Esta etapa do estudo corresponde, efetivamente, ao início da fase de cossituação da Pesquisa Colaborativa, pois é o momento em que o pesquisador começa a conhecer com mais propriedade o contexto no qual a investigação será desenvolvida. Neste estágio ocorre a aproximação entre pesquisador e professoras-colaboradoras da pesquisa e são geradas as primeiras impressões do estudo a partir da relação direta entre os parceiros. No caso desta pesquisa, este foi o primeiro momento em que pesquisador e professoras geraram dados de forma direta, a partir dos momentos de interação mediados por tecnologias digitais.
Como registrado anteriormente, para todas as três professoras, a formação proporcionada pelo Projeto OBEDUC/E-Mult representou a primeira vez que tiveram contato com a Teoria dos Campos Conceituais. Mais que isso, em alguns momentos, as professoras deixaram perceber que esta fora a primeira oportunidade que tiveram para conhecer com maior propriedade uma teoria que servisse de suporte para o ensino e a aprendizagem da Matemática.
Apesar de terem formações acadêmicas diferentes – duas com Curso Normal (Magistério em Nível Médio) e licenciatura em Letras-Português e uma Licenciada em Matemática e, que no momento da pesquisa, cursava Mestrado Profissional em Informática Aplicada –, todas demonstraram, em medidas diferentes, dificuldades ora com aspectos didáticos da Matemática, ora com elementos conceituais, neste caso avaliado, relativo às estruturas multiplicativas.
É relevante destacar a diferença na formação das professoras, pois diz muito das experiências e conhecimento matemáticos que as três possuem. Não se trata apenas de uma afirmação baseada em senso comum, mas espera-se, como é confirmado pelos dados, que a Licenciada em Matemática tenha um conhecimento mais elaborado do que suas colegas que passaram pela formação pedagógica em nível médio e licenciatura em Português. Isso implicará nas concepções sobre o campo conceitual multiplicativo que elas apresentaram nas atividades da formação colaborativa apoiada em tecnologias digitais.
Apesar das experiências formativas em Matemática, no que diz respeito especificamente ao contato com a TCC houve um consenso quanto ao desconhecimento de seus pressupostos. Para as professoras o conhecimento do campo conceitual multiplicativo
inaugurava uma nova percepção sobre Educação Matemática. As falas das professoras PCA e PCN, respectivamente, representam esta ideia:
PCA: Eu confesso que quando eu conheci o grupo de vocês e se falava em
Vergnaud eu tinha era medo! Porque me espantava aquilo ali. Eu lia e não entendia nada! “Meu Deus, o que é isso?!”. Mas com o tempo eu fui percebendo qual sentido fazia tudo aquilo ali.
PCN: Esse último encontro que nós tivemos [...] a P [nome de uma
professora que a acompanhava e também participava das formações presenciais] disse... a gente vinha conversando, ai ela disse: 'PCN, esse
encontro eu me senti tão bem, sabe?! Tão bem que eu consegui perceber' - isso a gente conversando - que a gente não... não é que a gente não saiba nada, entendeu? É como se a gente estivesse no mesmo nível, lógico que nós não estamos, mas assim, pelo menos a gente não tava tão perdida quando da primeira vez. [...] São muitas palavras que pra mim é a primeira vez que eu tô vendo. [...] Esse sábado último agora [referindo-se ao mesmo encontro
do início da fala], foi assim... foi show! Ai eu pude compreender! Porque são
muitas palavras que... não é do meu mundo, sabe? Não é do meu mundo mesmo, do Português, do meu mundo que eu convivo, esse negócio de quaternária, ternária, tudo isso perturba... Ave Maria! Naquele dia eu entendi... acho que entendi.
Os depoimentos são muito reveladores da realidade de formação inicial dos professores que ensinarão Matemática na Educação Básica. Considerando que PCA tem formação para atuar nos anos finais do Ensino Fundamental e no Ensino Médio, e PCN, pelo curso Normal, atuar nos primeiros anos de escolarização, ambas ainda não conheciam elementos da TCC. Esta experiência deve-se à formação continuada oferecida pelo Projeto OBEDUC/E-Mult. Convém destacar, portanto, as transformações pelas quais as professoras estavam passando em seu desenvolvimento profissional docente a partir da pesquisa e formação colaborativa (PONTE, 2010).
A partir desses fragmentos verifica-se o sentimento de estranhamento das professoras para com a Teoria, e de certa forma, uma aflição, pelo fato de tais elementos teóricos não serem algo comum à formação que elas tiveram e, consequentemente, à sua prática docente. Considerando o relato de PCN, em que ressalta sua formação de graduação, é aceitável que uma elaboração teórica para a Educação Matemática fosse ausente. O mesmo não se pode dizer de PCA, que é licenciada para lecionar especificamente a disciplina. Por essa razão, era de se esperar que tivesse algum subsídio advindo do curso de graduação.
Esta realidade parece não ser presente somente aqui no Brasil. Silva (2009) apoiada no trabalho das norte-americanas Lambert e Ball (1998), observa que no país das
educadoras matemáticas também havia descaso com a formação inicial de professores de Matemática. As autoras atribuem esse problema a questões como:
(I) a pouca atenção dada, nessa formação, às crenças, concepções e conhecimentos que os futuros professores trazem para o curso de formação inicial; (II) tais cursos geralmente passam a impressão de que é preciso pouco além do senso comum para ensinar, isto é, não mostram a necessidade de conhecimento profissional; (III) não dão a devida atenção ao conhecimento didático; (IV) separam teoria e prática tanto temporal quanto conceitualmente; (V) dão reduzida importância à prática profissional (LAMBERT; BALL, 1998 citadas por SILVA, 2009, p. 2)
De acordo com o relato das professoras-colaboradoras, é justamente sobre esses aspectos que a formação continuada que elas estavam participando se contrapunha. A importância atribuída aos conhecimentos matemáticos trazidos pelas professoras para o planejamento das atividades de formação, a ênfase nos aspectos teóricos da TCC para que as docentes se apropriassem e reverberasse em conhecimento didático, além da atenção à prática, são evidências de que a formação do Projeto OBEDUC/E-Mult, junto à experiência desse estudo, estava oportunizando às professoras uma experiência positiva de aprendizado sobre o ensino e a aprendizagem matemáticos, em especial, acerca do campo conceitual multiplicativo.
Isto é potencializado quando se constata que a carência teórica não se restringe à formação inicial de professor para ensinar Matemática, seja em nível Médio ou Superior. PCS relata sobre a formação deficitária em Matemática que teve, tanto em experiências de formação inicial, quanto continuada, como é o caso que ela comenta no excerto a seguir:
PCS: A formação do PAIC [Programa de Alfabetização na Idade Certa19]
também é muito precária em relação a isso. Não é uma coisa tão direcionada pra como o aluno pensa, como ele cria suas hipóteses, não tem essa questão. É mais aquela questão direta de como ensinar conteúdo tal.
[...] Ai eu começo a ver que tinha muita coisa, muita não, algumas coisas
que eu fazia, mesmo intuitivamente, mas que é a forma correta de trabalhar.
Não se pretende atribuir juízo de valor às falas das professoras quando se referem aos saberes que possuíam e como realizavam suas práticas. Como assumido anteriormente, pretende-se, pois, levantar os pressupostos teóricos e metodológicos das professoras acerca do 19 Programa de cooperação entre o Governo do Estado do Ceará e seus municípios, que tem como objetivo alfabetizar os alunos da rede pública de ensino até o final do segundo ano do Ensino Fundamental. Além dos aspectos de Letramento, elementos da Matemática também foram adicionados aos conteúdos trabalhados na formação oferecida aos professores.
campo conceitual multiplicativo para então construir argumentos que contribuam na mudança das concepções delas, que influenciem em suas práticas de ensino de Matemática. Nos discursos das três professoras foram identificados elementos da TCC considerados indícios da reflexão da prática docente e desenvolvimento profissional delas a partir da formação iniciada.
Por outro lado, tais relatos corroboram ao que se sabe sobre formação docente de Matemática, e são apenas retrato do que é oferecido aos professores que atuam na Educação Básica (CURI, 2004; FIORENTINI; LORENZATO, 2006). Há que se destacar, inclusive, como provável efeito da formação deficitária, o interesse das professoras em participar da formação e estarem abertas ao aprendizado matemático no sentido de melhorar suas práticas e contribuir para aprendizagem de seus alunos. Isso, aliás, está em consonância com a proposta teórica de Vergnaud (2009), quando afirma a necessidade de o professor conhecer aspectos ligados ao ensino dos conceitos matemáticos em razão destes permitirem melhor compreensão das dificuldades encontradas pelos aprendizes.
Convém destacar ainda das falas apresentadas, as nuances de elementos da TCC que passam a impactar na prática das docentes. Todas as três professoras, ao se reportarem aos primeiros contatos com a teoria de Vergnaud, remetem à dimensão do ensino e da aprendizagem das estruturas multiplicativas que estava aprendendo ou evocando conceitos teóricos em seus discursos.
Além desse aspecto, há que se enfatizar elementos da prática que as professoras assumiam fazer, ainda que intuitivamente, como destacou PCS, mas que elas percebiam que se alinhavam à proposta do campo conceitual multiplicativo. Considera-se que a formação do Projeto OBEDUC/E-Mult, iniciada cinco meses antes das entrevistas, já influenciava na concepção delas de ensino, bem como inaugurava uma apropriação teórica.
PCN: Hoje a D [nome de uma professora da escola] tava fazendo um
comentário sobre uma formação que elas tiveram do terceiro ano […] Ai ela disse que tinha uma menina lá que dizia tanta asneira! Tipo assim: 'Não, os meninos só vão aprender multiplicação, lá não sei quando...' Sabe? Ai ela disse que incorporou o professor A [coordenador do Projeto OBEDUC/E-
Mult no Ceará], meu filho, e deu uma senhora aula!
Nas falas de PCN é frequente a menção a terceiros, uma vez que, por ela estar na função de coordenadora afastada de sala de aula, a reflexão da prática docente se dá, por
vezes, pelos relatos de seus colegas. Tal fato é considerado positivo, pois desvela como a formação do Projeto OBEDUC/E-Mult está influenciando nos demais professores da escola, assim como testemunha sobre o apoio que as professoras-coordenadoras estavam oferecendo aos seus colegas, visto que essa é uma atividade inerente àquele perfil para o desenvolvimento do projeto na escola. É mais uma interface de como os conhecimentos desenvolvidos na formação passavam a influenciar a prática das três professoras. No caso de PCN, diretamente na atividade que exerce na escola – a coordenação.
Sobre o que é dito na fala da professora, no início da formação, para muitos professores a concepção de que haveria uma idade adequada para as crianças serem apresentadas aos conceitos de multiplicação e divisão era compartilhada. Com este depoimento é possível perceber que essa concepção foi mudada e alinhada ao que sugere a Teoria dos Campos Conceituais. Isso é bem ressaltado quando PCN comenta que a colega incorporou o coordenador do Projeto OBEDUC/E-Mult, referindo-se, com isso, a assumir a posição teórica e metodológica do ensino e da aprendizagem matemáticos que considera que o pensamento multiplicativo está presente desde a infância e que deve ser desenvolvido com os alunos nas primeiras séries escolares.
Mais do que uma mera mudança de opinião à revelia de suas crenças preliminares, este discurso sugere que as professoras apropriaram-se da ideia e se convenceram do contrário. Com isto, docentes passaram a compreender que o pensamento multiplicativo não só está presente, como é preciso desenvolvê-lo, ainda nos primeiros anos de escolarização.
Considerando um contexto de aprendizagem colaborativa, Dillenbourg (1999, p. 5) mencionaria que a professora D, apresentada no discurso de PCN, executou “[…] atividades extras (explicação, a discordância, a regulação mútua etc) que desencadeiam mecanismos cognitivos extras (elicitação de conhecimento, internalização, redução de carga cognitiva etc)”. Tais atividades são características de processos de aprendizagem em pares. Assim, ao explicar e discordar com a formadora, a colega de PCN mostra que internalizou conhecimentos, neste caso acerca de pressupostos do campo conceitual multiplicativo. De igual forma, ao fazer tal relato, PCN também demonstra que este conhecimento também foi relevante e apropriado por ela.
Alguns conceitos básicos e termos relativos às estruturas multiplicativas também passavam a fazer parte das concepções docentes, no momento da entrevista. De acordo com
as participantes da pesquisa, muito se devia à formação oferecida e que já estaria impactando em suas ações na escola. Classificar situações em eixos, perceber as relações entre grandezas, permitir ao aluno elaborar e expor seus esquemas de pensamento são particularidades da TCC que, a priori, começavam a ser compreendidas e internalizadas pelas professoras, como se verifica nos depoimentos a seguir:
PCS: Eu pude entender é que tem uma diferença do campo aditivo pro
multiplicativo, embora o multiplicativo tenha a questão da adição, das parcelas repetidas, mas que são pensamentos diferentes. Me parece que multiplicativa é uma coisa bem mais complexa do que a adição. Eu tô ainda começando a me apropriar daquelas questões da Proporção Simples, da Proporção Múltipla. […] Agora é que eu tô começando a perceber, entender aquela questão de um-para-muitos, muitos-para-muitos. Isso eu também não entendia.
A partir deste fragmento da entrevista é possível afirmar que PCS percebia a existência e a necessidade de uma ruptura entre os campos conceituais aditivo e multiplicativo. A professora, inclusive, usou como argumento a estratégia de resolução com parcelas repetidas que evidencia tal compreensão, em razão de aquela ser um invariante válido no campo aditivo, mas restrito para as estruturas multiplicativas.
Além disso, ela cita termos dos eixos da classificação de problemas, bem como as classes de acordo com as relações. Ao ressaltar aspectos da TCC considera-se que, efetivamente, há uma apropriação de conceitos do campo conceitual multiplicativo e reflexão sobre a aplicação deles na prática docente. Ainda a esse respeito, o fragmento a seguir, feito p o r PCA, revela que a docente estava bastante atenta ao aspecto das relações entre as grandezas envolvidas nos problemas:
PCA: Com essa Teoria, eu vejo muito isso na teoria de Vergnaud: é dar
sentido às coisas. É saber fazer as relações corretas entre as informações que ele dá, são as grandezas. E isso me chamou muita atenção.
Nesta fala a ênfase recai sobre as relações entre as grandezas. Estas, aliás, são um dos fatores de mais destaque na TCC, visto que ajudam a perceber os componentes das situações-problema – as gradezas presentes e como elas se relacionam. É a partir do estabelecimento dessas relações que os problemas matemáticos passam a fazer sentido, distanciando do mero exercício de aplicação de fórmulas e algoritmos. A partir da identificação das grandezas e as relações existentes entre elas é que se diversificam os tipos de
problemas multiplicativos. A classificação de situações em Isomorfismos e Produtos de Medidas, apresentados por Vergnaud (2009), se dá a partir das relações entre quatro e três quantidades, respectivamente chamadas de quaternárias e ternárias.
Estes termos das relações entre os elementos da situação foram os que mais chamaram atenção de PCN. A professora destacou-os como uma parte da TCC que estaria apropriando-se ou, pelo menos, foram bastante significativos para ela. O fragmento da entrevista a seguir sustenta essa afirmação:
PCN: Mas que essas palavras assim: estrutura multiplicativa e
principalmente a quaternária e as ternárias foram... assim: 'Meu Deus, o que é que é isso?!'. Já... Já tá clareando um pouco. Não vou terminar dando uma aula, não, mas pelo menos pra mim vai servir muito!
Convém esclarecer que a aula a que a professora se referia dizia respeito a uma possível formação de outros professores, por exemplo, e não a ministrar aulas de Matemática a alunos da Educação Básica, embora não foi perguntado se ela se sentia apta a esclarecer dúvidas aos colegas da escola, visto que essa poderia ser uma atribuição do coordenador do projeto na escola, eventualmente. De todo modo, a despeito dessa inferência, considera-se que alguns conceitos básicos da TCC já começavam a fazer parte dos saberes que PCN adquiriu e internalizou em suas experiências com a formação, até então oferecida, e repercutirão nas experiências colaborativas que ela vivenciará nesta pesquisa, assim como suas duas colegas.
Apenas com essa análise não é possível mensurar o quanto esses conceitos foram apreendidos para além da terminologia e em que medida, do ponto de vista de classificação e diversificação de situações, por exemplo, foram apropriados por cada docente especificamente. Para a experiência de aprendizagem colaborativa importa os conhecimentos mobilizados pelo grupo e não o que cada um aprendeu particularmente. De acordo com Stahl, Koschmann e Suthes (2006), esse é um componente difícil de ser apreendido em práticas com CSCL, visto que se trata de um produto do coletivo, embora imbuído de contribuições individuais.
De todo modo, de alguma forma tais saberes apresentados pelas professoras e trabalhados na formação do Projeto OBEDUC/E-Mult já influenciam e oportunizam reflexões sobre o ensino e a aprendizagem de estruturas multiplicativas nas professoras. As falas a seguir corroboram tais inferências, mostrando, inclusive, a importância que elas atribuem à experiência que estão vivenciando e seus professores colegas de escola.
PCN: O conhecimento, a partir dessas formações, desses encontros, eles
[referindo-se aos professores da escola que participam da formação do Projeto OBEDUC/E-Mult] têm. E em tendo o conhecimento, fica tudo muito
mais fácil. Basta querer, certo? Eu acho assim: que quando a pessoa já tem uma vivência, já tem o conhecimento, já fez uma vez, ele fica assim, com vontade de fazer mais e eu acredito que vai dar uma melhorada. Até porque, hoje em dia, o ensino ele exige muito! Ele exige muito! O governo exige muito! Então, assim: quando mais você capricha, mais resultado você dá e melhora.
De acordo com PCN, que é coordenadora em sua escola, os conhecimentos mobilizados pela formação devem ter impacto direto na prática docente. Pelos relatos das três docentes, constata-se que a experiência formativa vivenciada proporcionou, em pouco tempo, algum aprimoramento da concepção sobre o ensino e a aprendizagem de estruturas multiplicativas. Presume-se que, se elas têm essa perspectiva de seus colegas da escola que coordenam, devem transpor também para si o mesmo. Afirma-se isso ao analisar que ora elas depõem na terceira pessoa do singular e do plural, ora na primeira pessoa do plural.
Nos discursos de PCS e PCA, apresentados a seguir, é possível verificar que o tratamento dado aos problemas do campo multiplicativo passaram a ser diferentes, seja pela ampliação do entendimento do referido campo, seja por perceber a necessidade de compreender o que seus alunos propõem.
PCS: A gente pensa que é só a multiplicação em si e eu comecei a perceber
que a divisão também tá inclusa, a questão da porcentagem, da proporção... são outras coisas que envolvem a questão do campo conceitual multiplicativo, que a gente, enquanto leigo, acha que é a pura e unicamente a multiplicação, a questão da continha mesmo de multiplicar.
PCA: Ele te dá a percepção de que você tem que valorizar o pensamento do
aluno e tentar ver o quê que esse pensamento te traz e pode reportar a algum conceito. Hoje eu já tenho essa visão. Hoje, qualquer pensamento do aluno, eu quero ouvir. Porque a partir daquilo ali eu posso tá ajudando aquela criança a perceber que faz um sentido aquilo o que ela tá dizendo.
Implicitamente, nesses dois depoimentos, identificam-se as ideias de situações, invariantes e representações essenciais à construção de um campo conceitual povoarem as concepções das professoras. Além disso, revelam um avanço na concepção de ensino do campo multiplicativo e, também, de Matemática, de uma forma geral. No primeiro caso, PCS, ao assumir que entende campo conceitual multiplicativo para além da operação de multiplicação, citando porcentagem e proporção, demonstra compreender a necessidade de
um repertório maior de situações para a apreensão do conceito e que não está restrito à apropriação do algoritmo clássico. No segundo caso, PCA enfatiza a relevância de entender como seu aluno pensa para melhor ajudá-lo, compreendendo que esquemas – invariantes operatórios – são utilizados, e isso se dá pela externalização que pode ser feita pelas formas de linguagem e não linguagem – representações – arroladas por Vergnaud (2009).
Sobre a prática docente em Matemática das professoras, pelo propósito da pesquisa, em realizar-se mediada por tecnologias digitais, não foi captada presencialmente. As análises feitas aqui se baseiam nos relatos das professoras e por registros em vídeos, produzidos por elas mesmas, e que serão explorados mais aditante, que confirmam algumas