-Aided Geometric Design, Academic Press, London.