Entendemos ser importante iniciarmos este capítulo discorrendo sobre o ensino de função no âmbito nacional brasileiro para situarmos a pesquisa no tempo, explicitando as transformações ocorridas ao longo de sua implementação e possibilitando a constatação das tendências do ensino.
Segundo Doria (1997) da proclamação da República, em 1889 até 1925, o governo brasileiro promoveu cinco reformas educacionais que buscavam implantar propostas e alterações no ensino brasileiro. Criado o Decreto 16.782-A, conhecido por Reforma Rocha Vaz, fazia constar que no Colégio Pedro II, no Rio de Janeiro, seria ensinado apenas o estabelecido no programa de aulas, incluindo a aritmética, a álgebra e a geometria, conforme descrição a seguir:
Decreto 16.782-A [...]. Art. 3º Neste collegio serão ensinadas as linguas latina, grega, franceza, ingleza, rhetorica e os principios de geographia, história, philosophia, zoologia, mineralogia, botânica, chimica e phisyca, arithmetica, álgebra, geometria e astronomia (COLÉGIO PEDRO II, 1914, p.44).
Na década de 20 do século XX, os professores de matemática do Colégio Pedro II propuseram ao Conselho Nacional de Ensino, uma mudança no currículo do ensino secundário que era composto pela aritmética, álgebra e geometria (no qual era incluída a trigonometria). Não existia uma disciplina intitulada “matemática”, pois o seu ensino era realizado de forma fragmentada por meio de seus diferentes ramos. Por intermédio do professor catedrático Euclides de Medeiros Guimarães Roxo, Diretor do Externato do Colégio Pedro II, em 29 de janeiro de 1929 unificaram as três áreas, ocorrendo assim, a criação da disciplina chamada Matemática (BRAGA, 2006).
Tal constataçãopode ser extraída do seguinte trecho do Relatório concernente aos anos letivos de 1927 a 1929, encaminhado por Euclides Roxo ao Diretor do Departamento Nacional de Ensino:
Na cadeira de Matemática fez-se uma completa renovação, de acordo com as atuais diretivas pedagógicas dominantes, quanto a essa disciplina, em quase todos os países civilizados. Adotados somente para o 1º ano em 1929, será a nova orientação estendida, em 1930, ao 2º ano e, assim sucessivamente, a todos os anos do curso. Em conseqüência dessa reforma, deverão os alunos, ao invés de um exame final de Aritmética, outro de Álgebra e um terceiro de Geometria, fazer, no 4º ano, um exame final único de Matemática, sendo os do 1º, 2º e 3º de simples promoção (ROXO, 1929, p.2).
Comenta Braga (2006) que nas 1ª e 2ª séries, a criação da disciplina Matemática trouxe modificações substanciais em relação ao currículo adotado na Reforma Rocha Vaz (1925), então vigente, em que os dois primeiros anos eram dedicados exclusivamente ao estudo da aritmética. De maneira geral, fundiram-se a aritmética, a álgebra e a geometria; foi eliminado o estudo da aritmética teórica; incluído um conjunto de noções geométricas que os alunos deveriam adquirir de maneira intuitiva; e reintroduzido o estudo da função (“reintroduzido” porque esse assunto já havia feito parte do programa de matemática do Colégio Pedro II, quando da Reforma Benjamin Constant, ocorrida em 1890). O conceito de função não
ocupava lugar destacado nem era trabalhado de forma mais elaborada como hoje. Seu ensino se resumia a um “compartimento” no campo da álgebra, isolado de qualquer relação mais profunda com outros temas, abordados somente em alguns manuais.
Com o objetivo de introduzir o Cálculo Diferencial e Integral no curso secundário da Alemanha, Felix Klein, catedrático de matemática e membro do Conselho da Universidade de Erlanger, no início do século XIX, estabelece um princípio para o movimento reformista que é a aplicações práticas da matemática, sustentando que o conceito de “função é a alma da matemática”. Com este ideário,
Roxo elabora em 1929, seus princípios na defesa do conceito de função como centralizador do ensino de Matemática. Tratava-se não de eleger tal conceito como aquele a ser estudado de forma isolada, mas de que o pensamento funcional pudesse ser utilizado como “pano de fundo” no estudo de outros objetos matemáticos, com preocupações em privilegiar mais os processos e conceitos do que o treino de resolução de exercícios (BRAGA, 2006). Tal descrição é encontrada na obra Matemática na Escola Secundária:
A noção de função deve ser adotada como ideia axial no ensino da matemática, capaz de estabelecer um elo unificador dos vários assuntos tratados na escola secundária e de modo a ser a alma do corpo em que se organiza toda a matéria. [...] a ideia de função vem ainda dar ao ensino de matemática secundária mais vida e mais interesse permitindo não só tratar de questões de maior realidade para o aluno, como estabelecer conexões a outras matérias mais concretas (ROXO, 1937, pp.193-194).
O autor ressalta que na reforma, os catedráticos de matemática do Colégio Pedro II deveriam seguir duas concepções modernizadoras:
Sempre que possível dever-se-iam fazer entrelaçamentos e paralelos entre a aritmética, a álgebra e a geometria. A segunda concepção delegava à noção de função com suas representações algébrica, geométrica e tabular o papel de coordenadora dos diversos assuntos da matemática do secundário (BRAGA, op.cit., p.69).
De acordo com os documentos apresentados o tema função constava do programa do então, ensino secundário, além de figurar como conteúdo importante na estrutura matemática. De 1931 até o final da década de 1970, os autores de livros didáticos procuravam atender às especificações, não de forma plena, mas
reservando os últimos capítulos para o tema, o que possibilitava aos professores o não cumprimento do assunto, e muitas vezes, sequer a abordagem (BRAGA, 2006). Entre os anos de 1965 a 1980, o ensino da Matemática sofre uma grande renovação, sem sombra de dúvidas, tendo como principal marco da reforma o Movimento Matemática Moderna. Este movimento valorizava as grandes estruturas e a linguagem da teoria dos Conjuntos, caracterizado por uma excessiva preocupação com o formalismo, provocando assim, alterações curriculares em vários países com sistemas educativos e realidades diversas (PIRES, 2009).
No Brasil, em 1976, no sistema de ensino público do Estado de São Paulo, a presença da Matemática Moderna ficou especialmente registrada na elaboração dos documentos oficiais, chamados Guias Curriculares, organizados para orientar as escolas de 1º grau, que se estruturavam em cursos de oito anos, por força de Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional. A preocupação da Secretaria da Educação era oferecer sugestões de caráter metodológico, definir objetivos e apresentar os conteúdos (Ibid).
O documento retratava as seguintes orientações:
O que deve ser feito, e isso é importante, é uma reformulação radical dos programas, para adaptá-los às novas concepções surgidas, reformulação essa que deve atingir as técnicas e estratégias utilizadas para a obtenção dos objetivos propostos. [...] a orientação dada a um curso de Matemática deve ser moderna e, parar isso, é necessário que se dê ênfase no estudo da matéria, a certos aspectos que visam destacar a indiscutível unidade da Matemática, mostrando-a como uma construção única sem compartimentos estanques. Dentre esses aspectos, gostaríamos de evidenciar dois deles, que consideramos de importância fundamental: o papel central desempenhado pelas estruturas matemáticas, estruturas essas que podem ser evidenciadas no estudo dos campos numéricos bem como na geometria, e o importantíssimo conceito de relação e, mais especificamente, o conceito de função, que pode ser abordado não só no estudo das funções numéricas, como também no estudo das transformações geométricas. Além disso, é de importância primordial destacar o papel do raciocínio matemático (SÃO PAULO, 1976, p.171).
O documento explicava ainda:
Para a apresentação do programa foi adotado um agrupamento dos assuntos que, por ser um programa de transição, não atinge a unidade completa que consideramos ideal, mas que pode ser sentida principalmente no primeiro tema, que é indiscutivelmente o fator unificador da Matemática. A divisão foi feita em quatro temas enumerados a seguir:
I. Relações e funções. II. Campos numéricos. III. Equações e Inequações. IV. Geometria (Ibid., p.172)
Para cada tema citado anteriormente, os guias curriculares apresentavam o conceito de relação e especificamente o de função, como temas fundamentais para o ensino de matemática. O primeiro tema que tratava o documento era sobre “relações e funções”, em que o conteúdo de relações aparecia indicado para o ensino de 1ª à 5ª série e o de aplicações ou funções à 5ª, 6ª e 8ª séries.
Apresentaremos a seguir os objetivos e a distribuição dos níveis e séries referentes ao tema “Relações e funções”, vigentes em 1976.
Tema I: Relações e Funções Objetivos
Adquirir uma linguagem e conceitos que se constituem em elementos unificadores da matemática e aplicá-los sempre que necessário.
Desenvolver habilidades de construir e interpretar gráficos cartesianos e diagramas de relações.
Quadro 6: Distribuição dos conteúdos sobre Relação e Função propostos nos
Guias Curriculares para o Ensino de Matemática do Estado de São Paulo (1976)
Nível I Nível II Conteúdo 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 8ª Conjuntos; elementos; pertinência; diagramas X x (*) X x Igualdade e inclusão (*) (*) (*) (*) x Reunião e intersecção (*) (*) (*) (*) x Partição (*) (*) (*) (*) x Par ordenado; Produto
cartesiano
(*) (*) (*) (*) x
Propriedades das relações: reflexiva, simétrica e transitiva, relações de equivalência (*) (*) (*) X x Propriedade antissimétrica. Relação de ordem (*) (*) (*) (*) x Aplicações ou funções (*) (*) (*) (*) x x (*) X Equipotência (*) (*) (*) (*) x
Fonte: SÃO PAULO, 1976, p.568.
Talvez seja possível afirmar que o esforço realizado por Roxo em 1929 constitui
as raízes do que se verifica a partir da década de 1970.
Com muitas discussões sobre o Movimento da Matemática Moderna e também sob as tensões acerca do fim da ditadura militar, os anos 80 no Brasil foram marcados com um novo contexto político e social favorável à apresentação de propostas para a construção de uma escola inspirada em valores democráticos e de grande inspiração da sociedade brasileira. As Secretarias Estaduais e Municipais de Educação foram motivadas a elaborarem novas propostas curriculares para o ensino de matemática. Em 1985, a rede pública estadual de São Paulo, inicia o processo de elaboração da Proposta Curricular para o ensino de 1º grau (PIRES, 2009).
O documento que teve sua primeira publicação em 1986 e reeditado em 1988, 1991 e 1997 não há nenhuma orientação quanto ao ensino de função. O referido conteúdo aparece apenas nos documentos destinados ao 2º grau. Somente nas orientações sobre o conteúdo da 7ª série há conceitos que estão relacionados, como proporcionalidade entre grandezas e representação gráfica de uma equação a duas incógnitas. Ainda assim, sem nenhuma menção à função ou mesmo relação.
8 X: indica que o conteúdo é trabalhado explicitamente e (*): indica que o conteúdo é trabalhado
implicitamente nas atividades.
No final da década de 1990, tendências modernas expressas em vários documentos, dentre eles os Parâmetros Curriculares Nacionais, reconhecem o estudo da álgebra no ensino da matemática. De acordo com Lopes (2006, p. 30):
A partir da década de 1990, tendências modernas expressas em vários documentos, dentre eles os PCN, consideram a Álgebra “um espaço bastante significativo para que o aluno desenvolva e exercite sua capacidade de abstração e generalização”. Assim sugerem a exploração de situações que levem os alunos a construir noções algébricas pela observação de regularidades: em tabelas, gráficos e outros registros de representação, estabelecendo relações que sejam mais significativas e não apenas um trabalho de “manipulações” com expressões e equações como acontece na maioria das vezes.
Com o declínio da Matemática Moderna, em todo o mundo buscou-se construir currículos de matemática mais ricos, contextualizados e socialmente, com possibilidades de estabelecimento de “relações intra e extramatemática”, com a conceituação e os rigores matemáticos apropriados e acessíveis aos estudantes, evidenciando o poder explicativo da matemática, com estruturas mais criativas (PIRES, 2009). O incentivo ao ensino da Matemática, como algo essencial na formação básica da sociedade, passa a ser objeto de trabalho dos governamentais brasileiros, conforme apresentado nos PCN+:
Em nossa sociedade, o conhecimento matemático é necessário em uma grande diversidade de situações, como apoio a outras áreas do conhecimento, como instrumento para lidar com situações da vida cotidiana, ou ainda, como forma de desenvolver habilidades de pensamento (BRASIL, 2002, p.111).
A comunicação do indivíduo moderno gera demanda de formação mais abrangente e atenta às necessidades da sociedade contemporânea. A linguagem científica torna-se uma necessidade no conhecimento do indivíduo comum segundo os PCN+: “alunos que não falam sobre matemática e não têm a oportunidade de produzir seus próprios textos nessa linguagem, dificilmente serão autônomos para se comunicarem nessa área” (Ibid., p.120).
Desta forma, o estudo de funções parece se firmar como uma necessidade na
formação básica do cidadão. As pretensões de Roxo, no passado, se constituem como as raízes desta transformação no presente. Esta consolidação do ensino de função como articulador da formação matemática do indivíduo, e também, como
conceito fundamental na articulação das diversas áreas do conhecimento, é apresentada nos PCN+ da seguinte forma:
O estudo das funções permite ao aluno adquirir a linguagem algébrica, como a linguagem das ciências, necessária para expressar a relação entre grandezas e modelar situações-problema, construindo modelos descritivos de fenômenos e permitindo várias conexões dentro e fora da própria matemática (BRASIL, 2002, p.121).
Em outro texto encontramos a afirmação de Lopes (2006, p.31) sobre o mesmo assunto:
O ensino de função precisa garantir que os alunos trabalhem com problemas e que os mesmos possam dar significado à linguagem e às ideias matemáticas, promovendo assim, uma maior integração das ciências que fazem uso desse objeto matemático.
O tema função também é indicado na nova Proposta Curricular do Estado de São Paulo, elaborada em 2008, para a 8ª série do ensino fundamental, atual nono ano, sob os tópicos: noções básicas sobre funções; a ideia de variação e construção de tabelas e gráficos para representar funções do 1º e 2 graus. No nível médio, essa proposta apresenta o conteúdo distribuído entre os três anos, introduzindo o assunto a partir da primeira série, com o estudo das funções afim, quadrática, exponencial e logarítmica, prosseguindo no segundo ano, em que propõe a abordagem das funções trigonométricas e, finalizando no terceiro ano, propondo o estudo e análise das propriedades das funções trigonométricas, exponenciais, logarítmicas e polinomiais. As Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio apontam que:
O ensino pode ser iniciado diretamente pela noção de função para descrever situações de dependência entre duas grandezas, o que permite o estudo a partir de situações contextualizadas, descritas algébrica e graficamente (BRASIL, 2006, p.121).
O mesmo documento ainda aponta que:
O estudo de funções permite ao aluno adquirir a linguagem algébrica como a linguagem das ciências, necessária para expressar a relação entre grandezas e modelar situações-problema, construindo modelos descritivos de fenômenos e permitindo várias conexões dentro e fora da própria matemática. Assim, a ênfase do estudo das diferentes funções deve estar no conceito de função e em suas propriedades em relação às operações, na interpretação de seus gráficos e nas aplicações dessas funções (Ibid).
Entendemos, portanto, que os documentos oficiais brasileiros entram em conformidade com um caminho que teve início em 1931, no Colégio Pedro II do Rio de Janeiro.
Considerando os argumentos citados e a importância do conceito de função na Educação Matemática, descreveremos nos próximos itens tal assunto.