5. TARTIŞMA
5.2. Path Modeline İlişkin Bulguların Tartışılması
Para determinar a dinˆamica n˜ao-markoviana de dois qubits n˜ao-intera- gentes acoplados a reservat´orios t´ermicos independentes vamos adotar o mesmo procedimento da se¸c˜ao 3.1.4. Primeiro vamos obter a dinˆamica de um ´unico qubit3, escrita na forma da equa¸c˜ao (3.61). Feito isso, basta utilizar a equa¸c˜ao
(3.34) para determinar a dinˆamica no caso de dois qubits. Nosso ponto de partida 3Para obter a dinˆamica exata de um ´unico qubit vamos adotar o modelo resolvido no cap´ıtulo 10 da Ref. [13] - um sistema de dois n´ıveis com emiss˜ao espontˆanea.
3. Dinˆamica de Correla¸c˜oes Quˆanticas em Sistemas Quˆanticos Abertos 45
´e o Hamiltoniano:
ˆ
H = ˆHS+ ˆHR+ ˆHSR, (3.36)
onde ˆHS = ω0σˆ+σˆ− e ˆHR = Pkωkˆb†kˆbk s˜ao os Hamiltonianos do qubit e do
reservat´orio, respectivamente. A intera¸c˜ao entre o qubit e o reservat´orio ´e descrita pelo Hamiltoniano: ˆ HSR= ˆσ+⊗ ˆB + ˆσ−⊗ ˆB† com B =ˆ X k gkˆbk, (3.37)
com gkdescrevendo o acoplamento entre o qubit e o k-´esimo modo do reservat´orio.
Este modelo ´e utilizado na Ref. [13] para descrever a emiss˜ao espontˆanea de um ´atomo de dois n´ıveis.
Agora, vamos introduzir os estados ortonormais [13]:
|ψ0i = |0iS⊗ |0iR,
|ψ1i = |1iS⊗ |0iR, (3.38)
|ψki = |0iS⊗ |kiR,
onde |0iS e |1iS denotam, respectivamente, os estados fundamental e excitado
do qubit, com |0iS = ˆσ−|1iS, enquanto que |0iR denota o estado de v´acuo do reservat´orio. O estado com uma excita¸c˜ao no modo k ´e representado por|kiR=
ˆb† k|0iR.
Na representa¸c˜ao de intera¸c˜ao, a dinˆamica da fun¸c˜ao de onda do sistema global φ(t) ´e obtida atrav´es da equa¸c˜ao:
d
dtφ(t) =−i ˆHI(t)φ(t), (3.39)
onde
ˆ
HI(t) = ˆσ+(t)⊗ ˆB(t) + ˆσ−(t)⊗ ˆB†(t), (3.40)
´e o Hamiltoniano (3.36) na representa¸c˜ao de intera¸c˜ao, com:
ˆ
σ±(t) = ˆσ±e±iω0t e B(t) =ˆ X
k
Como o n´umero de excita¸c˜oes, ˆN = ˆσ+σˆ−+Pkˆb†kˆbk, ´e uma quantidade
conservada, ou seja, [ ˆN , ˆH] = 0, a fun¸c˜ao de onda no instante de tempo t, para um estado inicial φ(0) na forma:
|φ(0)i = c0|ψ0i + c1|ψ1i +
X
k
ck|ψki , (3.42)
pode ser escrita como:
|φ(t)i = c0|ψ0i + c1(t)|ψ1i +
X
k
ck(t)|ψki , (3.43)
onde c0 ´e uma constante tendo em vista que ˆHI(t)|ψ0i = 0. Substituindo a
equa¸c˜ao (3.43) na equa¸c˜ao (3.39) e usando a ortogonalidade dos estados (3.38), determina-se as equa¸c˜oes de movimento para os coeficientes c1(t) e ck(t):
˙c1(t) = −i
X
k
gkei(ω0−ωk)tck(t), (3.44)
˙ck(t) = −igk∗e−i(ω0−ωk)tc1(t). (3.45)
Assumindo que o reservat´orio encontra-se inicialmente no estado de v´acuo, ck(0) =
0, a solu¸c˜ao formal da equa¸c˜ao (3.44) ´e dada por:
ck(t) = −igk∗
Z t
0
e−i(ω0−ωk)t1
c1(t1)dt1. (3.46)
Substituindo este resultado na equa¸c˜ao (3.44):
˙c1(t) = − Z t 0 X k |gk|2ei(ω0−ωk)(t−t1)c1(t1)dt1. (3.47)
Podemos reescrever esta equa¸c˜ao observando que:
X k |gk|2ei(ω0−ωk)(t−t1) = TrR ˆB(t) ˆB†(t1)ρR eiω0(t−t1) ≡ F (t − t1),
onde ρR=|0iRh0| ´e o estado de v´acuo do reservat´orio. Neste caso,
˙c1(t) = −
Z t
0
dt1F (t− t1)c1(t1). (3.48)
No limite do cont´ınuo, a fun¸c˜ao de correla¸c˜ao F (t− t1) pode ser expressa em
termos da densidade espectral do reservat´orio f (ω):
F (t− t1) =
Z
dωf (ω)ei(ω0−ω)(t−t1)
3. Dinˆamica de Correla¸c˜oes Quˆanticas em Sistemas Quˆanticos Abertos 47
O operador densidade ρ(t) associado ao qubit ´e obtido atrav´es da equa¸c˜ao (3.43) mediante o tra¸co parcial com rela¸c˜ao as vari´aveis do reservat´orio:
ρ(t) = TrR(|φ(t)i hφ(t)|) = |c1(t)|2 c∗0c1(t) c0c∗1(t) 1− |c1(t)|2 . (3.50)
Derivando esta equa¸c˜ao com rela¸c˜ao a t e usando ˙c0 = 0:
d dtρ(t) = d dt|c1(t)| 2 c∗ 0˙c1(t) c0˙c∗1(t) −dtd|c1(t)|2 . (3.51)
Podemos reescrever esta equa¸c˜ao da seguinte maneira: d dtρ(t) = − i 2S(t) [ˆσ+σˆ−, ρ(t)] + Γ(t) ˆ σ−ρ(t)ˆσ+− 1 2{ˆσ+σˆ−, ρ(t)} ,(3.52) com S(t) = −2Im ˙c1(t) c1(t) , (3.53) Γ(t) = −2Re ˙c1(t) c1(t) , (3.54)
onde S(t) desempenha o papel do Lamb-Shift e Γ(t) a taxa de decaimento do sistema, sendo que ambas quantidades dependem do tempo.
Portanto, para determinar a dinˆamica do qubit ´e necess´ario resolver a equa¸c˜ao (3.48). Para realizar esta tarefa, vamos adotar a seguinte densidade espectral: f (ω) = 1 2π γ0λ2 (ω0− ω)2+ λ2 , (3.55)
onde o parˆametro λ define a largura espectral em torno da frequˆencia ω0, associada
com o tempo de correla¸c˜ao do reservat´orio τR ∝ 1/λ. O parˆametro γ0 est´a
relacionado com o tempo de relaxa¸c˜ao do qubit, τq ∝ 1/γ0. Substituindo esta
densidade espectral na equa¸c˜ao (4.14) e resolvendo a integral [79]:
F (t− t1) =
1 2γ0λe
−λ(t−t1), (3.56)
com t > t1. Usando este resultado e derivando a equa¸c˜ao (3.48) com rela¸c˜ao a t:
¨ c1(t) = − 1 2γ0λ d dt e−λt Z t 0 dt1eλt1c1(t1) , = −1 2γ0λ −λe−λt Z t 0 dt1eλt1c1(t1) + c1(t) , = −λ ˙c1− 1 2γ0λc1(t).
Resolvendo esta equa¸c˜ao diferencial de segunda ordem e aplicando a condi¸c˜ao ˙c1(0) = 0, consequˆencia direta da equa¸c˜ao (3.48), tem-se que:
c1(t) = c1(0)e−λt/2 cosh dt 2 +λ dsinh dt 2 , (3.57) onde d = pλ2− 2γ
0λ. Substituindo este resultado nas equa¸c˜oes (3.53) e (3.54)
tem-se que S(t) = 0 e
Γ(t) = 2γ0λ sinh(dt/2)
d cosh(dt/2) + λ sinh(dt/2). (3.58)
O regime markoviano ´e atingido quando a taxa de relaxa¸c˜ao do qubit ´e muito maior que o tempo de correla¸c˜ao do reservat´orio, ou seja, τq ≫ τR (ou
λ≫ γ0). Neste caso, d =pλ2 − 2γ 0λ = λp1 − 2γ0/λ≈ λ, logo Γ(t)≈ 2γ0λ sinh(λt/2) λ cosh(λt/2) + λ sinh(λt/2) ≈ 2γ0 1 + cosh(λt/2)sinh(λt/2),
implicando em Γ(t) ≈ γ0 para λ → ∞. Com isso, mostra-se que neste limite, a
equa¸c˜ao (3.52) ´e equivalente a equa¸c˜ao markoviana (3.15), com N = 0 e γ0 =
2πf (ω0).
A dinˆamica do operador densidade que descreve o estado do qubit ´e obtida substituindo a equa¸c˜ao (3.57) na equa¸c˜ao (3.50):
ρ(t) = ρ1,1(0)Pt ρ1,0(0)√Pt ρ0,1(0)√Pt ρ0,0(0) + ρ1,1(0)(1− Pt) , (3.59) com Pt = e−λt cosh dt 2 + λ d sinh dt 2 2 . (3.60)
Para determinar a dinˆamica de dois qubits idˆenticos n˜ao-interagentes acoplados a reservat´orios independentes basta utilizar a equa¸c˜ao (3.34), obser- vando que os elementos do operador densidade (3.59) podem ser expressos da seguinte maneira:
ρp,p′(t) =
X
l,l′=0,1
3. Dinˆamica de Correla¸c˜oes Quˆanticas em Sistemas Quˆanticos Abertos 49
onde p, p′ = 0, 1 e
M00,00(t) = 1 , M00,11(t) = 1− Pt, (3.62)
M11,11(t) = Pt , M01,01(t) =M10,10(t) =pPt.
Portanto, assumindo o estado inicial:
|ψi = α |00i +√1− α2|11i , (3.63)
com α∈ [0, 1], o operador densidade associado aos dois qubits ´e definido atrav´es das express˜oes abaixo:
ρ1,1(t) = (1− α2)Pt2, ρ2,2(t) = ρ3,3(t) = (1− α2)Pt(1− Pt), ρ4,4(t) = α2+ (1− α2)(1− Pt)2, (3.64) ρ1,4(t) = ρ4,1(t) = α √ 1− α2P t.
Na Figura (3.5) pode-se observar a dinˆamica n˜ao-markoviana das cor- rela¸c˜oes quˆanticas, referentes ao operador densidade (3.64), em fun¸c˜ao do tempo t para diferentes estados iniciais e para λ = 0.01γ0. Neste caso, o emaranhamento
entre os qubits foi calculado atrav´es do Emaranhamento de Forma¸c˜ao (eq. (2.14)). Como discutido na Ref. [75], o comportamento do emaranhamento pode ser dividido em dois regimes, um quando α ≥ 1/√2 e outro quando α < 1/√2. Para α≥ 1/√2 o emaranhamento descreve uma oscila¸c˜ao amortecida anulando-se apenas para valores discretos de t, que coincidem com os zeros da fun¸c˜ao (3.60), ou seja, tn = 2[nπ− arctan( ˜d/λ)]/ ˜d com ˜d =p2γ0λ− λ2 [75]. Este comportamento
´e ilustrado4 na Fig. (3.5c) onde usamos α = 1/√2. Note tamb´em que neste
caso, o emaranhamento n˜ao apresenta uma dependˆencia temporal monotˆonica, caracter´ıstica da dinˆamica markoviana.
Para α < 1/√2 existem tamb´em dois regimes de parˆametros que car- acterizam o comportamento do emaranhamento. Para alguns valores de α o emaranhamento pode sofrer uma morte s´ubita como no caso markoviano, por exemplo para α = 1/√10 (veja Fig. (3.5a)). Em outros casos, o emaranhamento 4Os valores do Emaranhamento de Forma¸c˜ao nas vizinhan¸cas de tns˜ao muito pr´oximos de zero (mas sempre positivos), dificultando a visualiza¸c˜ao deste comportamento.
FIGURA 3.5: Dinˆamica das correla¸c˜oes quˆanticas entre dois qubits n˜ao-interagentes acoplados a reservat´orios n˜ao-markovianos independentes para diferentes estados iniciais [determinados pela eq. (3.63)]: (a) α = 1/√10, (b) α = 1/√3 e (c) α = 1/√2. A Disc´ordia Quˆantica ´e caracterizada pela linha s´olida/azul e o Emaranhamento de Forma¸c˜ao pela linha tracejada/vermelha . Para gerar estes resultados adotamos λ = 0.01γ0. O gr´afico inserido no painel (a) representa um zoomem torno do ponto t1≈ 23.27.
3. Dinˆamica de Correla¸c˜oes Quˆanticas em Sistemas Quˆanticos Abertos 51
exibe um novo fenˆomeno, conhecido como nascimento s´ubito do emaranhamento [76; 77]: o emaranhamento entre os qubits desaparece subitamente e ressurge ap´os um intervalo de tempo finito, como ilustrado na Fig. (3.5b), onde utilizou-se α = 1/√3. Este ressurgimento ´e uma consequˆencia da mem´oria do reservat´orio, devido a sua natureza n˜ao-markoviana, pois n˜ao h´a qualquer intera¸c˜ao entre os qubits. Diferente do caso markoviano, a informa¸c˜ao e energia transferida do sistema para o reservat´orio pode eventualmente retornar ao sistema [13].
A Disc´ordia Quˆantica, por outro lado, n˜ao sofre um desaparecimento s´ubito, anulando-se apenas para valores discretos de t, determinados pela rela¸c˜ao tn= 2[nπ−arctan( ˜d/λ)]/ ˜d, quando o estado dos qubits torna-se puro e separ´avel.
Este comportamento, apresentado na Fig. 3.5, acontece para qualquer estado inicial com α entre 0 e 1, ou seja, para estados iniciais quanticamente cor- relacionados.No entanto, nas regi˜oes onde n˜ao h´a emaranhamento a Disc´ordia assume valores muito pr´oximos de zero, como ilustrado no gr´afico inserido na Fig. (3.5)a. Al´em disso, como constatado na Fig. (3.5), a Disc´ordia apresenta qualitativamente o mesmo comportamento para os distintos valores de α.