3.3 R 4 1 Uzayında Farklı Frenet C ¸ atıları ic¸in Spacelike E˘griler ve Karakteriza-
3.3.3 R 4 1 Minkowski Uzayında (3.3.5) Frenet c¸atısı ile verilen Spacelike
e−
Rk3(s)ds
Z e
Rk3(s)dsk2(s) k1(s)ds
B1+
k10(s) k21(s)k2(s)
B2 s¸eklinde olmasıdır. Burada α nın e˘grilik fonksiyonları
k100(s)k21(s) − k10(s)[k02(s)k21(s) + 2k1(s)k01(s) − k22(s)k3(s)] = 0 denklemini sa˘glar.
3.3.3 R41Minkowski Uzayında (3.3.5) Frenet c¸atısı ile verilen Spacelike E˘grilerin Bazı Alt Uzaylarda Kalması ˙Ic¸in Karakterizasyonlar
Bu b¨ol¨umde spacelike e˘grilerin R41uzayının bazı alt uzaylarında kalması ic¸in gerekli bazı karakterizasyonlar aras¸tırılacaktır. α e˘grisi, R41uzayında {T, N, B1, B2} Frenet c¸atısı ile verilen spacelike bir e˘gri olsun.
1.Durum Spacelike bir α e˘grisinin {T, N} tarafından gerilen alt uzayda kalması ic¸in s¸artlar aras¸tırılacaktır. Bu durumda s parametresine ba˘glı λ ve µ diferensiyellenebilir fonksiyonları ic¸in
α(s) = λ(s)T + µ(s)N (3.3.128)
yazılabilir. (3.3.128) denkleminde s ye g¨ore t¨urev alınıp (3.3.5) Frenet denklemleri kul-lanılırsa
α0(s) = λ0(s)T + (λ(s)k1(s) + µ0(s))N + µ(s)k2(s)B2 (3.3.129) elde edilir. Bu son es¸itlikten as¸a˘gıdaki denklemler yazılabilir:
λ0(s) = 1, λ(s)k1(s) + µ0(s) = 0,
µ(s)k2(s) = 0.
(3.3.130)
E˘ger µ(s) = 0 ise k1(s) = 0 ve λ(s) = s + c olur. Buradan
α(s) = (s + c)T (3.3.131)
dir. Bu ise α e˘grisinin spacelike bir do˘gru olmasını gerektirir. E˘ger k2(s) = 0 ise o zaman µ(s) = −R(s + c)k1(s)ds bulunur. B¨oylece
α(s) = (s + c)T −
Z
(s + c)k1(s)ds
N (3.3.132)
olup as¸a˘gıdaki teorem verilebilir.
Teorem 3.3.21. Bir α spacelike e˘grisinin R41 uzayının {T, N} ile gerilen alt uzayında kalması ic¸in gerek ve yeter s¸art ya α e˘grisinin bir spacelike do˘gru olması veya k2(s) = 0 olmak ¨uzere
α(s) = (s + c)T −
Z
(s + c)k1(s)ds
N
s¸eklinde olmasıdır.
2.Durum Spacelike bir α e˘grisinin {T, B1} tarafından gerilen alt uzayda kalması ic¸in s¸artlar aras¸tırılacaktır. Bu durumda s parametresine ba˘glı λ ve µ diferensiyellenebilir fonksiyonları ic¸in
α(s) = λ(s)T + µ(s)B1 (3.3.133)
yazılabilir. (3.3.133) denkleminde s ye g¨ore t¨urev alınıp (3.3.5) Frenet denklemleri kul-lanılırsa
α0(s) = (λ0(s) − µ(s)k1(s))T + λ(s)k1(s)N + µ0(s)B1+ µ(s)k3(s)B2 (3.3.134) elde edilir. Bu son es¸itlikten
λ0(s) − µ(s)k1(s) = 1, λ(s)k1(s) = 0, µ(s)k3(s) = 0,
µ0(s) = 0,
(3.3.135)
bulunur. λ(s)k1(s) = 0 denklemi g¨oz ¨on¨une alınırsa e˘ger λ(s) = 0 ise o zaman µ(s) =
−k1
1(s)= sbt. ve k3(s) = 0 olur. B¨oylece α(s) = − 1
k1(s)B1 (3.3.136)
s¸eklindedir. E˘ger k1(s) = 0 ve µ(s) = 0 ise λ(s) = s + c olur. B¨oylece
α(s) = (s + c)T (3.3.137)
s¸eklindedir. Bu ise α e˘grisinin spacelike bir do˘gru olmasını gerektirir. E˘ger k1(s) = k3(s) = 0 ise o zaman µ(s) = c2ve λ(s) = s + c1bulunur. B¨oylece
α(s) = (s + c1)T + c2B1 (3.3.138) olup as¸a˘gıdaki teorem verilebilir.
Teorem 3.3.22. Bir α spacelike e˘grisinin R41 uzayının {T, B1} ile gerilen alt uzayında kalması ic¸in gerek ve yeter s¸art ya k3(s) = 0 olmak ¨uzere
α(s) = − 1 k1(s)B1
veya α nın spacelike bir do˘gru olması yada k1(s) = k3(s) = 0 olmak ¨uzere
α(s) = (s + c1)T + c2B1 s¸eklinde olmasıdır.
3.Durum Spacelike bir α e˘grisinin {T, B2} tarafından gerilen alt uzayda kalması ic¸in s¸artlar aras¸tırılacaktır. Bu durumda s parametresine ba˘glı λ ve µ diferensiyellenebilir fonksiyonları ic¸in
α(s) = λ(s)T + µ(s)B2, (3.3.139)
yazılabilir. (3.3.139) denkleminde s ye g¨ore t¨urev alınıp (3.3.5) Frenet denklemleri kul-lanılırsa
α0(s) = λ0(s)T + (λ(s)k1(s) − µ(s)k3(s))N − µ(s)k2(s)B1+ µ0(s)B2 (3.3.140)
elde edilir. Buradan
λ0(s) = 1,
λ(s)k1(s) − µ(s)k3(s) = 0, µ(s)k2(s) = 0,
µ0(s) = 0,
(3.3.141)
olur. Yukarıdaki ¨uc¸¨unc¨u denklemden e˘ger µ(s) = 0 ise o zaman λ(s) = s + c ve k1(s) = 0 olur. B¨oylece
α(s) = (s + c)T (3.3.142)
s¸eklindedir. Bu ise α nin spacelike bir do˘gru olmasını gerektirir. E˘ger k2(s) = 0 ise o zaman λ(s) = s + c1ve µ(s) = c2olur. B¨oylece
α(s) = (s + c1)T + c2B2 (3.3.143) olup as¸a˘gıdaki teorem verilebilir.
Teorem 3.3.23. R41 uzayındaki bir α spacelike e˘grisinin {T, B2} ile gerilen alt uzayında kalması ic¸in gerek ve yeter s¸art ya α nın R41 uzayında spacelike bir do˘gru olması veya k2(s) = 0 olmak ¨uzere
α(s) = (s + c1)T + c2B2 olmasıdır. Burada e˘grilik fonksiyonları kk1(s)
3(s) =s+cc2
1 denklemini sa˘glar.
4.Durum Spacelike bir α e˘grisinin {N, B1} tarafından gerilen alt uzayda kalması ic¸in s¸artlar aras¸tırılacaktır. Bu durumda s parametresine ba˘glı λ ve µ diferensiyellenebilir fonksiyonları ic¸in
α(s) = λ(s)N + µ(s)B1 (3.3.144)
yazılabilir. (3.3.144) denkleminde s ye g¨ore t¨urev alınıp (3.3.5) Frenet denklemleri kul-lanılırsa
α0(s) = −µ(s)k1(s)T + λ0(s)N + µ0(s)B1+ (λ(s)k2(s) + µ(s)k3(s))B2 (3.3.145)
elde edilir. Bu son es¸itlikten as¸a˘gıdaki denklemler yazılabilir:
−µ(s)k1(s) = 1, λ0(s) = 0, µ0(s) = 0,
λ(s)k2(s) + µ(s)k3(s) = 0.
(3.3.146)
Buradan λ(s) = c1ve µ(s) = −k1
1(s)= c2olur. B¨oylece α(s) = c1N− 1
k1(s)B1 (3.3.147)
olup as¸a˘gıdaki teorem verilebilir.
Teorem 3.3.24. Bir α spacelike e˘grisinin R41 uzayının {N, B1} ile gerilen alt uzayında kalması ic¸in gerek ve yeter s¸art
α(s) = c1N− 1 k1(s)B1
s¸eklinde olmasıdır. Burada e˘grilik fonksiyonları c1k2(s) + c2k3(s) = 0 denklemini sa˘glar.
5.Durum Spacelike bir α e˘grisinin {N, B2} tarafından gerilen alt uzayda kalması ic¸in s¸artlar aras¸tırılacaktır. Bu durumda s parametresine ba˘glı λ ve µ diferensiyellenebilir fonksiyonları ic¸in
α(s) = λ(s)N + µ(s)B2 (3.3.148)
yazılabilir. (3.3.148) denkleminde s ye g¨ore t¨urev alınıp (3.3.5) Frenet denklemleri kul-lanılırsa
α0(s) = (λ0(s) − µ(s)k3(s))N − µ(s)k2(s)B1+ (λ(s)k2(s) + µ0(s))B2 (3.3.149) α spacelike bir e ˘gri oldu˘gundan, (3.3.149) g¨oz ¨on¨une alındı˘gında bir c¸elis¸ki ortaya c¸ıkar.
B¨oylece as¸a˘gıdaki teorem verilebilir.
Teorem 3.3.25. R41 uzayının {N, B2} ile gerilen alt uzayında yatan bir spacelike e˘gri yoktur.
6.Durum Spacelike bir α e˘grisinin {B1, B2} tarafından gerilen alt uzayda kalması ic¸in s¸artlar aras¸tırılacaktır. Bu durumda s parametresine ba˘glı λ ve µ diferensiyellenebilir fonksiyonları ic¸in
α(s) = λ(s)B1+ µ(s)B2 (3.3.150)
yazılabilir. (3.3.150) denkleminde s ye g¨ore t¨urev alınıp (3.3.5) Frenet denklemleri kul-lanılırsa
α0(s) = −λ(s)k1(s)T − µ(s)k3(s)N + (λ0(s) − µ(s)k2(s))B1+ (λ(s)k3(s) + µ0(s))B(3.3.151)2 elde edilir. Buradan
−λ(s)k1(s) = 1, µ(s)k3(s) = 0, λ0(s) − µ(s)k2(s) = 0, λ(s)k3(s) + µ0(s) = 0,
(3.3.152)
bulunur. Yukarıdaki ikinci denklemden e˘ger µ(s) = 0 ise o zaman λ(s) = −k1
1(s) olur.
B¨oylece
α(s) = − 1
k1(s)B1 (3.3.153)
s¸eklindedir. E˘ger k3(s) = 0 ise µ(s) = k01(s)
k21(s)k2(s)= sbt dir. B¨oylece α(s) = (− 1
k1(s))B1+ ( k10(s)
k21(s)k2(s))B2 (3.3.154) olup as¸a˘gıdaki teorem verilebilir.
Teorem 3.3.26. Bir α spacelike e˘grisinin R41 uzayının {B1, B2} ile gerilen alt uzayında kalması ic¸in gerek ve yeter s¸art
α(s) = − 1 k1(s)B1 veya k3(s) = 0 olmak ¨uzere
α(s) = (− 1
k1(s))B1+ ( k10(s) k21(s)k2(s))B2 s¸eklinde olmasıdır.
7.Durum Spacelike bir α e˘grisinin {T, N, B1} tarafından gerilen alt uzayda kalması ic¸in s¸artlar aras¸tırılacaktır. Bu durumda s parametresine ba˘glı λ, µ ve γ diferensiyel-lenebilir fonksiyonları ic¸in
α(s) = λ(s)T + µ(s)N + γ(s)B1 (3.3.155) yazılabilir. (3.3.155) denkleminde s ye g¨ore t¨urev alınıp (3.3.5) Frenet denklemleri kul-lanılırsa
α0(s) =(λ0(s) − γ(s)k1(s))T + (λ(s)k1(s) + µ0(s))N
+ γ0(s)B1+ (µ(s)k2(s) + γ(s)k3(s))B2 (3.3.156) elde edilir. Bu son es¸itlikten
olup as¸a˘gıdaki teorem verilebilir.
Teorem 3.3.27. Bir α spacelike e˘grisinin R41uzayının{T, N, B1} ile gerilen alt uzayında kalması ic¸in gerek ve yeter s¸art c1sabit olmak ¨uzere
α(s) =
8.Durum Spacelike bir α e˘grisinin {T, N, B2} tarafından gerilen alt uzayda kalması ic¸in s¸artlar aras¸tırılacaktır. Bu durumda s parametresine ba˘glı λ, µ ve γ diferensiyel-lenebilir fonksiyonları ic¸in
α(s) = λ(s)T + µ(s)N + γ(s)B2 (3.3.159) yazılabilir. (3.3.159) denkleminde s ye g¨ore t¨urev alınıp (3.3.5) Frenet denklemleri kul-lanılırsa
α0(s) =λ0(s)T + (λ(s)k1(s) + µ0(s) − γ(s)k3(s))N + γ(s)k2(s)B1
+ (γ0(s) + µ(s)k2(s))B2 (3.3.160)
elde edilir. Bu son es¸itlikten as¸a˘gıdaki denklemler yazılabilir:
λ0(s) = 1,
λ(s)k1(s) + µ0(s) − γ(s)k3(s) = 0, γ(s)k2= 0,
γ
0(s) + µ(s)k2(s) = 0.
(3.3.161)
Buradan λ(s) = s + c olur. E˘ger γ(s) = 0 ise
µ(s)k2(s) = 0 (3.3.162)
λ(s)k1(s) + µ0(s) = 0
denklemleri elde edilir. (3.3.162) den e˘ger µ(s) = 0 ise o zaman λ(s) = s + c1ve k1(s) = 0 olur. B¨oylece
α(s) = (s + c1)T (3.3.163)
s¸eklindedir. Bu ise α nin spacelike bir do˘gru olmasını gerektirir. E˘ger k2(s) = 0 ise o zaman
µ(s) = − Z
(s + c1)k1(s)ds + c2 (3.3.164)
bulunur. B¨oylece
olup as¸a˘gıdaki teorem verilebilir.
Teorem 3.3.28. Bir α spacelike e˘grisinin R41uzayının{T, N, B2} ile gerilen alt uzayında kalması ic¸in gerek ve yeter s¸art ya α nın R41 uzayında spacelike bir do˘gru olması veya k2(s) = 0 olmak ¨uzere
9.Durum Spacelike bir α e˘grisinin {T, B1, B2} tarafından gerilen alt uzayda kalması ic¸in s¸artlar aras¸tırılacaktır. Bu durumda s parametresine ba˘glı λ, µ ve γ diferensiyel-lenebilir fonksiyonları ic¸in
α(s) = λ(s)T + µ(s)B1+ γ(s)B2 (3.3.167) yazılabilir. (3.3.167) denkleminde s ye g¨ore t¨urev alınıp (3.3.5) Frenet denklemleri kul-lanılırsa
α0(s) =(λ0(s) − µ(s)k1(s))T + (λ(s)k1(s) − γ(s)k3(s))N (3.3.168) + (µ0(s) − γ(s)k2(s))B1+ (µ(s)k3(s) + γ0(s))B2
elde edilir. Buradan
elde edilir. Yukarıdaki birinci denklemden dλ(s)ds +k1(s)
k3(s)γ0(s) = 1 bulunur. Bu son es¸itlikten
1(u)dude˘gis¸ken de˘gis¸tirmesi yapılırsa 2dγ(t)
dt = 1 (3.3.171)
bulunur. (3.3.171) denkleminin c¸¨oz¨um¨unden γ(t) = 2t + c elde edilir. Son es¸itlikte t=R kk3(u)
1(u)duyerine yazılırsa
γ(s) = 1
bulunur. E˘ger (3.3.172) denklemi (3.3.169) da yerine yazılırsa µ(s) = −2k1
1(s) ve
olup as¸a˘gıdaki teorem verilebilir.
Teorem 3.3.29. Bir α spacelike e˘grisinin R41uzayının{T, B1, B2} ile gerilen alt uzayında kalması ic¸in gerek ve yeter s¸art
α(s) = k3(s)
10.Durum Spacelike bir α e˘grisinin {N, B1, B2} tarafından gerilen alt uzayda kalması ic¸in s¸artlar aras¸tırılacaktır. Bu durumda s parametresine ba˘glı λ, µ ve γ difer-ensiyellenebilir fonksiyonları ic¸in
α(s) = λ(s)N + µ(s)B1+ γ(s)B2 (3.3.175) yazılabilir. (3.3.175) denkleminde s ye g¨ore t¨urev alınıp (3.3.5) Frenet denklemleri kul-lanılırsa
α0(s) = − µ(s)k1(s)T + (λ0(s) − γ(s)k3(s))N + (µ0(s) − γ(s)k2(s))B1 (3.3.176) + (λ(s)k2(s) + µ(s)k3(s) + γ0(s))B2
elde edilir. Bu son es¸itlikten as¸a˘gıdaki denklemler yazılabilir:
k21(s)k2(s) denklemi ve (3.3.177) nin d¨ord¨unc¨u denklemi g¨oz ¨on¨une alınırsa
λ(s) = k3(s) olup as¸a˘gıdaki teorem verilebilir.
Teorem 3.3.30. Bir α spacelike e˘grisinin R41uzayının{N, B1, B2} ile gerilen alt uzayında kalması ic¸in gerek ve yeter s¸art
α(s) =