Hem finansal piyasaların hem de ekonomik sistemlerin yapısal reformlar ya da piyasa oyuncularının davranış kalıplarındaki değişmelerinden dolayı rejim değiştirmeleri, söz konusu değişmeleri tespit etmek için farklı istatistiksel modeller ile analiz edilmelerini gerektirmektedir.
Özellikle finansal verilerden daha kapsamlı bilgiler elde etmek için, finansal zaman serilerinin geçici kırılma ya da kriz gibi rejim değişikliğine izin veren metodların uygulanması nerdeyse zorunluluk haline gelmektedir.
Doğrusallıktan sapmaya neden olabilecek faktörler olmasa bile, bazen ekonomi teorisi zaman serilerinin doğrusal olmayan modeller ile analiz edilmesini önermektedir. Örneğin iş çevrimleri gibi dönemsel bazda analiz edilecek verilerde
“eşikli otoregresif “ modellerin literatürde sıklıkla kullanıldığı görülmektedir. Ayrıca borsaların düşüş dönemlerinden yükseliş dönemlerine geçişlerinde asimetrik hareketler olabilmektedir.
3.2.1. Eşiksel Otoregresif Model
Eşiksel otoregresif modeller (TAR) ilk defa Tong ve Lim (1980) tarafından finans literatürüne kazandırılmış olup daha sonra ise Tong (1983,1990) çalışmalarında detaylı olarak geliştirilmiştir. Söz konusu modeller belli bir eşik değer belirleyerek, değişik rejimlerin finansal serilere uygulanmasını olanaklı kılmaktadır.
Böylece her bir rejim kendi içinde doğrusal kalırken, serinin bütünü doğrusal olmayan özellikler sergileyebilmektedir. Aşağıda iki rejimli bir TAR modeli AR(1) parametreleri ile gösterilmiştir (Franses ve Dijk, 2000: 71) :
(3.2.1) Bu denklemde ve birinci rejimin parametrelerini gösterirken,
ikinci rejimin parametrelerini göstermektedir. Her iki rejimde de hata terimlerinin bağımsız ve özdeş dağıldığı ve beyaz gürültü özelliklerine sahip olduğu varsayılmaktadır.
Eşiksel otoregresif modeller, eşik değer aşıldığında rejim değişikliklerinin aniden gerçekleştiğini ileri sürmektedir. TAR modellerinin parametreleri ardaşık koşullu regresyon yöntemi ile bulunabilir. Söz konusu modeller aşağıdaki gibi belirlenmektedir (Tong ve Lim , 1980) :
Eşik değer gönüllü olarak seçilir ve p değerlerine göre gecikme sayısı belirlenir,
Her denklem doğrusal regresyon ile elde edilir,
Gecikme sayıları sabit tutularak, AIC yada BIC gibi bilgi kriterlerine göre en küçük değeri veren eşik değer tercih edilebilir.
3.2.2. Kendinden Uyarımlı Eşiksel Otoregresif Modeli
Kendinden uyarımlı eşiksel modeller (SETAR) ilk defa Tong ve Lim (1980) tarafından geliştirilmiştir. Aşağıda iki rejimli bir SETAR (1,1) modeli gösterilmiştir (Cryer ve Chan, 2008) :
(3.2.2) Burada parametreleri otoregresif katsayılar iken, katsayıları beyaz gürültülü standart sapmalardır. Aynı zamandan hata terimleri yine bağımsız ve özdeş dağılmaktadır. Geçiş değişken olarak adlandırılan bağımsız değişken ‘ nin 1 gecikmeli değeridir.
Yukarıdaki modelde geçiş değişkeni eşik değerden küçük olduğu zaman ‘ nin koşullu ortalaması AR(1) sürecine bağlı olarak belirlenir. Öte yandan geçiş değişkeni, eşik değeri aştığında süreç parametreleri ile yine AR(1) sürecini takip eder. Böylelikle iki doğrusal rejim arasındaki geçiş, bağımlı değişkenin 1 gecikmeli değerine bağlı olarak belirlenecektir. Eğer süreç eşik değerin altında seyrediyorsa düşük rejim, tersi durumda da yüksek rejim geçerlidir. Buna ek olarak her iki rejimin varyanslarının eşit olması beklenmemektedir. Ancak geçiş değişkenin gecikmeli değeri “d” 1 < d < değerleri arasında olmalıdır.
3.2.3 Yumuşak Geçişli Otoregresif Modeller
Eşiksel otoregresif modellerde rejim değişiklikleri, söz konusu eşik değer aşıldığında hemen gerçekleşmektedir. Doğrusal olmayan dinamikleri yakalamasına rağmen, bazı ekonomik ve finansal serilerde rejim değişiklikleri aniden olmamakta veya yavaş yavaş seyretmektedir. Rejim değişikliklerinin aniden olmayıp, eşik değer yerine geçiş fonksiyonunun kullanıldığı modellere “ Yumuşak Geçişli Otoregresif Modeller” (STAR) denilmektedir (Terasvirta, 1998).
Örneğin 0 < G( ) < 1 ve değeri geçiş değişkenine bağlı olan bağlı olan bir yumuşak geçişli otoregresif model aşağıdaki şekilde ifade edilebilir (Zivot ve Wang , 2001) :
(3.2.3)
Burada ’ nin alacağı değer her iki rejim tarafından belirlenmekte olup, bazen bir rejim ötekine ağır basarken bazı durumlarda da tam tersi olmaktadır.
Yumuşak geçişli modeller ise kendi aralarında Üssel ve Lojistik olarak ikiye ayrılmaktadır.
3.2.3.1 Lojistik Yumuşak Geçişli Otoregresif Modeller
Lojistik yumuşak geçişli otoregresif modeller (LSTAR) aşağıdaki denklem yardımı ile gösterilebilir (Franses ve Dijk, 2000) :
G( ) = (3.2.3.1) Yukarıdaki denklemde parametresi G( ) = 0 ve G( ) = 1 fonksiyonları arasındaki eşik değer olarak yorumlanabilmektedir. Lojistik formda geçiş fonksiyonu sadece 1 yada 0 değerini almaktadır. Rejimler arasındaki geçiş hızını gösteren parametre ise ‘ dir. Bu parametrenin yüksek değer alması rejimler arasında geçişin hızlı olduğu anlamın gelmektedir. Ayrıca modelde parametresi sıfırdan büyük değer almak zorundadır.
3.2.3.2. Üssel Yumuşak Geçişli Otoregresif Modeller
Üssel yumuşak geçişli otoregresif modeli aşağıdaki gibi gösterebiliriz ( Escribano ve Jordá, 2001) :
F( ) = (3.2.3.2) Üssel yumuşak geçişli otoregresif modelde asimetrik yapılarda dikkate alınmaktadır. Söz konusu modelde rejim değişiklikleri geçiş fonksiyonu ‘ nin eşik değer olan c ‘ye uzaklığına göre belirlenmektedir.
Lojistik geçiş fonksiyonu değişik yatırımcı davranışlarını gözeterek, getirilerin pozitif ve negatif olması durumunu da dikkate almaktadır. Üssel geçiş fonksiyonu ise, yatırımcıların getirilerin büyüklüğüne yada küçüklüğüne bakarak karar verdiklerini varsaymaktadır (Hasanov ve Omay, 2008).
Doğrusallık testleri günlük getirilere uygulanabilir veya arma ile modellendikten sonra hata terimlerine uygulanabilir. Eğer hala nonlinear yapı varsa rassal yürüyüş hipotezi red edilebilir. Fama (1970) etkin piyasalar hipotezine göre hisse senedi fiyatları bütün bilgiyi yansıttığı için rassal yürüyüş sergilemeli dolayısıyla da ard arda yaşanan fiyat değişmeleri (getiriler) bağımsız ve özdeş dağılıma sahip olmalıdır.
Sonuç olarak gelecekteki fiyat dalgalanmaları hiçbir şekilde öngörülemez olup, sadece yeni ulaşılan bilgiden kaynaklanacaktır. Doğrusal modeller ile test edilen fiyat hareketlerinde herhangi bir korelasyon bulunamazsa da, fiyat serileri
arasında doğrusal olmayan bir ilişki olabilir. Bir piyasanın etkin olması piyasadan daha fazla getiri elde edilmesinin mümkün olmadığı durumu ifade eder. Finansal serilerde otokorealasyon olması piyasanın likiditesinin yüksek olduğunu ve güvenilir haber akışının olduğunu ima eder (Saadi vd., 2006).