Na an´alise de superf´ıcies seletivas de freq¨uˆencia, foram utilizados valores calcu- lados pelo m´etodo dos momentos, obtidos atrav´es de [Campos, 1999], para o trei- namento das redes neurais artificiais. No projeto das FSS v´arios parˆametros est˜ao envolvidos, a Figura 5.1 apresenta os principais.
Um dos objetivos do modelamento desenvolvido neste trabalho ´e verificar a in- fluˆencia de alguns parˆametros da estrutura no comportamento da resposta final e a partir desses dados treinar uma rede neural artificial, para que essa seja capaz de predizer a resposta da estrutura em fun¸c˜ao da mudan¸ca do parˆametro estudado, dentro de uma determinada regi˜ao de interesse. Em todas as modelagens de superf´ı- cies seletivas de freq¨uˆencias o algoritmo utilizado foi o Backpropagation para treinar
000 000 000 000 000 000 111 111 111 111 111 111 000 000 000 000 000 000 111 111 111 111 111 111 000 000 000 000 000 000 111 111 111 111 111 111 000 000 000 000 000 000 111 111 111 111 111 111 000 000 000 000 000 000 111 111 111 111 111 111 01 00 11 000 111 0 1 00 00 11 11 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 000 000 000 000 000 000 111 111 111 111 111 111 00000000 11111111 L W x y Tx Ty h Er
Figura 5.1: Exemplo de uma estrutura FSS. as redes Multilayer Perceptron.
No primeiro exemplo, foram simuladas as resposta de estruturas FSS com as caracter´ısticas apresentadas na Tabela 5.1
Tabela 5.1: Dados da geometria e treinamento do 1o conjunto de FSS.
• Freq¨uˆencia de opera¸c˜ao: fo = [5 − 11] GHz
• Comprimento do patch: L = 1, 2 cm • Largura do patch: W = 0, 2 cm • Per´ıodo das c´elulas na dire¸c˜ao x: Tx = 1, 8 cm
• Per´ıodo das c´elulas na dire¸c˜ao y: Ty = 1, 6 cm
• Permissividade el´etrica: ǫr= 4, 4
• Altura do substrato: h = [0, 1 − 0, 30] cm • Coeficiente de aprendizagem: η = 0, 001
• Termo do Momento: α = 0, 001 • Tempo de treinamento: 18 minutos
Para o treinamento da rede s˜ao utilizados os resultados referentes a h = [0,1; 0,15; 0,25 e 0,30] cm, com uma amostragem de 40 pontos para cada valor de h,
A Figura 5.2 apresenta as respostas encontradas ap´os o treinamento tanto para os vetores utilizados durante o processo de aprendizagem, como para valores n˜ao treinados pela rede.
Para o modelamento, foi utilizada uma RNA com dois neurˆonios de entrada, duas camadas com quinze neurˆonios ocultos cada, e um neurˆonio de sa´ıda e com valores de taxa de aprendizagem (η) e termo do momento (α) apresentados na Tabela 5.1. O processo de treinamento terminou ap´os 5000 ´epocas atingindo um erro m´edio
5 6 7 8 9 10 11 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Freqüência − GHz Coeficiente de Reflexão h = 0.3 cm h = 0.1 cm
Figura 5.2: Resposta da rede para o conjunto de treinamento (—), resultados para dados n˜ao usados no treinamento (· · · ) e a compara¸c˜ao com o MoM (∗).
quadr´atico de Emed= 10−4, como ilustra a Figura 5.3.
A varia¸c˜ao do parˆametro h, como apresentado na Figura 5.2, gera influˆencia na varia¸c˜ao da freq¨uˆencia principal de reflex˜ao da estrutura e em menor escala na largura de banda. Como ´e notado atrav´es dos dados apresentados o modelo neural aplicado nesse estudo foi capaz de extrair e aprender o padr˜ao de varia¸c˜ao, tanto da freq¨uˆencia principal como da largura de banda, em fun¸c˜ao da mudan¸ca da altura, h, do substrato.
O erro de trenamento apresentado na Figura 5.3, apresenta inicialmente um r´apido decl´ınio e uma tendˆencia de estabiliza¸c˜ao com o aumento do tempo de trei- namento apesar de apresentar pequenas flutua¸c˜oes entre uma ´epoca e outra de trei- namento.
Outro conjunto de superf´ıcies seletivas de freq¨uˆencia foi simulado, dessa vez optou-se por estruturas tipo freestanding, ou seja sem a presen¸ca de um substrato diel´etrico. Nesse conjunto, o parˆametro da estrutura que teve seu valor variado foi o comprimento do patch L, mantendo os demais valores de acordo com a Tabela 5.2:
Na fase de treinamento da rede neural artificial, tamb´em foram utilizados 40 pontos em cada curva, onde os comprimentos do patch s˜ao, L = [1,0; 1,2; 1,3 e
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 10−5 10−4 10−3 10−2 10−1 100
Erro Médio Quadrático
Épocas
Figura 5.3: Evolu¸c˜ao do erro da rede MLP para o primeiro conjunto de treinamento. Tabela 5.2: Dados da geometria e treinamento do 2oconjunto de FSS (Freestanding).
• Freq¨uˆencia de opera¸c˜ao: fo = [6 − 15] GHz
• Comprimento do patch: L = [1 − 1, 6] cm • Largura do patch: W = 0, 2 cm • Per´ıodo das c´elulas na dire¸c˜ao x: Tx = 1, 8 cm
• Per´ıodo das c´elulas na dire¸c˜ao y: Ty = 1, 6 cm
• Permissividade el´etrica: ǫr= 1 (ar)
• Coeficiente de aprendizagem: η = 0, 001 • Termo do Momento: α = 0, 001 • Tempo de treinamento: 18 minutos
1,5] cm. Igualmente ao exemplo apresentado anteriormente, foi utilizado um rede MLP com duas camadas ocultas de 15 neurˆonios cada, duas entradas e uma sa´ıda referente ao coeficiente de reflex˜ao. No processo de treinamento, foram mantidos os mesmo valores para a taxa de aprendizagem, η, e para o termo do momento, α. A Figura 5.4 apresenta a curva do erro m´edio quadr´atico que obteve um valor final de 10−4 com 5000 ´epocas de treinamento.
O erro de treinamento obtido na Figura 5.4, foi como o esperado uma vez que o coeficiente de aprendizagem foi mantido do exemplo anterior, apresentando as mesmas caracter´ısticas da simula¸c˜ao passada.
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 10−5 10−4 10−3 10−2 10−1 100 Épocas
Erro Médio Quadrático
Figura 5.4: Erro de treinamento do segundo exemplo.
est˜ao inclu´ıdos os valores de L = [1,1; 1,4 e 1,6] cm que n˜ao fizeram parte do conjunto de treinamento. 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Freqüência − GHz Coeficiente de Reflexão L = 1.6 cm 1.5 1.4 1.3 1.2 1.1 1
Figura 5.5: Resposta da rede para o conjunto de treinamento (—), resultados para dados n˜ao usados no treinamento (· · · ) e a compara¸c˜ao com o MoM (∗).
Como pode-se notar na Figura 5.5, a varia¸c˜ao do comprimento, L, do patch da estrutura leva dessa vez a varia¸c˜oes mais bruscas na freq¨uˆencia em torno de 1 GHz em m´edia, novamente a Rede Neural Artificiais consegue aprender o padr˜ao de mudan¸c˜ao entre as estruturas e apresentadas resultados precisos. Aten¸c˜ao especial deve ser dada ao resultado para L = 1.6 cm, que significa um valor fora do conjunto de treinamento apresentado inicialmente para a rede MLP, onde a resposta da RNA n˜ao ´e t˜ao precisa quanto para valores treinados mas com uma diferen¸ca aceit´avel e compreens´ıvel, ilustrando assim um caso de extrapola¸c˜ao de aprendizagem.
No terceiro conjunto de estruturas modeladas foram simuladas FSS com os pa- rˆametros estruturais apresentados na Tabela 5.3, com a varia¸c˜ao em W desta vez. Foram usados no treinamento os valores de W = [0, 2; 0, 6; 1, 0e1, 2] cm.
Tabela 5.3: Dados da geometria e treinamento do 3o conjunto de FSS
• Freq¨uˆencia de opera¸c˜ao: fo = [2 − 12] GHz
• Comprimento do patch: L = 2 cm
• Largura do patch: W = [0, 2 − 1, 4] cm • Per´ıodo das c´elulas na dire¸c˜ao x: Tx = 2, 2 cm
• Per´ıodo das c´elulas na dire¸c˜ao y: Ty = 2, 2 cm
• Permissividade el´etrica: ǫr= 4, 4
• Altura do substrato: h = 0, 152 cm • Coeficiente de aprendizagem: η = 0, 001 • Termo do Momento: α = 0, 001 • Tempo de treinamento: 18 minutos
Ap´os 5000 ´epocas de treinamento os resultados est˜ao apresentados nas Figuras 5.6 e 5.7 que representam as respostas da RNA e o erro m´edio ao longo do processo de aprendizagem.
A varia¸c˜ao da largura, W, do patch das FSS gerou um conjunto mais complexo do que os anteriores, onde temos agora n˜ao somente a varia¸c˜ao entre as freq¨uˆencias de acoplamento e largura de banda mas tamb´em diferen¸cas entre os valores m´aximos de reflex˜ao entre cada dispositivo. Apesar de ter sido empregada a mesma estrutura de rede MLP que nos exemplos anteriores foram obtidos resultados excelentes onde o modelo ´e capaz de aprender corretamente todo o conjunto de treinamento, inter- porlar dados n˜ao conhecidos dentro desse conjunto e extrapolar de forma precisa o resultado, como no caso de w = 1.4 cm apresentado na Figura 5.6.
Novamente o erro de treinamento, Figura 5.7, teve um comportamento suave, com pequenas varia¸c˜ao e com tendˆencia de estabiliza¸c˜ao ao longo do processo de
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Freqüência − GHz Coeficiente de Reflexão w = 0.2 w = 1.4
Figura 5.6: Resposta da rede para o conjunto de treinamento (—), resultados para dados n˜ao usados no treinamento (· · · ) e a compara¸c˜ao com o MoM (∗).
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 10−4 10−3 10−2 10−1 100 Épocas
Erro Médio Quadrático
Figura 5.7: Erro de treinamento do terceiro exemplo. treinamento.
da varia¸c˜ao da permissividade relativa , ǫr, do substrato diel´etrico da FSS. A Tabela
5.4 apresenta as geometrias das estruturas e valores dos coeficientes de treinamento utilizados, sendo que os valores de ǫr = 5 e 8, foram apenas utilizados na valida¸c˜ao
da rede MLP.
Tabela 5.4: Dados da geometria e treinamento do 4o conjunto de FSS • Freq¨uˆencia de opera¸c˜ao: fo = [5 − 12] GHz
• Comprimento do patch: L = 0, 9 cm • Largura do patch: W = 0, 2 cm • Per´ıodo das c´elulas na dire¸c˜ao x: Tx = 1, 8 cm
• Per´ıodo das c´elulas na dire¸c˜ao y: Ty = 1, 6 cm
• Permissividade el´etrica: ǫr= [3 − 8]
• Altura do substrato: h = 0, 152 cm • Coeficiente de aprendizagem: η = 0, 001 • Termo do Momento: α = 0, 001 • Tempo de treinamento: 18 minutos
A Figura 5.8 ilustra os resultados obtidos pela modelagem neural feita seme- lhantemente as anteriores, com treinamento Backpropagation de 5000 ´epocas e uma rede com 2 entradas, 2 camadas ocultas de 15 neurˆonios e uma sa´ıda. A Figura 5.9 apresenta a evolu¸c˜ao da RNA ao longo do treinamento.
A varia¸c˜ao do ǫr nas estruturas apresenta caracter´ısticas semelhantes ao exemplo
anterior, como mudan¸cas na freq¨uˆencia de corte, largura de banda e valor m´aximo de reflex˜ao. Sendo neste caso a varia¸c˜ao de freq¨uˆencia muito mais significativa do que as diferen¸cas de largura de banda e de reflex˜ao m´axima. Novamente o modelo MLP com 2 camadas de 15 neurˆonios cada demonstra boa capacidade de aprendizagem e generaliza¸c˜ao dos dados, incluindo a extrapola¸c˜ao precisa para ǫr =
8, como demonstra a Figura 5.8.
A Figura 5.9 apresenta o processo de aprendizagem da RNA aplicada a varia¸c˜ao dos valores de ǫr da estrutura, nesse caso o erro de aprendizagem se comportou de
forma mais oscilat´oria do que nos casos apresentados anteriormente, isso representa uma dificuldade de aprendizado encontrada pela rede apesar de ter alcan¸cado, por fim, um pequeno valor de erro m´edio quadr´atico e os bons resultados apresentados na Figura 5.8. Uma poss´ıvel solu¸c˜ao para amenizar o comportamento do erro seria a diminui¸c˜ao do coeficiente de aprendizado, mas que n˜ao garante a obten¸c˜ao dos mesmos resultados j´a obtidos.
Como ´ultimo exemplo de modelagem de estruturas FSS a ser investigado, foi criado um conjunto de dados com as caracter´ısticas apresentadas na Tabela 5.5,
5 6 7 8 9 10 11 12 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Freqüência − GHz Coeficiente de Reflexão er = 3 er = 4 er = 5 er = 6 er = 7 er = 8
Figura 5.8: Resposta da rede para o conjunto de treinamento (—), resultados para dados n˜ao usados no treinamento (· · · ) e a compara¸c˜ao com o MoM (∗).
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 10−5 10−4 10−3 10−2 10−1 100 Épocas
Erro Médio Quadrático
Figura 5.9: Erro de treinamento para exemplo da varia¸c˜ao de ǫr.
com a escolha do parˆametro principal sendo o L, dos quais os de valores iguais a L = [0,8; 1,0; 1,1 e 1.2] cm, com uma amostragem de 60 pontos por curva foram
utilizados para treinar a rede MLP. Em especial, nesse exemplo, os dados simulados representam coeficiente de transmiss˜ao da estrutura.
Tabela 5.5: Dados da geometria e treinamento do 5o conjunto de FSS
• Freq¨uˆencia de opera¸c˜ao: fo = [6 − 12] GHz
• Comprimento do patch: L = [0, 8 − 1, 3] cm • Largura do patch: W = 0, 2 cm • Per´ıodo das c´elulas na dire¸c˜ao x: Tx = 1, 8 cm
• Per´ıodo das c´elulas na dire¸c˜ao y: Ty = 1, 6 cm
• Permissividade el´etrica: ǫr= 4
• Altura do substrato: h = 0, 152 cm • Coeficiente de aprendizagem: η = 0, 001 • Termo do Momento: α = 0, 001 • Tempo de treinamento: 25 minutos
6 7 8 9 10 11 12 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
Freqüência − GHz
Coeficiente de Transmissão
L = 1.3 cm 1.2 1.1 1.0 0.9 0.8Figura 5.10: Resposta da rede para o conjunto de treinamento (—), resultados para dados n˜ao usados no treinamento (· · · ) e a compara¸c˜ao com o MoM (∗).
aprender os padr˜oes causados pela varia¸c˜ao do comprimento, L, em uma estrutura FSS com diel´etrico. ´E poss´ıvel notar que nesse exemplo, a varia¸c˜ao do, L, apresenta como caracter´ıstica dominante a mudan¸ca na freq¨uˆencia de corte. Os resultados apresentado pela RNA ap´os o t´ermino da fase de aprendizagem s˜ao bastante precisos como era de se esperado, devido ao padr˜ao de mudan¸ca suave entre uma estruturas e outra.
A Figura 5.11 apresenta a evolu¸c˜ao do erro de aprendizagem da rede ao longo de 5000 ´epocas de treinamento alcan¸cando um valor final de Emed = 1, 7 × 10−4.
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 10−4 10−3 10−2 10−1 100
Épocas
Erro Médio Quadrático
Figura 5.11: Erro ao longo do processo de aprendizagem do quinto conjunto de treinamento.
Os resultados apresentados na Figura 5.10 mostram a capacidade de aprendizado e generaliza¸c˜ao da rede treinada uma vez que os pontos referentes a L = 1,3 cm s˜ao pontos que extrapolam a regi˜ao coberta pelo conjunto de treinamento utilizado.
De forma a comprovar a eficiˆencia dos m´etodos aplicados, tanto a modelagem atrav´es de Redes Neurais Artificiais, quanto o M´etodo dos Momentos, foi constru´ıda e medida em laborat´orio uma estrutura FSS com as caracter´ısticas apresentadas na
Tabela 5.5 com L = 0,9 cm. A Figura 5.12 mostra a compara¸c˜ao entre os valores medidos e simulados. 6 7 8 9 10 11 12 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
Freqüência − GHz
Coeficiente de Transmissão
0.9Figura 5.12: Resposta da rede MLP (· · · ) e simula¸c˜ao com MoM (∗) e compara¸c˜ao com valores medidos (•).
Nesta se¸c˜ao, foram modelados 5 diferentes conjuntos de estruturas FSS, todos os resultados apresentados demonstram a capacidade das redes neurais na predi¸c˜ao das respostas das estruturas, pois os estruturas usadas durante o processo de valida¸c˜ao se demonstram em total acordo com os valores simulados. A partir dos resultados apresentados ´e poss´ıvel notar a flexibilidade da t´ecnica neural, uma vez que a mesma estrutura de rede foi utilizada em todos os casos estudados.
Todos os processos de treinamento duraram em m´edia 20 minutos, mas ap´os essa fase as redes neurais artificiais s˜ao capazes de disponibilizar a resposta da estrutura em menos de um segundo, enquanto que a simula¸c˜ao atrav´es de MoM com o n´umero de v´ariaveis espectrais iguais a M = 100 e N = 10, para a mesma estrutura ´e de 3 minutos.