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A principal hipótese para geração de séries sintéticas de vazão é que os eventos são gerados por um processo estocástico estacionário. Ou seja, os parâmetros estatísticos que caracterizam a população não devem variar ao longo do tempo.

Além disso, a teoria estatística desenvolvida para a análise de séries temporais assume a hipótese de que os resíduos aleatórios dessas séries sejam normalmente distribuídos. Para a normalização das séries, pode-se aplicar a transformação logarítmica ou a transformação de Box-Cox.

A literatura sobre a modelagem e o tratamento de séries temporais é muito vasta. Uma das referências mais importantes sobre o tema é devida a Box et Jenkins (1976). Nessa obra, os autores apresentam uma série de modelos estocásticos e definem os principais métodos e análises utilizadas para a seleção de modelos, estimação de parâmetros, transformações, testes de hipótese, etc.

Outra referência importante em hidrologia estocástica é de autoria de Salas (1993). Nessas duas referências, são descritos os modelos AR (auto- regressivo) e ARMA (auto-regressivo e de médias móveis), que são os mais utilizados em hidrologia e em muitas outras áreas, com algumas adaptações, dependendo do tipo da série temporal e da aplicação da modelagem. Também existem os modelos MA (médias móveis) e ARIMA (auto-regressivo e de médias móveis, integrado).

O modelo AR de ordem p, que normalmente é designado por AR(p), é apresentado em Salas (1993) como segue:

∑

yt = variável aleatória modelada, ou seja, a série temporal em estudo;

p = “lag” ou ordem do modelo, indica o grau de autocorrelação temporal;

εt = ruído sem correlação - variável aleatória normalmente distribuída com

média zero e desvio padrão σε.

Uma vez que εt é normalmente distribuído, yt também o é. Os parâmetros do

modelo são µ, φ1, φ2, ...,φp e σε.. O parâmetro µ pode ser estimado pela média da série yt e os demais parâmetros do modelo são estimados pelas chamadas equações de Yule-Walker. Todas essas equações são apresentadas em detalhe nas referências citadas.

Segundo Salas, os modelos AR de baixa ordem como o AR(1) são largamente utilizados para modelagem de séries de hidrológicas anuais, e até mesmo sazonais, após a retirada da sazonalidade das séries originais. Os modelos ARMA com p parâmetros auto-regressivos e q parâmetros de médias móveis, conhecidos como ARMA(p,q), são apresentados pelo autor, conforme o seguinte equacionamento:

j t q j j t t p j t y y ₋ = − =

∑

∑

O último termo à direita na eq.(33) é o termo de médias móveis. Os demais termos correspondem à parcela auto-regressiva do modelo, conforme indicado na eq.(32). Os parâmetros de médias móveis são θ1, θ2,..., θq. Um modelo apenas de médias móveis MA(q) apresenta apenas os termos correspondentes, ou seja, o último termo da eq.(33).

Da mesma forma como ocorre com os modelos AR de baixa ordem, os modelos ARMA também são freqüentemente utilizados para modelagem de séries hidrológicas anuais e sazonais. No caso das séries sazonais (mensais ou semanais) deve-se retirar os efeitos da sazonalidade, que é uma das formas de não estacionariedade.

As equações para estimativas dos parâmetros dos modelos ARMA são também apresentadas em Salas (1993).

Como já visto, a hipótese básica e fundamental para a aplicação de modelos estocásticos é que os processos modelados sejam estacionários. As séries hidrológicas são estacionárias caso não apresentem tendência, shifts (alterações bruscas nos parâmetros estatísticos) ou periodicidade. As séries de vazões médias anuais, desde que não apresentem tendência ou shifts, são, em geral, estacionárias. Por outro lado, as séries de vazões médias mensais, devido ao caráter sazonal do ciclo hidrológico, são periódicas e, portanto, não estacionárias por natureza.

A técnica para a remoção da sazonalidade na média e na variância das séries, conhecida como padronização, é dada por:

M M M M s y y z = − (34) onde

M= indica um dado mês do ano: janeiro, fevereiro, março, etc.;

zM = variável aleatória padronizada sazonal;

yM = vazões no mês M;

M

y = média das vazões no mês M;

sM = desvio padrão das vazões no mês M.

Uma forma de se tratar com séries sazonais é aplicar os chamados modelos periódicos PAR e PARMA, descritos também em Salas (1993), onde são consideradas as estruturas de correlação mês a mês e não seqüencialmente, como nos modelos AR e ARMA.

Outra forma é a aplicação de modelos com base em séries anuais e posterior desagregação a nível mensal. O autor descreve, entre outros

métodos, o de Valencia et Schaake (1973), também aplicado por Barros (1984). Esse método permite a desagregação de um vetor de n séries anuais correspondentes a n locais diferentes, em séries mensais. Dessa forma, é um método adequado para a geração multivairada de vazões, ou seja, quando a vazão num determinado ponto exibe algum nível de correlação com vazões em outros pontos de uma bacia ou de um sistema. É um modelo baseado na preservação das correlações temporais e cruzadas. Os modelos AR e ARMA mutivariados são muito similares aos utilizados para séries isoladas. Eles seguem os mesmos princípios e estão apoiados nas mesmas hipóteses de normalidade e estacionariedade. A notação escalar é substituída por vetores e matrizes, referentes a médias, variâncias e covariâncias.

A seleção de um determinado tipo de modelo para geração de séries sintéticas ou para a previsão de vazões depende das características das séries a serem modeladas. Em geral, devem ser analisadas as questões de estacionariedade e normalidade, as estruturas de autocorrelação temporal, as correlações espaciais, etc. A partir daí, são estimados os parâmetros do modelo e, então, são geradas as séries em número e extensão adequadas ao estudo.

Conforme definido em 4.1.2, o período de análise adotado neste estudo é de seis anos.

Para se definir o número de séries a serem geradas, Peng et Buras (2000) propõem que sejam gerados dois conjuntos de dados com o mesmo número de séries em cada um deles. Após o processamento do modelo de otimização considerando cada conjunto de dados, são calculadas as distribuições de probabilidades das variáveis de decisão resultantes da aplicação de cada conjunto e comparadas as suas formas. Na medida em que as formas dessas duas distribuições não são significantemente diferentes, não há benefício em se aumentar o número de séries geradas.

Salas (1993) indica um critério baseado no teorema de Kolmogorov. Nesse caso, o interesse na geração das séries sintéticas é representar com precisão a distribuição de probabilidades de alguma variável aleatória, que no caso da modelagem de reservatórios são as variáveis de decisão resultantes do modelo de otimização. Segundo esse critério,

95 , 0 ) / 36 , 1 | ˆ | (max F −F < m =

P indica que a diferença máxima absoluta

entre as distribuições amostral (Fˆ ) e populacional (F) é menor que

m / 36 ,

1 com probabilidade igual a 95%. Para o caso de se utilizar 1000 séries sintéticas (m=1000), o erro na estimativa da distribuição de probabilidades é menor que 0,043 com probabilidade igual a 0,95.

Conover (1980) apresenta uma formulação para o teste de Kolmogorov- Smirnov para testar se duas amostras independentes e com tamanhos m e n

seguem a mesma distribuição cumulativa de probabilidades. Nesse caso, é calculada a estatística D = max |F(x) – G(x)| e comparada com os valores críticos do teste que, para os níveis de significância de 95% e 90%, são dados por: mn n m w_95% =1,36 ( + ) (35) mn n m w_90% =1,22 ( + ) (36)

Os cálculos que envolvem a análise de séries temporais e todas as estimativas associadas são muitas vezes complexos e de difícil execução. Atualmente, dispõe-se de diversos pacotes computacionais que são ferramentais fundamentais e imprescindíveis para se aplicar a modelagem estocástica. Entre esses programas pode-se mencionar o SAMS (Stochastic Analysis, Modeling and Simulation) de Salas et al. (2000), desenvolvido pela Colorado State University em conjunto com o Bureau of Reclamation dos EUA, o LAST (LANE et FREVERT, 1990) também desenvolvido pelo Bureau of Reclamation e o GESS, desenvolvido pela Kelman Consultoria (2001a).

Para realização deste estudo foi utilizado o pacote GESS (Gerador Estocástico de Séries Sintéticas), cuja licença é de propriedade do Laboratório de Sistemas de Suporte à Decisão da Escola Politécnica da USP, com anuência da Kelman Consultoria. Na seqüência, apresenta-se um resumo da metodologia utilizada por esse software, naquilo em que atende à geração de séries sintéticas para utilização neste estudo.