Para determinar o n´umero guloso de um grafo G pertencente aos (q, q − 4)-grafos, utiliza-
mos a decomposic¸˜ao primeval. Como explicamos anteriormente, depois de gerar a ´arvore de decomposic¸˜ao primeval, precisamos calcularΓpara as folhas. Para os v´ertices fracos, o c´alculo desse parˆametro ´e trivial.
Sabemos, pelo Teorema 4.3, que uma folha H p-componente separ´avel ou ´e uma aranha com R= /0 ou ´e um grafo com menos de q v´ertices. No primeiro caso, o Lema 5.1 enunciado
a seguir garante que podemos calcular Γ(H) em tempo linear. Por outro lado, se a folha for
um grafo H com menos de q v´ertices, podemos gerar todas as ordens poss´ıveis dos v´ertices do grafo e passar cada uma como entrada para o algoritmo guloso (≤ q! ordens), produzindo dessa
Lema 5.1 [35] Seja G um grafo com n v´ertices. Se G ´e uma aranha eΓ(R) ´e dado, ent˜aoΓ(G)
pode ser determinado em tempo linear.
As trˆes operac¸˜oes da decomposic¸˜ao primeval s˜ao 0✐(uni˜ao disjunta), 1✐(junc¸˜ao) e 2✐. ´E
conhecido que se G ´e a uni˜ao disjunta de dois grafo G1e G2, ent˜aoΓ(G) = max{Γ(G1),Γ(G2)},
e se G ´e a junc¸˜ao de dois grafos G1e G2, ent˜aoΓ(G) =Γ(G1) +Γ(G2) [42].
A determinac¸˜ao do n´umero guloso para a operac¸˜ao 2✐no caso em que a p-componente
separ´avel ´e uma aranha ´e dada no Lema 5.1.
Neste trabalho, calculamos Γ para a operac¸˜ao 2✐, no caso em que a p-componente se-
par´avel ´e um grafo com menos de q v´ertices. O Lema 5.2 ´e fundamental para a resoluc¸˜ao dessa operac¸˜ao.
Lema 5.2 [10] Um grafo p-conexo G ´e separ´avel se, e somente se, o seu grafo quociente ´e um
grafo split.
Se o grafo quociente de uma p-componente separ´avel H ´e o grafo split(K, S), ent˜ao todo
m´odulo maximal forte Mi1⊆ H1 ´e representado por um v´ertice v1i na clique K, e todo m´odulo
maximal forte M2j ⊆ H2 ´e representado por um v´ertice v2jno conjunto independente S. Dizemos
que H[Mi
j] = Hij.
Existe uma relac¸˜ao entre o n´umero guloso de um grafo e o n´umero guloso dos seus m´odulos, como mostra a Proposic¸˜ao 5.1.
Proposic¸˜ao 5.1 [35] Sejam G, H1, . . . , Hn grafos disjuntos tais que |V (G)| = n e V (G) = {v1, . . . , vn}. Seja G′ o grafo obtido pela substituic¸˜ao do v´ertice vi∈ V (G) por Hi, de forma
que existem todas as arestas entre os v´ertices de Hi e Hj, i6= j, se e somente se vivj ∈ E(G).
Ent˜ao, em toda colorac¸˜ao gulosa de G′, no m´aximo Γ(Hi) cores ocorrem em cada subgrafo
induzido Hi⊆ G′, para todo i∈ {1, . . . , n}.
Observe que, de acordo com a Proposic¸˜ao 5.1, uma colorac¸˜ao gulosa de um grafo G restrita aos seus m´odulos tamb´em ´e gulosa para eles. O seguinte lema ´e uma generalizac¸˜ao de um resultado mostrado em [43].
Lema 5.3 Seja G um grafo e M um m´odulo de G tal que G[M] = H. Seja G′ o grafo obtido pela substituic¸˜ao de H por Kk, onde k ´e a quantidade de cores que aparecem em H em uma colorac¸˜ao gulosa de G que geraΓ(G). Ent˜aoΓ(G) =Γ(G′).
Demonstrac¸˜ao: Seja c a colorac¸˜ao que geraΓ(G) e A = {α1, . . .,αk} o conjunto de cores de c
que aparece em H. Denote os v´ertices do grafo completo que substitui H em G′por w1, . . ., wk
e denote por c′ a colorac¸˜ao de G′ definida por c′(G − Kk) = c(G − H) e c′(wi) =αi, para todo
1≤ i ≤ k. ´E f´acil ver que c′ ´e uma colorac¸˜ao gulosa de G′. Ent˜aoΓ(G′) ≥Γ(G).
Note que, pela Proposic¸˜ao 5.1, existe uma k-colorac¸˜ao gulosa de H e seja(S1, . . . , Sk) essa
k-colorac¸˜ao gulosa. Seja c umaΓ(G′)-colorac¸˜ao gulosa de G′. Denote por B= {β1, . . . ,βk} o
conjunto de cores que aparecem em Kkcomβ1< . . . <βk. Seja c′a colorac¸˜ao de G que atribui
a corβiaos v´ertices de Si, para todo 1≤ i ≤ k, e c′(G − H) = c(G − Kk). Claramente, c′ ´e uma
colorac¸˜ao gulosa de G. Logo,Γ(G) ≥Γ(G′).
Denotamos por θH uma ordem que dada como entrada para o algoritmo guloso, produz
uma colorac¸˜ao comΓ(H) para H. Em particular, denotamos porθijuma ordem que produz uma colorac¸˜ao comΓ(Hij) cores para Hij.
Observe que, no grafo H, H1 ´e a junc¸˜ao de H11, . . . , Hl1, uma vez que, entre os grafos in-
duzidos por dois m´odulos de um mesmo grafo, ou existem todas as arestas ou nenhuma, e
H11, . . . , H1
l s˜ao os grafos induzidos pelos m´odulos maximais fortes de H1(Figura 5.3(a)). Logo,
Γ(H1) ´e o n´umero guloso da junc¸˜ao dos grafos H11, . . . , Hl1, que ´e∑li=1Γ(Hi1). Da mesma forma,
o n´umero guloso de um Hi2em H2 com sua vizinhanc¸a em H1ser´a o n´umero guloso da junc¸˜ao
desses grafos (Figura 5.3(b)). O Teorema 5.2 ´e o resultado principal desta sec¸˜ao.
(a) (b)
Figura 5.3: Grafo H.
Teorema 5.2 Seja G um(q, q − 4)-grafo contendo um p-componente separ´avel H = (H1, H2)
com no m´aximo q v´ertices tal que todo v´ertice em R= G − H ´e adjacente a todo v´ertice em H1
e a nenhum v´ertice em H2. Sejam H11, . . . , Hl1os m´odulos maximais fortes de H1e H12, . . . , Hm2
os m´odulos maximais fortes de H2. Dadosχ(R) eΓ(R):
(b) SeΓ(R) < max1≤i≤mΓ(Hi2),Γ(G) =Γ(H 2✐KΓ(R)).
Demonstrac¸˜ao: (a) Uma ordem que comec¸a porθR,θ11, . . . ,θ1l dada como entrada para o al-
goritmo guloso produz uma colorac¸˜ao gulosa de G com pelo menos Γ(R) +∑l
i=1Γ(Hi1) co-
res, uma vez que G[H1∪ V (R)] ´e a junc¸˜ao de R, H11, . . . , Hl1. Ent˜ao, temos que provar que
Γ(G) ≤Γ(R) +∑li=1Γ(H1
i). Suponha por absurdo que existe uma colorac¸˜ao gulosa c de G com
mais queΓ(R) +∑li=1Γ(H1
i) cores e seja cmax a maior cor em em c. Considere os seguintes
casos:
1. Existe um v´ertice v∈ R colorido com cmax:
Seja c′= c(G[H1∪ V (R)]). Todas as cores em c devem aparecer em c′, uma vez que v,
por ser colorido com cmax, ´e adjacente a v´ertices coloridos com todas as cores diferentes
de cmax e, al´em disso, um v´ertice em R tem vizinhos somente em G[H1∪ V (R)]. Logo,
c′ tem mais de Γ(R) +∑li=1Γ(H1
i) cores. Note que c′ n˜ao ´e uma colorac¸˜ao gulosa para
G[H1∪V (R)], porque uma colorac¸˜ao gulosa para G[H1∪V (R)] tem no m´aximoΓ(R) +
∑l
i=1Γ(Hi1) cores, dado que G[H1∪ V (R)] ´e a junc¸˜ao de R, H11, . . . , Hl1. Portanto, existe
um v´ertice u∈ G[H1∪ V (R)] com a cor cu que n˜ao tem vizinho colorido com ck em
G[H1∪V (R)], para algum ck< cu. Tal v´ertice deve est´a em H1, pois todos os vizinhos dos
v´ertices em R est˜ao em G[H1∪V (R)]. Ent˜ao, u ∈ Hi1tem um vizinho w∈ H2j com a cor
cw= ck. Note que existem todas as arestas entre Hi1e H2j. Algum v´ertice z∈ G[H1∪V (R)]
tamb´em recebe a cor ck. ´E f´acil ver que z∈ R, caso contr´ario u teria um vizinho em/
G[H1∪ V (R)] com a cor ck, uma vez que todo v´ertice de R ´e adjacente a todo v´ertice
de H1. Pelo Lema 5.2, existem todas as arestas poss´ıveis entre dois m´odulos de H1.
Dessa forma, z∈ H/ s1, para s 6= i, porque tamb´em nesse caso u j´a teria um vizinho em
G[H1∪V (R)] colorido com ck. Portanto, z∈ Hi1e, consequentemente, z ´e adjacente a w,
uma vez que existem todas as arestas poss´ıveis entre Hi1e H2j. Mas ambos s˜ao coloridos com a cor cke essa colorac¸˜ao n˜ao seria pr´opria.
2. Existe um v´ertice v∈ H2colorido com cmax:
Seja um v´ertice v∈ H2
s, para algum s∈ {1, . . . , m}, e c′= c(G[V (Hs2) ∪ N(Hs2)]). Todas as
cores em c devem aparecer em c′, dado que v tem que ser adjacente a v´ertices coloridos com todas as cores diferentes de cmax e um v´ertice em Hs2 tem vizinhos somente em
G[V (H2
s) ∪ N(Hs2)]. Ent˜ao, c′ tem mais deΓ(R) +∑li=1Γ(Hi1) cores. Note que Γ(R) ≥
max1≤i≤mΓ(Hi2) implica emΓ(R) ≥Γ(Hs2). Portanto,Γ(Hs2) +∑i∈N(H2
s)Γ(H 1
i) ≤Γ(R) +
∑l
i=1Γ(Hi1). Ent˜ao c′ n˜ao ´e uma colorac¸˜ao gulosa para G[V (Hs2) ∪ N(Hs2)], pois uma
colorac¸˜ao gulosa para G[V (H2
s) ∪ N(Hs2)] tem no m´aximoΓ(Hs2) +∑i∈N(H2
s)Γ(H 1
vez que G[V (Hs2) ∪ N(Hs2)] ´e a junc¸˜ao de Hs2, H1i,∀i ∈ N(Hs2). Assim, existe um v´ertice
u∈ G[V (H2
s) ∪ N(Hs2)] colorido com a cor cu que n˜ao tem vizinho colorido com ck em
G[V (H2
s) ∪ N(Hs2)], para algum ck < cu. Tal v´ertice deve pertencer a H1, pois todos os
vizinhos dos v´ertices de H2 est˜ao em G[V (Hs2) ∪ N(Hs2)]. Ent˜ao, u ∈ Hi1, onde Hi1 ∈
N(Hs2), tem um vizinho w ∈ R colorido com cw = ck. Observe que algum v´ertice z ∈ (V (H2
s) ∪ N(Hs2)) tamb´em ´e colorido com ck. ´E f´acil ver que z∈ H/ s2. Caso contr´ario, u
j´a teria um vizinho em G[V (H2
s) ∪ N(Hs2)] colorido ck uma vez que todo v´ertice de Hs2 ´e
adjacente a todo v´ertice de N(H2
s). Pela mesma raz˜ao, z /∈ H1j, para j6= i e j ∈ N(Hs2).
Portanto z∈ Hi1, mas existem todas as arestas poss´ıveis entre Hi1e R, o que faz com que
w e z sejam vizinhos. Por´em ambos w e z s˜ao coloridos com ck, e essa colorac¸˜ao seria
impr´opria.
3. Existe um v´ertice v∈ H1colorido com cmax:
Para receber uma cor maior que Γ(R) +∑l
i=1Γ(Hi1), v deve ter pelo menos Γ(R) +
∑l
i=1Γ(Hi1) vizinhos com cores diferentes. Da sua vizinhanc¸a em R, v tem no m´aximo
Γ(R) vizinhos com cores diferentes, por 5.1. Da vizinhanc¸a de v em Hi1, para i∈ {1, . . ., l},
v tem no m´aximo∑li=1Γ(H1
i) − 1 (sua pr´opria cor), tamb´em por 5.1. Logo, uma nova cor
cn deve aparecer em um v´ertice w∈ H2j, onde V(H2j) ∈ N(v). Uma vez que os v´ertices
em R n˜ao possuem nenhum vizinho em H2, cndeve ser maior que todas as cores de R e w
deve ser vizinho de v´ertices coloridos com todas as cores de R. Todas essas cores devem aparecer em H2j, pois os vizinhos de w fora de H2j s˜ao v´ertices de H1, todos vizinhos de
todos os v´ertices de R e, portanto, com as cores diferentes das dos v´ertices de R. Sabe- mos que em H2j aparecem no m´aximoΓ(H2
j) cores, ent˜ao w tem no m´aximoΓ(H2j) − 1
vizinhos que recebem cores diferentes em H2j. Mas sabemos queΓ(H2j) ≤Γ(R) implica
emΓ(H2
j) − 1 <Γ(R). Ent˜ao, todas as cores de R n˜ao podem aparecer na vizinhanc¸a de
w, e tal v´ertice n˜ao pode receber uma cor nova.
(b) Uma vez queΓ(R) < max1≤i≤mΓ(Hi2), em umaΓ(G)-colorac¸˜ao gulosa de G, por 5.1,
existem p< q cores em R. N˜ao sabemos o valor exato de p, mas sabemos que p vai deχ(R) a
Γ(R). Por 5.3, podemos substituir R por uma grafo completo com p vertices e podemos obter
todas as ordens poss´ıveis dos v´ertices de G, que s˜ao(q + p)! no total. Ent˜ao, podemos calcular