Profinite C ¸ aprazlanmı¸s Mod¨ uller

C ve G iki profinite grup ve ∂ : C → G bir s¨urekli grup homomorfizmi olmak ¨uzere, G nin C ¨uzerine

G × C → C

(g, c) 7→ g_c

¸seklinde s¨urekli bir etkisi i¸cin

CM1) g ∈ G, c ∈ C i¸cin ∂(g_c) = g∂(c)g⁻¹ ve

CM2) c, c⁰ ∈ C i¸cin ∂(c)_c⁰ = cc⁰c⁻¹

¸sartları sa˘glanıyorsa (C, G,∂) ifadesine bir profinite ¸caprazlanmı¸s mod¨ul denir. Burada CM2 ¸sartına Peiffer ¨ozde¸sli˘gi denir.

E˘ger (C, G,∂) ve (C⁰, G⁰,∂⁰) profinite ¸caprazlanmı¸s mod¨uller ise bunlar arasındaki (µ, η) : (C, G, ∂) → (C⁰, G⁰, ∂⁰)

morfizmi,

i)η∂ = ∂⁰µ

ii) her bir c ∈ C, g ∈ G i¸cin µ(g_c) = η(g)_µ(c)

¸sartlarını sa˘glayan µ : C → C⁰ ve η : G → G⁰ s¨urekli grup homomorfizmlerinden olu¸sur. B¨oylece profinite ¸caprazlanmı¸s mod¨uller ve bunlar arasındaki morfizmler bir kat-egori olu¸sturur. Bu katkat-egoriyi Pr o − CMod ile g¨osterece˘giz.

Ornek 2.1 G bir profinite ¸caprazlanmı¸s mod¨¨ ul, H, G nin bir kapalı normal alt grubu ve i : H → G inclusion(i¸cine d¨on¨u¸s¨um) olsun. Burada G nin H ¨uzerine s¨urekli etkisi,

G × H → H

(g, h) 7→ g_h = ghg⁻¹

¸seklinde tanımlanan konjuge etkidir. Bu etki yardımıyla (H, G, i) bir profinite ¸caprazlanmı¸s mod¨ul olu¸sturur.

Ornek 2.2 G bir sonlu ¨¨ urete¸cli profinite grup olsun, bu durumda Aut (G) , G ’nin s¨urekli otomorfizmlerinin grubu, d¨uzg¨un yakınsak topolojiye g¨ore bir profinite gruptur.

([1] ve[9])

δ : G → Aut (G)

g 7→ δ (g) = f_g : G → G

x 7→ fg(x) = gxg⁻¹ s¨urekli grup homomorfizmi ve Aut (G) nin G ¨uzerine

Aut (G) × G → G

(f_g, x) 7→ (f g)_x = gxg⁻¹

¸seklinde tanımlanan s¨urekli etkisi ile birlikte, (G, Aut (G) , δ) bir profinite ¸caprazlanmı¸s mod¨ul olur.

Tanım 2.1 C ve G iki profinite grup ve G nin C ¨uzerine s¨urekli bir sol etkisi mevcut olsun. Bu durumda G ve C profinite grup oldu˘gundan

φ : G × C → C

(g, c) 7−→ φ (g, c) = g_c i¸cin, g_cc⁰ = gcg_c⁰ ve gg⁰_c = g_g⁰

c dir. Bu s¨urekli etki yardımıyla C o G = (c, g) : c ∈ C, g ∈ G

grubu tanımlanabilir, burada (c, g) , (c⁰, g⁰) ∈ C o G i¸cin grup ¸carpımı (c, g) (c⁰, g⁰) = (cg_c⁰, gg⁰)

dır. Bu C o G grubuna C ’nin G ile

semidirect (yarıdirekt)¸carpım grubu

denir.

Bu grupta bir profinite gruptur [9].

Teorem 2.2 ProGrp profinite grup kategorisi i¸cindeki internal kategori ile profinite

¸caprazlanmı¸s mod¨ul kategorisi denktir.

˙Ispat. A ve O iki profinite grup, A

→s

→t O → A^e

s¨urekli grup homomorfizmleri se = id₀ ve te = id₀ olacak ¸sekilde verilsin. Her bir a ∈ A i¸cin x = s (a) olmak ¨uzere

x

a

y

k = a (es (a))⁻¹ ∈ Kers dir,

((s(k) = s(a(es(a)⁻¹) = s(a)s(e(s(a))⁻¹) = s(a)se(s(a)⁻¹) = s(a)s(a)⁻¹ = Id₀) Buna g¨ore

a = ke(x)

yazılabilir .

a⁰ = k⁰e(x⁰) olsun. Bu durumda

aa⁰ = ke(x)k⁰e(x⁰) = ke(x)k⁰(e(x))⁻¹e(x)e(x⁰) olur. O nın Kers ¨uzerine s¨urekli etkisini

O × Kers −→ Kers d¨on¨u¸s¨um¨u tanımlanabilir.

a = ke(x), a⁰ = k⁰e(x⁰) ∈ A

elde edilir ki bu φ d¨on¨u¸s¨um¨un¨un bir homomorfizm oldu˘gunu s¨oyler. Benzer ¸sekilde φ⁻¹ : Kers o O −→ A

(k, x) 7→ φ⁻¹(k, x) = ke(x)

ters d¨on¨u¸s¨um¨u de bir homomorfizmdir. O halde φ bir izomorfizmdir, ¨oyleyse A ∼= Kers o O elde edilir.

ProGrp profinite grup kategorisi i¸cinde G = hA, O, s, t, e, ◦i bir internal kategori olsun. A ∼= Kers o O oldu˘gunu ve O nın Kers ¨uzerine x ∈ O ve k ∈ Kers i¸cin x_k = e (x) ke(x⁻¹) ¸seklinde tanımlı s¨urekli etkisini biliyoruz. Bu kategorinin objeleri O nın elemanlarıdır ve morfizmleri k ∈ Kers, x ∈ O i¸cin (k, x) formundadır. Ayrıca s, t s¨urekli d¨on¨u¸s¨umleri her bir morfizmin kaynak (source) ve hedef (target) objelerini verir, e ise her bir obje i¸cin birim morfizmi verir.

δ : Kers → O

d¨on¨u¸s¨um¨u t nın Kers ye kısıtlaması olarak tanımlayalım yani δ = t|_Kers olsun.

t bir s¨urekli homomorfizm oldugundan δ da bir s¨urekli homomorfizmdir. Herhangi k ∈ Kers, x ∈ O i¸cin

δ(x_k) = t(x_k) = t(e(x)ke(x⁻¹) olur. t bir homomorfizm oldu˘gundan dolayı

t(e(x)ke(x⁻¹)) = te(x)t(k)te(x⁻¹) = xt(k)x⁻¹

A da yani Kers o O daki ◦ kompozisyonunun bir s¨urekli homomorfizm oldu˘gunu biliyoruz ve b¨oylece Kers o O i¸cindeki ¸carpım ile ◦ kompozisyonu bile¸skelerin de˘gi¸sim kuralını (interchange law) sa˘glar. Yani,

((k, x).(l, y)) ◦ ((k⁰, δ(k)x).(l⁰, δ(l)y)) = ((k, x) ◦ (k⁰, δ(k)x)).((l, y) ◦ (l⁰, δ(l)y) olur. S¸imdi bu denklemin her iki tarafınıda inceleyelim.

DSol = ((k, x).(l, y)) ◦ ((k⁰, δ(k)x).(l⁰, δ(l)y)) = ((k, x) ◦ (k⁰, δ(k)x)(l⁰, δ(l)y)

olur. Buradan (δk)_x

l0 = kx_l⁰k⁻¹ elde edilir. m = x_l⁰ ∈ Kers yazılırsa, CM2) k, m = xl⁰ ∈ Kers i¸cin

δk_m = kmk⁻¹ bulunur.

B¨oylece (Kers, O, δ) bir profinite ¸caprazlanmı¸s mod¨uld¨ur.

Tersine (C, G, δ) profinite grupların bir ¸caprazlanmı¸s mod¨ul¨u olsun. Bu durumda G × C −→ C

oldugundan t, s ve e d¨on¨u¸s¨umleri birer grup homomorfizmidir, (Burada g_1c = 1_c dir.)

Ayrıca her g ∈ G i¸cin

s(e(g)) = s(1c, g) = g = IdG(g) t(e(g)) = t(1_c, g) = δ(1_c)g = g = Id_G(g) dir yani

se = te = Id_G elde edilir. Buna g¨ore

C o G

→s

→t G → C o G^e internal yapısı elde edilmi¸s olur, burada (c, g) ∈ C o G i¸cin

s(c, g) = g ve

t(c, g) = δ(c)g oldu˘gundan

g ^(c,g)→ δ(c)g

bi¸cimindedir. CoG deki (c, g) ve (c⁰, g⁰) elemanları arasında bir kompozisyon tanımlanabilmesi i¸cin

t(c, g) = s(c⁰, g⁰)

olmalıdır. S¸imdi bu ¸sart altında C o G i¸cinde bir m kompozisyonu tanımlayalım. (c, g) ve (c⁰, g⁰) ∈ C o G i¸cin

t(c, g) = s(c⁰, g⁰) olması i¸cin

δ(c)g = g⁰ olmaldır. Buna g¨ore (c, g), (c⁰, δ(c)g) ∈ C o G i¸cin

g

(c,g)



δ(c)g

(c⁰,δ(c)g)

%%

δ(c⁰)δ(c)g = δ(c⁰c)g

=

g

(c,g)



δ(c)g

(c⁰,δ(c)g)

%%

δ(c⁰)δ(c)g = δ(c⁰c)g

olup

m : (C o G)t×s(C o G) → C o G

((c, g), (c⁰, δcg)) 7→ m((c, g), (c⁰, δcg)) = (c, g) ◦ (c⁰, δcg) = (c⁰c, g)

¸seklinde tanımlanabilir. Bu ¸sekilde tanımlanan m nin homomorfizm oldu˘gunu g¨ostermemiz durumunda (C o G, G, s, t, e, m) bir internal kategori olur. O halde m ’nin homomorfizm oldu˘gunu g¨osterelim, yani

((c, g).(d, h)) ◦ ((c⁰, δcg).(d⁰, δdh)) = ((c, g) ◦ (c⁰, δcg)).((d, h) ◦ (d⁰, δdh)) oldu˘gunu g¨osterelim, (bu e¸sitlik bile¸skelerin de˘gi¸sim kuralıdır)

Sol = (cgd, gh) ◦ (c⁰δ(c)gd⁰, δ(c)gδ(d)h)

= (c⁰δ(c)g_d⁰cg_d, gh)

= c⁰δ(c)_(gd0)cg_d, gh

= (c⁰cgd⁰c⁻¹cgd, gh)

= (c⁰cg_d⁰g_d, gh)

= (c⁰cg_(d⁰_d)gh)

= (c⁰c, g).(d⁰d, h)

= (c⁰cg_(d⁰_d), gh)

olup e¸sitlik elde edilir. Dolayısıyla m, yani ◦ homomorfizmdir ve b¨oylece (C o G, G, s, t, e, m) , ProGrp profinite grup kategorisi i¸cinde bir internal kategoridir. 

2-PROF˙IN˙ITE GRUPLAR ve C ¸ APRAZLANMIS ¸ MOD ¨ ULLER

3.1 Giri¸ s

Bir 2-kategori ”morfizmler arasındaki morfizmler” ile olu¸sturulmu¸s bir kategoridir, yani buradaki herbir hom-set (morfizmler k¨umesi), bir kategori yapısına sahiptir. Buna g¨ore herbir hom-set i¸cindeki morfizmler, hom-set kategorisinin objelerini olu¸sturur ve mor-fizmler arasında 2-morfizm olarak isimlendirilen d¨on¨u¸s¨umler ise hom-set kategorisinin morfizmlerini olu¸sturur. O halde bir 2-kategori; objeler, 1-morfizmler ve 2-morfizmler ailelerinden olu¸san bir yapıdır. 1-morfizmleri ve morfizmleri izomorfizm olan bir 2-kategoriye 2-gruboid adı verilir. Bu durumda 1-morfizmlerin ve 2-morfizmlerin aileleri birer grup olu¸sturur. Benzer ¸sekilde 1-morfizmlerinin ve 2-morfizmlerinin aileleri birer grup olan tek objeli bir 2-kategoriye 2-grup denir. Bu b¨ol¨umde 1-morfizmlerinin ve 2-morfizmlerinin aileleri birer profinite grup olan ve tek objesi bulunan 2-kategoriler in-celenecektir ve adına 2-profinite grup denilecektir. 2-gruplar ile grupların ¸caprazlanmı¸s mod¨ulleri ve cat-1 grupları arasında belli ili¸skiler mevcuttur, yani 2-grupların kategorisi ile

¸caprazlanmı¸s mod¨ullerin kategorisi ve cat-1 gruplar kategorisinin denkli˘gi bilinmektedir.

Benzer ili¸skinin 2-profinite gruplar ile profinite ¸caprazlanmı¸s mod¨uller ve profinite cat-1 gruplar arasında da mevcut oldu˘gu g¨osterilecektir.

3.2 2-Kategoriler

Bir G 2-kategorisi, G0 objelerin sınıfı ile herhangi A, B obje ikilisi i¸cin G (A, B) mor-fizmlerin bir k¨u¸c¨uk (small) kategorisinden olu¸sur, burada G₁(A, B) ile G (A, B) k¨u¸c¨uk kategorisinin objelerinin ailesini ve G₂(A, B) ile G (A, B) k¨u¸c¨uk kategorisinin morfizm-lerinin ailesini g¨osterece˘giz. Her bir A, B, C obje ¨u¸cl¨us¨u i¸cin

◦ : G (B, C) × G (A, B) → G (A, C)

bile¸ske funktorları ve her A objesi i¸cin, 1 terminal kategori olmak ¨uzere, iA : 1 → G (A, A)

40

birim funktorları tanımlıdır, burada ◦ asosyatif olmalı ve her bir F ∈ G₁(A, B) ve ϑ ∈ G2(A, B) i¸cin

iB ◦ F = F = F ◦ iA ve iB ◦ ϑ = ϑ = ϑ ◦ iA sa˘glanmalıdır.

Her bir A, B obje ikilisi i¸cin, G₁(A, B) nin elemanlarına G nın 1-morfizmleri ve G2(A, B) nın elemanlarına da G nın 2-morfizmleri denir. T¨um 1-morfizmlerin sınıfını G₁ ile ve t¨um 2-morfizmlerin sınıfını ise G₂ ile g¨osterece˘giz.

2-morfizmlerin iki t¨url¨u bile¸skesi mevcuttur. Birincisi G (A, B) kategorileri i¸cindeki mevcut bile¸skesi olan • bile¸skesidir, buna dikey bile¸ske denir, ikincisi ise ◦ bile¸ske funktoru vasıtasıyla elde edilir buna da yatay bile¸ske denir.

Verilen iki G, G⁰ 2-kategorileri i¸cin, bunlar arasındaki bir F : G → G⁰

2-funktoru, objeler arasındaki

F₀ : G₀ → G⁰₀

d¨on¨u¸s¨um¨u ile, G i¸cindeki herhangi A, B objeleri i¸cin bile¸ske ve birimleri koruyan F_A,B : G (A, B) → G⁰(F₀A, F₀B)

funktorlarından olu¸sur, yani her bir A, B, C obje ¨u¸cl¨us¨u i¸cin ve D ∈ G₀ i¸cin, F_B,C(−) ◦ F_A,B(−) = F_A,C(−) ve iF D (−) = F_D,Di (−) dir.

Verilen iki F, E : G → G⁰ 2-funktoru i¸cin, bir ϑ : F ⇒ E 2-do˘gal d¨on¨u¸s¨um¨u,G nin her bir A objesini ϑA ∈ G⁰₁(F₀A, E₀A) morfizmine kar¸sılık getiren bir d¨on¨u¸s¨umd¨ur. Burada her bir A, B obje ikilisi i¸cin

G(A, B)

EA,B



FA,B//G⁰(F A, F B)

ϑB◦

G⁰(EA, EB)

◦ϑA //G⁰(F A, EB)

diagramı kom¨utatif olmalıdır. B¨oylece 2-morfizmler i¸cin diagramın ko¸sulu f, g ∈

¸seklinde yazılabilir. E˘ger her bir A objesi i¸cin ϑA bir izomorfizm ise ϑ 2-do˘gal d¨on¨u¸s¨um¨une 2-do˘gal izomorfizm denir.

3.3 2-profinite gruplar

Bu kesimde bir profinite grubun kategorile¸stirilmi¸s bi¸cimi tanımlanacak ve adına 2-profinite grup denilecektir. Ayrıca 2-profinite ¸caprazlanmı¸s mod¨uller kategorisi ve profinite cat-1 grupları kategorisinin 2-profinite grup kategorisine denk oldu˘gu g¨osterilecektir.

Tanım 3.1 1-morfizmlerinin ve 2-morfizmlerinin aileleri birer profinite grup olan 2-kategoriye 2-profinite grup denir.

Ornek 3.1 Herhangi bir P profinite grubu i¸cin P¨ ₀ = AutP ve P₁ = P oAutP tanımlansın.

P0 ve P1 birer profinite gruptur ([1], [9]). Burada s(p, F ) = F , t(p, F ) = Adp ◦ F (Ad, s¨urekli adjoint etkiyi g¨ostermektedir), i(p) = (e, p) ve (p⁰, F⁰) • (p, F ) = (p⁰p, F ) tanımlamaları yapılırsa, 1-morfizmleri P0 ın elemanları ve 2-morfizmleri P1 in eleman-larından olu¸san ve tek bir P objesine sahip bir 2-kategori elde edilir. Burada P₀ ve P₁ birer profinite grup oldu˘gundan, elde edilen 2-kategori bir 2-profinite grup olur.

Tanım 3.2 2-profinite gruplar arasındaki bir morfizm, profinite gruplar kategorisi i¸cinde bir funktordur. 2-profinite grupların 2-morfizmi ise yine profinite gruplar kategorisi i¸cindeki bir do˘gal d¨on¨u¸s¨umd¨ur. B¨oylece 2-profinite gruplar, bunlar arasındaki funktorlar ve do˘gal d¨on¨u¸s¨umlerin olu¸sturdu˘gu bir 2-kategori elde edilir. Bu kategoriyi 2-ProGrp ile g¨ oste-rece˘giz.

2-grupların kategorisi ile cat-1 grupların kategorisinin ve grupların ¸caprazlanmı¸s mo-d¨ullerinin kategorisi arasında bir denkli˘gin mevcut oldu˘gu bilinmektedir. Bu denkliklerin ispatı [7], [2] gibi bir¸cok kaynakta bulunabilir. Burada benzer denklik, 2-profinite gruplar i¸cin incelenecektir.

Teorem 3.3 Profinite ¸caprazlanmı¸s mod¨ul kategorisi ile profinite cat-1 grup kategorisi denktir.

˙Ispat. X = (δ : S → R) bir profinite ¸caprazlanmı¸s mod¨ul olsun. Buradan bir profi-nite cat-1 grup elde edilmelidir. R nin S ¨uzerine s¨urekli etkisi yardımıyla

G = S o R = {(s, r) | s ∈ S, r ∈ R}

grubu tanımlanabilir. Ve

G = S o R

→s

→t R→ S o R^e s, t, e s¨urekli grup homomorfizmleri

s : S o R → R

bi¸cimindedir. B¨ut¨un bunlara g¨ore,

(te) (r) = t (e (r)) = t (1, r)

= rδ (1) = r = I_R(r)

ve

(se) (r) = s (e (r)) = s (1, r)

= r = I_R(r) elde edilir.

cat2)

x = s, δ (s)⁻¹
∈ Kert ve

y = (s⁰, 1) ∈ Kers i¸cin

xy = s, δ (s)⁻¹
(s⁰, 1) = sδ (s)⁻¹_s0 , δ (s)⁻¹
yx = (s⁰, 1) s, δ (s)⁻¹
= s⁰ 1_s , δ (s)⁻¹

bulunur. Burada (δ : S → R) bir profinite ¸caprazlanmı¸s mod¨ul oldu˘gundan (CM2) gere˘gi s , s⁰ ∈ S i¸cin

δ (s)⁻¹_s0 = δ s⁻¹

s⁰ = s⁻¹s⁰s oldu˘gundan,

sδ (s)⁻¹_s0 = s⁰1_s e¸sitli˘gi sa˘glanır. Bu ise

xy = yx

e¸sitli˘gini sa˘glar. ¨Oyleyse, (G, R, s, t, e) bir profinite cat-1 grup olur.

Tersine e = (G, R, s, t, e) bir profinite cat-1 grup olsun, buna g¨ore, G

→s

→t R→ G^e

s, t, e s¨urekli grup homomorfizmleri i¸cin (te) = I_R , (se) = I_R ve [Kers, Kert] = 1 yani x ∈ Kers ve y ∈ Kert i¸cin xy = yx dır. Buradan S = Kers ve δ = t|_Kers tanımlansın ve R nın S ¨uzerine s¨urekli etkisi de

R × S → S

(r, s) 7→ rs= e (r) se (r)⁻¹

¸seklinde tanımlansın. O halde

CM1) r ∈ R ve s ∈ S i¸cin

δ (r_s) = t (r_s) = t e (r) se (r)⁻¹

= (te) (r) t (s) (te) r⁻¹

= rt (s) r⁻¹

= rδ (s) r⁻¹ olur.

CM2) s, s⁰ ∈ Ker s i¸cin

δ (s)_s0 = t (s)_s0 = e (t (s)) s⁰e (t (s))⁻¹

= e (t (s)) s⁰e t s⁻¹

ss⁻¹

= e (t (s)) e t s⁻¹

ss⁰s⁻¹

= ss⁰s⁻¹

bulunur, burada e (t (s⁻¹)) s ∈ Kerk t ve s⁰ ∈ Kers oldu˘gundan s⁰ · e (t (s⁻¹)) s = e (t (s⁻¹)) s · s⁰ dır. B¨oylece(S, R, δ) profinite ¸caprazlanmı¸s mod¨uld¨ur. Buna g¨ore profi-nite ¸caprazlanmı¸s mod¨ul kategorisi ile profinite cat-1 grup kategorisi arasında bir denklik bulunur. 

Teorem 3.4 Profinite ¸caprazlanmı¸s mod¨ul kategorisi ile profinite 2-grup kategorisi denk-tir.

˙Ispat. X = (G, H, δ) = (δ : H → G) bir profinite ¸caprazlanmı¸s mod¨ul olsun. G nin H ¨uzerine s¨urekli bir sol etkisi mevcut oldu˘gundan,

H o G = {(h, g) | h ∈ H , g ∈ G}

yarıdirekt ¸carpım grubu olu¸sturulabilir. Buna g¨ore G₀ = {∗}, G₁ = G₁, G₂ = H o G profinite grupları ele alınsın. G₁ profinite grubunun elemanları, ∗ objesinden yine ∗ obje-sine giden s¨urekli 1-morfizmler olarak isimlendirilsin ve G₂ profinite grubunun elemanları da s¨urekli 2-morfizmler olarak isimlendirilsin ve bu s¨urekli 2-morfizmleri i¸cin ¨once s , t ve i d¨on¨u¸s¨umleri

s : H o G → G

(h, g) 7→ s (h, g) = g

t : H o G → G

(h, g) 7→ t (h, g) = δ (h) ve

i : G → H o G

g 7→ i (g) = (e, g)

¸seklinde tanımlansın. Burada

¸seklinde bir kompozisyon tanımlanır. Bu kompozisyona s¨urekli 2-morfizmlerin dikey (ver-tical) kompozisyonu denilecektir. Burada

i (g) = (e, g)

s¨urekli 2-morfizmlerin dikey kompozisyonunun birim elemanıdır.

g

olarak tanımlanır, bu ¸sekilde tanımlanan kompozisyona s¨urekli 2-morfizmlerin yatay (horizan-tal) kompozisyonu denilecektir.

Son olarak s¨urekli 2-morfizmler i¸cin tanımlanan bu iki (vertical ve horizantal) kom-pozisyonun bile¸skelerin de˘gi¸sim kuralını(interchange law) sa˘gladı˘gını g¨osterelim. Bunun

i¸cin

[(h, g) • (j, δ (h) g)]◦[(h⁰, g⁰) • (j⁰, δ (h⁰) g⁰)] = [(h, g) ◦ (h⁰, g⁰)]•[ (j, δ (h) g) ◦ (j⁰, δ (h⁰) g⁰)]

e¸sitli˘ginin sa˘glandı˘gı g¨osterilmelidir. Burada e¸sitli˘gin sol tarafı (jh, g) ◦ (j⁰h⁰, g⁰) = (jh g_j⁰_h⁰, gg⁰) (∗) ve sa˘g tarafı

(hg_h⁰, gg⁰) •

j (δ (h) g)_j0, δ (h) gδ (h⁰) g⁰

=

j (δ (h) g)_j0hg_h⁰, gg⁰

(∗∗) olup, bile¸skelerin de˘gi¸sim kuralının sa˘glandı˘gının g¨osterilmesi i¸cin (∗) = (∗∗) oldu˘gu, yani,

(jh g_j⁰_h⁰, gg⁰) = 

j (δ (h) g)_j0hg_h⁰, gg⁰ oldu˘gu g¨osterilmelidir.

jhg_j⁰_h⁰ = jhg_j⁰g_h⁰

= jhg_j⁰h⁻¹hg_h⁰

= j hg_j⁰h⁻¹
hgh⁰

= j (δ (h) g)_j0hgh⁰

olup bile¸skelerin de˘gi¸sim kuralı sa˘glanmı¸s olur. O halde G = ({∗} , G1, H o G) bir profinite 2- gruptur.

Tersine G = ({∗} , G₁, G₂) bir profinite 2-grup olsun. Buna g¨ore x, y ∈ G₁ ve f : x =⇒ y ∈ G₂ i¸cin

x



y

DD

f



s : G₂ → G₁ f 7→ s (f ) = x

t : G₂ → G₁ f 7→ t (f ) = y

ve

e : G₁ → G₂ x 7→ e (x) olup

Kers = H = {h ∈ G2 | s (h) = IdG1} tanımlansın. G₁ profinite grubunun Ker = H ¨uzerine s¨urekli etkisi

G₁× Kers → Kers

(x, h) 7→ xh = e (x) he (x)⁻¹

¸seklinde ve

δ : Kers → G₁

h 7→ δ (h) = t (h)

¸seklinde tanımlansın. Tanımlanan G₁ in Kers ¨uzerine s¨urekli etkisi yardmıyla Kers o G1 = {(h, x) | h ∈ Kers, x ∈ G₁}

k¨umesi tanımlanabilir, bu k¨ume

(h, x) (g, h) = (hx_g, xy)

¸carpımıyla bir grup olu¸sturur. Bu grup aynı zamanda bir profinite grup olur. Ayrıca G₂ ∼= Kers o G1

olup (h, x) ile (h⁰, δ (h) x) s¨urekli 2-morfizmlerinin dikey kompozisyonu (h, x) • (h⁰, δ (h) x) = (h⁰h, x)

¸seklinde olacaktır. B¨oylece

CM1)

δ (x_h) = δ e (x) he x⁻¹

= δe (x))δ (h) δ (e (x))⁻¹

= (te) (x) δ (h) (te) x⁻¹

= xδ (h) x⁻¹

olur. Ayrıca G₂ ∼= KersoG1i¸cindeki s¨urekli 2-morfizmlerin kompozisyonlarının bile¸skelerin de˘gi¸sim kuralı sa˘glaması gerekti˘ginden,

[(h, x) • (h⁰, δ (h) x)]◦[(g, y) • (g⁰, δ (g) y)] = [(h, x) ◦ (g, y)]•[(h⁰, δ (h) x) ◦ (g⁰, δ (g) y)]

olmalıdır, buna g¨ore

(h⁰h, x) • (g⁰g, y) = (hx_g, xy) ◦ (h⁰(δ (h) x) g⁰, δ (h) xδ (g) y) (h⁰hx_g⁰_g, xy) = (h⁰(δh (x)) g⁰hx_g, xy)

e¸sitli˘gi sa˘glanmaktadır, o halde

h⁰hxg⁰g = h⁰(δh (x))_g0hxg

elde edilir. Buradan

h⁰(δh (x))_g0hx_g = h⁰hx_g⁰_g

= h⁰hx_g⁰x_g

= h⁰hx_g⁰h⁻¹hx_g olup

δ (h (x))_g0 = (δh)_x

g0

= hxg⁰h⁻¹ elde edilir. m = x_g⁰ ∈ Kers ve h ∈ Kers olup

δh_m = hmh⁻¹

elde edilir. B¨oylece (Kers, G₁, δ) bir profinite ¸caprazlanmı¸s mod¨uld¨ur. 

Teorem 3.5 Profinite cat-1 gruplar kategorisi ile 2-profinite gruplar kategorisi denktir.

˙Ispat. (⇒) (G, C, s, t, e) bir profinite cat-1 grup olsun. Buna g¨ore G

→s

→t C → S o G^e

¸seklindeki s, t, e s¨urekli grup homomorfizmleri i¸cin

1) se = Id_c, te = 1d_c

2) [Kers, Kert] = 1

sa˘glanır. Burada Kers = {h | s (h) = 1} = H olup C grubunun Kers ¨uzerine,

δ : H → C

h 7→ δ (h) = t (h)

C × Kers → Kers

(c, h) 7→ c_h = e (c) he (c)⁻¹ s¨urekli etkisi yardımıyla cx = e (x) he (x)⁻¹

Kers o C = {(h, c) | h ∈ Kers, c ∈ C}

(h, c)◦(h⁰, c⁰) = (hc_h⁰, cc⁰) ¸carpımına sahip yarıdirekt ¸carpım grubu olu¸sturulabilir. Ayrıca Kers o C ∼= G

oldu˘gundan, (Kers o C, C, s, t, e) de bir profinite cat-1 grup olu¸sturur, burada

s : Kers o C → C

(h, c) 7→ s (h, c) = c

t : Kers o C → C

(h, c) 7→ t (h, c) = δ (h) c

e : C → Kers o C c 7→ e (c) = (1, c)

¸seklinde tanımlanır. Dolayısıyla

Kers = {(h, c) | s (h, c) = c = 1}

= {(h, 1)}

Kert = {(h⁰, c⁰) | t (h⁰, c⁰) = δ (h⁰) c⁰ = 1}

= n

h⁰, δ (h⁰)⁻¹o

bulunur ve (h, 1) ∈ Kers , h⁰, δ (h⁰)⁻¹
∈ Kert i¸cin elemanların iki de˘gi¸sik kompozisyonu tanımlanabilir. Birincisi

∗ elde edilir buna dikey kompozisyon denir. Ayrıca

∗

bi¸ciminde tanımlanan kompozisyona yatay kompozisyon denir. Burada

dır. S¸imdi de bu iki kompozisyon arasında bile¸skelerin dei¸sim kuralının sa˘gladı˘gını g¨osterelim.

e¸sitli˘ginin sa˘glandı˘gını g¨ostermeliyiz. Yani

⇒ (h⁰h, c) ◦ (g⁰g, c⁰) = (hc_g, cc⁰) •

h⁰(δ (h) c)_g0, δ (h) cδ (g) g

⇒ (h⁰hc_g⁰_g, cc⁰) = 

h⁰(δ (h) c)_g , cc⁰

e¸sitli˘gi sa˘glanmalıdır, buna g¨ore birinci bile¸senlerin e¸sit olması gerekir. Yani,

olup

h⁻¹δ (h)_l = lh⁻¹ yazılabilir. O halde,

δ (h)_l= hlh⁻¹ elde edilir. Buna g¨ore (∗) e¸sitli˘gine geri d¨onersek, δ (h)_c

g0h = δ (h)_lh = hlh⁻¹h = hl = hc_g⁰ bulunur yani KersoC i¸cindeki (h, c) elemanlarının dikey ve yatay kompozisyonlarının bile¸skelerin dei¸sim kuralını sa˘gladı˘gı g¨osterilmi¸s olur. Buna g¨ore

C = ({∗} , C, Kers o C)

= (C0 = {∗} , C1 = C, C2 = Kers o C)

bir profinite 2-grup olu¸sturur.

(⇐) Tersine C = ({∗} , G1, G₂) bir profinite 2-grup olsun.

∗

x



y

BB∗

f



s : G₂ → G₁ f 7→ s (f ) = x t : G2 → G1

f 7→ t (f ) = y e : G₁ → G₂

x 7→ e (x) i¸cin

Kers = H = {h ∈ G2 | s (h) = ldG1} ve

δ : H → G₁

h 7→ δ (h) = t (h) δ = tH

morfizmini tanımlayalım. G1 in Kers ¨uzerine

G₁× Kers → Kers (x, h) 7→ x_h = e (x) he (x)⁻¹ s¨urekli etkisi yardımıyla,

Kers o G1 = {(h, x) | h ∈ Kers, x ∈ G₁} (h, x) (g, y) = (hx_g, xy)

¸carpımına sahip grubu tanımlayalım.

s : Kers o G1 → G₁

(h, x) = s (h, x) = x t : Kers o G¹ → G1

(h, x) 7→ t (h, x) = δ (h) x

G₁

x 7→ e (x) = (1, x) s¨urekli morfizmlerinini tanımlayalım. Bunlar i¸cin

1) (se) (x) = s (e (x)) = s (1, x) = x = Id_x

(te) (x) = t (e (x)) = t (1, x) = δ (1) x

= x = Id (x) olur.

2) Kers = {(h, x) | s (h, x) = 1} = {(h, 1)}

Kert = {(h, x) | t (h, x) = 1} = {(h, δ (h⁻¹))} olup, [Kers, Kert] = 1 yani (h, 1) ∈ Kers, h⁰, δ (h⁰)⁻¹
∈ Kerst i¸cin

(h, 1) h⁰, δ (h⁰)⁻¹
(h, 1)⁻¹ h⁰, δ (h⁰)^−1
−1

= (1, 1) oldu˘gunu g¨osterelim. Burada (h, x)⁻¹ = x⁻¹_h−1, h⁻¹

olup

(h, 1) h⁰, δ (h⁰)⁻¹
(h, 1)⁻¹ h⁰, δ (h⁰)^−1
−1

=

hh⁰δ (h⁰)⁻¹_h−1δ (h⁰)⁻¹

(^δ(h0)h0−1), 1

= (1, 1) olmalıdır. Burada profinite 2-grup i¸cin sa˘glanan bile¸skelerin de˘gi¸sim kuralından

δ (h⁰)⁻¹_h−1 = (h⁰)⁻¹h⁻¹h⁰

olup

hh⁰δ (h⁰)⁻¹_h−1



δ (h⁰)⁻¹δ (h⁰)

h⁰⁻¹

= hh⁰δ (h⁰)_h−1(h⁰)

= hh⁰(h⁰)⁻¹h⁻¹h⁰(h⁰)⁻¹

= hh⁻¹

= 1

bulunur. Yani

[Kers, Kert] = 1

elde edilir. O halde

(Kers o G1, G₁, s, t, e)

bir profinite cat-1 grup olur.

G_{1 s}×_tG₁



SONUC¸ ve ¨ONER˙ILER

Bir profinite grup, Hausdorff, kompakt ve tamamen ba˘glantısız olan bir topolojik gruptur. Buna denk olarak, ayrık sonlu grupların bir ters sisteminin ters limitine izomorf olan bir topolojik gruba profinite grup denir. Bu tezde profinite gruplar kategorisindeki internal kategori incelenmi¸s ve elde edilen internal kategorinin, profinite ¸caprazlanmı¸s mod¨uller ile denk yapılar oldu˘gu tespit edilmi¸stir. Ayrıca bir objesi olan, 1-morfizmlerinin ve 2-morfizmlerinin aileleri birer profinite grup olan 2-kategori, 2-profinite grup olarak tanımlanmı¸s ve bunun da yine profinite ¸caprazlanmı¸s mod¨ullere denk oldu˘gu g¨osterilmi¸stir.

Bundan sonraki lisans ¨ust¨u ¸calı¸smalarda bu tezde ele alınmamı¸s olan profinite simplisel gruplar ile 2-profinite gruplar arasındaki ili¸skiler incelenebilir. Yani, Moore kompleksinin uzunlu˘gu 1 olan profinite simplisel gruplar kategorisi ile 2-profinite gruplar kategorisinin denkli˘gi g¨osterilebilir.

[1] Anderson, M., 1974, Exactness properties of profinite completion functors, Topology, 13, 229-239.

[2] Barker, M., F., 2002, Group objects and internal categories, arXiv: math. CV/0212065V1.

[3] Borceux F., 1994, Handbook of Categorical Algebra, volumes 50-52 of Enyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge University Press.

[4] Lawvere W., Schanuel S., 1997, Conceptual Mathematics:A First Introduction to Categories, Cambridge University Press, Cambridge.

[5] Mac Lane, S., 1998, Categories for the Working Mathematician, 2nd edition. Grad-uate Texts in Mathematics 5,Springer.

[6] Murkres,J.,R., 2000, Topology Prestice Hall, Inc.

[7] Porst, S. S., 2008, Strict 2-groups are crossed modules,arXiv:0812.1464V1 [Math.CT].

[8] Ribes, L., Zalesskii, P., 2000, Profinite Groups, Springer.

[9] Smith, J., 1969, On products of profinite groups, Ill. J. Math., 13, 680-688.

[10] Wilson, J., S., 1998, Profinite Groups, Clarendon Press, Oxford.

57

Belgede 2-Profinite Gruplar ¨Ozden Hande Kozalı Y ¨UKSEK L˙ISANS TEZ˙I Matematik Anabilim Dalı 2010 (sayfa 41-66)