Operat¨ orlerin Karakterizasyonları

ρ > 0 :

∞

X

k=1

M kx_kk ρ



≤ 1 )

≤ 1

olur. Bu, bazı ρ ≤ 1 i¸cin,

∞

P

k=1

M_kx

kk ρ

 ≤ 1 demektir. Bununla birlikte, M azalmayan oldu˘gundan

∞

X

k=1

M (kx_kk) ≤

∞

X

k=1

M kx_kk ρ



≤ 1

olur, yani x ∈ Λ₁’dir. Yani, Λ₁ = Λ₂ olur.

5.2 Operat¨ orlerin Karakterizasyonları

Bu kısımda, h_M(X)’ten bir ba¸ska Y Banach uzayı i¸cine tanımlanan operat¨orlerin temsillerini belirten bir teoremi ispat edece˘giz ve bir ¨ornek verece˘giz. `_N(B (X, Y )) ⊆ E_N i¸cermesinin var oldu˘gunu ve bazı durumlarda bu i¸cermenin kesin olabilece˘gini bir

¨

ornekle g¨osterece˘giz. Ayrıca, Y Banach uzayının sonlu boyutlu olması durumunda E_N = `_N(B (X, Y )) e¸sitli˘ginin sa˘glandı˘gını g¨osteren bir teoremi ispat edece˘giz ve bazı sonu¸clara varaca˘gız.

Teorem 5.2.1. X ve Y Banach uzayları, M ve N kar¸sılıklı tamamlayan Orlicz fonksiyonları olsun. Bu taktirde, B (h_M(X) , Y ) uzayı

E_N =



A = (A_k) ∈ s(B(X, Y )) : kAk = sup

f ∈B_{Y ∗}

k(A^∗_kf )^∞_k=1k_N < ∞



Banach uzayına T → (T ◦ I_k) d¨on¨u¸s¨um¨u ile denktir. Burada, her bir I_k teorem 5.1.1’deki gibi tanımlanır ve bir denklik ile bir birebir, ¨orten, lineer izometri kastedi-lir. Ayrıca, B_Y^∗ = {f ∈ Y^∗ : kf k ≤ 1}, Y^∗ dual uzayının kapalı birim yuvarıdır [3].

˙Ispat. ˙Ispatı iki adımda yapaca˘gız. ¨Oncelikle E_N lineer uzayının kAk normu ile bir

Banach uzayı oldu˘gunu g¨osterelim. A, B ∈ E_N, α ∈ F keyfi olarak verilsin.

i) A = (0, 0, ..., 0, ...) ⇔ ∀k ∈ N i¸cin, Ak = 0

⇔ ∀k ∈ N ve ∀x ∈ X i¸cin, A^k(x) = 0

⇔ ∀k ∈ N, ∀f ∈ Y^∗ ve ∀x ∈ X i¸cin, (A^∗_kf ) (x) = f (A_k(x)) = f (0) = 0

⇔ ∀k ∈ N ve ∀f ∈ Y^∗ i¸cin, A^∗_kf = 0

⇔ kAk = sup

f ∈BY ∗

k(A^∗_kf )^∞_k=1k_N = 0

ii) kαAk = sup

f ∈B_{Y ∗}

k((αA_k)^∗f )^∞_k=1k_N

= sup

f ∈B_{Y ∗}

k(αA^∗_kf )^∞_k=1k_N

= sup

f ∈B_{Y ∗}

kα(A^∗_kf )^∞_k=1k_N

= sup

f ∈B_{Y ∗}

|α| . k(A^∗_kf )^∞_k=1k_N

= |α| . sup

f ∈BY ∗

k(A^∗_kf )^∞_k=1k_N

= |α| . kAk

iii) f ∈ B_Y^∗ keyfi verilsin. Buna g¨ore,

k((Ak+ Bk)^∗f )^∞_k=1k_N = k((A^∗_k+ B_k^∗) f )^∞_k=1k_N

= k(A^∗_kf + B_k^∗f )^∞_k=1k_N

= k(A^∗_kf )^∞_k=1+ (B_k^∗f )^∞_k=1k_N

≤ k(A^∗_kf )^∞_k=1k_N + k(B_k^∗f )^∞_k=1k_N

e¸sitsizli˘gini elde ederiz. Buradan, kA + Bk = sup

f ∈BY ∗

k((A_k+ B_k)^∗f )^∞_k=1k_N

≤ sup

f ∈BY ∗

[k(A^∗_kf )^∞_k=1k_N + k(B_k^∗f )^∞_k=1k_N]

≤ sup

f ∈BY ∗

k(A^∗_kf )^∞_k=1k_N + sup

f ∈BY ∗

k(B_k^∗f )^∞_k=1k_N

= kAk + kBk olur.

B¨oylece, kAk, E_N uzerinde bir norm ve bu norm ile E¨ _N bir normlu uzay olur.

S¸imdi, E_N normlu uzayının bir Banach uzayı oldu˘gunu g¨osterelim. (A_n)^∞_n=1, E_N’de keyfi bir Cauchy dizisi olsun. Her bir n, k ∈ N i¸cin, Ank ∈ B (X, Y ) olmak

¨

uzere A_n = (A_nk)^∞_k=1 = (A_n1, A_n2, ..., A_nk, ...) olsun. Bu taktirde, her ε > 0 ve her n, m ≥ n₀ i¸cin,

kA_n− A_mk < ε

olacak ¸sekilde en az bir n₀ = n₀(ε) ∈ N sayısı vardır. Buna g¨ore,

kA_n− A_mk = k(A_nk)^∞_k=1− (A_mk)^∞_k=1k (5.2.1)

= k(A_nk− A_mk)^∞_k=1k

= sup

f ∈B_{Y ∗}

k((A_nk − A_mk)^∗f )^∞_k=1k_N

= sup

f ∈B_{Y ∗}

k(A^∗_nkf − A^∗_mkf )^∞_k=1k_N

= sup

f ∈B_{Y ∗}

k(A^∗_nkf )^∞_k=1− (A^∗_mkf )^∞_k=1k_N < ε kalır. Bu durumda, her ε > 0, her n, m ≥ n₀ ve her f ∈ B_Y^∗ i¸cin,

k(A^∗_nkf )^∞_k=1− (A^∗_mkf )^∞_k=1k_N < ε (5.2.2) olacak ¸sekilde en az bir n₀ = n₀(ε) ∈ N sayısı vardır. B¨oylece, her k ∈ N ve her f ∈ B_Y^∗i¸cin, (A^∗_nkf )^∞_n=1, `<sub>N</sub>(X<sup>∗</sup>)’da bir Cauchy dizisi olur. `_N(X^∗) bir Banach uzayı oldu˘gundan bu dizi `_N(X^∗)’da bir noktaya yakınsar. Bu noktayı, her k ∈ N ve her f ∈ B_Y^∗ i¸cin, lim

n→∞A^∗_nkf = A^∗_kf ile g¨osterelim. (5.2.2)’de m → ∞ iken limit alırsak k(A^∗_nkf )^∞_k=1− (A^∗_kf )^∞_k=1k_N < ε

olur. B¨oylece, (5.2.1)’den A = (A_k) olmak ¨uzere kA_n− Ak = sup

f ∈B_{Y ∗}

k((A_nk− A_k)^∗f )^∞_k=1k_N

= sup

f ∈B_{Y ∗}

k(A^∗_nkf )^∞_k=1− (A^∗_kf )^∞_k=1k_N < ε

bulunur. Buradan, lim

n→∞kA_n− Ak = 0 olur. Yani, (A_n) dizisi A’ya yakınsaktır.

Ayrıca,

|kA_nk − kAk| ≤ kA_n− Ak → 0 (n → ∞)

e¸sitsizli˘ginden kA_nk → kAk (n → ∞) olur. B¨oylece, kAk < ∞ bulunur. O halde A ∈ E_N’dir. Bu taktirde, E_N bir tam normlu uzay, yani Banach uzayı olur.

T ∈ B (h_M(X) , Y ) ve her bir k ∈ N i¸cin, Ak = T ◦ I_k olsun. A¸cık olarak, her bir k ∈ N i¸cin, Ak : X → Y operat¨or¨u lineerdir. Uyarı 5.1.1’den I_k s¨urekli oldu˘gundan her bir k ∈ N i¸cin, Ak ∈ B (X, Y ) olur. Bu durumda, A = (A_k) ∈ s (B (X, Y ))’dir.

Her bir k ∈ N i¸cin, Pk d¨on¨u¸s¨um¨u teorem 5.1.1’deki gibi tanımlanmak ¨uzere her x ∈ hM(X) i¸cin,

k(A_k◦ P_k) (x)k = kA_k(x_k)k = 0 ⇒ A_k(x_k) = 0 dır. Teorem 5.1.1’den her bir x ∈ h_M(X),

x =

∞

X

k=1

(Ik◦ Pk) (x)

¸seklinde bir temsile sahip oldu˘gundan

T x = T

∞

X

k=1

(I_k◦ P_k) (x)

!

= T

∞

X

k=1

I_k(x_k)

!

=

∞

X

k=1

(T ◦ I_k) (x_k)

=

∞

X

k=1

Ak(xk)

yazabiliriz.

S¸imdi,

Ψ (T ) = A = (A_k)^∞_k=1; A_k = T ◦ I_k

ile Ψ : B (h_M(X) , Y ) → E_N d¨on¨u¸s¨um¨un¨u tanımlayalım. Bu d¨on¨u¸s¨um¨un birebir,

¨

orten ve lineer izometri oldu˘gunu g¨osterelim.

Ψ d¨on¨u¸s¨um¨u lineerdir. Ger¸cekten, αA¹+ βA² = A, αT¹+ βT² = T ve Ψ (T¹) = A¹, Ψ (T²) = A², Ψ (T ) = A ba˘gıntıları sa˘glanacak ¸sekilde α, β ∈ F , A¹, A², A ∈ E_N

ve T¹, T², T ∈ B (h_M(X), Y ) verilsin. Bu taktirde,

B¨oylece, Ψ, birebirdir.

Ψ d¨on¨u¸s¨um¨u ¨ortendir. Ger¸cekten, keyfi bir A ∈ E_N i¸cin, h_M(X) ¨uzerinde T operat¨or¨un¨u T x =

∞

P

k=1

A_k(x_k) ile tanımlarsak, bu taktirde, Young e¸sitsizli˘gini kullanarak

≤ sup elde edilir. B¨oylece,

sup

elde ederiz. B¨oylece,

∞

P

k=1

A_k(x_k) serisi yakınsak olur. Yani, T iyi-tanımlıdır. Dahası, T operat¨or¨u keyfi A ∈ E_N i¸cin tanımlandı˘gından Ψ d¨on¨u¸s¨um¨u ¨ortendir.

Ψ d¨on¨u¸s¨um¨u bir izometridir. Ger¸cekten, B_hM(X), h_M(X)’in kapalı birim yuvarı

olmak ¨uzere T ∈ B (h_M (X) , Y ) i¸cin,

olur. B¨oylece, Ψ d¨on¨u¸s¨um¨u, uzaklı˘gı koruyan bir d¨on¨u¸s¨um, yani bir izometridir.

Ornek 5.2.1. X = Y = c¨ ₀ ve M , N kar¸sılıklı tamamlayan Orlicz fonksiyonları olsun. Bu taktirde,

c₀ de˘gerli Orlicz dizi uzayı olur.

A_k =

sonsuz matrisleri verilsin. Her bir n, k ∈ N ve her x = (xm) ∈ c₀ i¸cin, matris sınıfına denktir. Yani, B (c₀, c₀) uzayının her bir elemanı bir sonsuz matris ile temsil edilebilir. Bu nedenle, teorem 2.3.1 ve teorem 2.3.2’den her bir k ∈ N i¸cin, A_k= a^k_nm
matrisi,

dir. Dahası,

olur. Lemma 5.1.2’den

k(A^∗_kf )^∞_k=1k_N ≤ 2 k(A^∗_kf )^∞_k=1k_{(N )}

≤ 2K e¸sitsizli˘gini elde ederiz. B¨oylece

kAk = sup

f ∈B_`1

k(A^∗_kf )^∞_k=1k_N

≤ 2K

< ∞

olur. Bu, A = (A_k) ∈ E_N(c₀) demektir. B (h_M(c₀) , c₀) ⊂ B (`<sub>M</sub> (c<sub>0</sub>) , c<sub>0</sub>) oldu˘ gun-dan A = (A<sub>k</sub>) ∈ B (`_M(c₀) , c₀) bulunur [3].

Uyarı 5.2.1. X ve Y Banach uzayları olmak ¨uzere,

`_N(B (X, Y )) ⊆ E_N dir. Bu i¸cerme,

kA^∗_kf k ≤ kA^∗_kk kf k = kA_kk kf k

e¸sitsizli˘ginden g¨or¨ul¨ur. Ger¸cekten, e˘ger (A_k) ∈ `<sub>N</sub>(B (X, Y )) ve f ∈ B<sub>Y</sub><sup>∗</sup> ise, (A<sup>∗</sup><sub>k</sub>f )<sup>∞</sup><sub>k=1</sub>∈ `_N(X^∗) olaca˘gından bazı ρ > 0 i¸cin,

∞

X

k=1

N kA^∗_kf k ρ



≤

∞

X

k=1

N kA_kk kf k ρ



≤

∞

X

k=1

N kA_kk ρ



≤ 1 yazabiliriz. Bu nedenle,

k(A^∗_kf )^∞_k=1k_{(N )} ≤ k(A_k)^∞_k=1k_{(N )} dir. B¨oylece, lemma 5.1.2’den

k(A^∗_kf )^∞_k=1k_N ≤ 2 k(A^∗_kf )^∞_k=1k_{(N )}

≤ 2 k(A_k)^∞_k=1k_{(N )}

olur. Buradan,

kAk = sup

f ∈BY ∗

k(A^∗_kf )^∞_k=1k_N

≤ 2 k(Ak)^∞_k=1k_{(N )}

< ∞

bulunur. B¨oylece, (Ak) ∈ EN olur. Sonu¸c olarak,

`_N(B (X, Y )) ⊆ E_N elde edilir [3].

Ornek 5.2.2. Uyarı 5.2.1’deki i¸¨ cerme ba˘gıntısı kesin olabilir. X = `<sub>1</sub>, Y = h<sub>M</sub> ve M , N kar¸sılıklı tamamlayan Orlicz fonksiyonları olsun ve M (1) = 1 ko¸sulu sa˘glansın. x = (x<sub>n</sub>) ∈ `₁ i¸cin,

Akx = xk⊗ ek = (0, 0, ..., 0,^{k-ıncı yer}xk , 0, ...)

e¸sitli˘gi ile Ak : `1 → hM operat¨or¨u tanımlanır. ¨Onerme 4.1.7’den h<sup>∗</sup><sub>M</sub> = `N oldu˘ gun-dan bazı f ∈ B_h^∗

M i¸cin,

f (x) =

∞

X

n=1

x_ny_n

yazarız, burada y = (y_n) ∈ `_N ve kyk_{(N )} = kf k dir. Bundan dolayı, (A^∗_kf ) (x) = f (Ak(x)) = xkyk

olur ve b¨oylece

|(A^∗_kf ) (x)| = |x_ky_k|

= |x_k| |y_k|

≤ |y_k|

∞

X

k=1

|x_k|

= |yk| kxk_`

1

e¸sitsizli˘ginden kA^∗_kf k = |yk| bulunur. Teorem 4.1.4’ten

∞

X

k=1

N kA^∗_kf k kyk_{(N )}

!

≤ 1

olur ve kyk_{(N )} = kf k ≤ 1 ile N azalmayan oldu˘gundan

∞

X

k=1

N (kA^∗_kf k) ≤

∞

X

k=1

N kA^∗_kf k kyk_{(N )}

!

≤ 1

bulunur. Lemma 5.1.3 ile k(A^∗_kf )^∞_k=1k_{(N )} ≤ 1 olur. B¨oylece, k(A^∗_kf )^∞_k=1k_N ≤ 2 k(A^∗_kf )^∞_k=1k_{(N )} e¸sitsizli˘ginden

kAk = sup

f ∈B_h∗

M

k(A^∗_kf )^∞_k=1k_N < ∞ olur. Yani, (A_k) ∈ E_N dir.

Ote yandan, her bir k i¸¨ cin, kA_kk = 1 dir. Ger¸cekten, her bir k ve x ∈ B_`1 i¸cin, A_kx ∈ h_M oldu˘gundan

kA_kxk_{(M )} = kx_k⊗ e_kk_{(M )}

= inf



ρ > 0 : M |x_k| ρ



≤ 1



= |x_k| , (M (1) = 1 oldu˘gundan)

≤ kxk_`

1

≤ 1 olur. B¨oylece, her bir k i¸cin,

kA_kxk_{(M )} kxk_`

1

≤ 1, x 6= θ ise

kAkk = sup

kxk`1≤1

kA_kxk_{(M )} kxk_`

1

, x 6= θ

≤ 1 dir. Ayrıca, her bir k i¸cin,

x = e_k= (0, 0, ..., 0,

k-ıncı yer

1 , 0, ...) ∈ `₁

alınırsa,

kA_kxk_{(M )} = kA_ke_kk_{(M )}

= ke_kk_`

1

= 1 olur. Bu nedenle, her bir k i¸cin,

kA_kk = sup

Y Banach uzayının sonlu boyutlu olması durumunda, Dvoretzky-Rogers Teoremi, uyarı 5.2.1’deki i¸cerme ba˘gıntısının bir e¸sitlik oldu˘gunu iddia eder. Bunu g¨ostermek i¸cin, m₀’ın A = {x = (x_n) ∈ s : x_n ∈ {0, 1} , n ≥ 1} olmak ¨uzere m₀ = sp{A}

¸seklinde tanımlı oldu˘gunu hatırlayalım [3].

Teorem 5.2.2. Y sonlu boyutlu oldu˘gu zaman E_N = `_N(B (X, Y ))’dir [3].

dur. B¨oylece, vx = (v_kx_k) ∈ h_M(X) olur. Bundan ba¸ska, teorem 5.2.1’den

T x =

∞

X

k=1

A_k(x_k)

operat¨or¨u hM(X) ¨uzerinde iyi-tanımlı oldu˘gundan her v ∈ m0 i¸cin,

∞

X

k=1

A_k(v_kx_k)

serisi yakınsaktır. S¸imdi, do˘gal sayıların kesin artan bir dizisi olarak (k_i)_i∈N dizisi ve

bk =







1 , k = k_i ise 0 , k 6= k_i ise

ile b = (b_k) dizisi tanımlansın. Bu taktirde, a¸sikar olarak b ∈ m₀ ve b¨oylece

∞

X

k=1

Ak(bkxk) =

∞

X

i=1

Aki(xki)

serisi yakınsaktır. Buna g¨ore, tanım 2.2.10’dan

∞

P

k=1

A_k(x_k) serisi altseri yakınsaktır.

B¨oylece bu seri ko¸sulsuz yakınsak olur. Buradan, Y sonlu boyutlu oldu˘gundan Dvoretzky-Rogers Teoremi’nden bu seri mutlak yakınsaktır. Yani, her bir x = (x_k) ∈ h_M(X) i¸cin,

∞

X

k=1

kA_k(x_k)k < ∞ dur. Her bir k ∈ N i¸cin, Ak ∈ B (X, Y ) oldu˘gundan

kA_kk ≤ 2 kA_ky_kk (5.2.3)

olacak ¸sekilde bazı y_k ∈ B_X = {v ∈ X : kvk ≤ 1} vekt¨orlerini bulabiliriz. Bundan ba¸ska, bir z = (z_k) dizisini her bir u = (u_k) ∈ h_M i¸cin, z_k = u_ky_k olacak ¸sekilde tanımlayalım. Bu durumda,

ku_ky_kk = |u_k| ky_kk ≤ |u_k| oldu˘gundan dolayı her bir ρ > 0 i¸cin,

∞

X

k=1

M ku_ky_kk ρ



≤

∞

X

k=1

M |u_k| ρ



< ∞

olur. O halde, z = (z_k) ∈ h_M(X)’tir. B¨oylece, (5.2.3)’ten

∞

X

k=1

|kA_kk u_k| =

∞

X

k=1

kA_kk |u_k|

≤ 2

∞

X

k=1

|u_k| kA_ky_kk

= 2

∞

X

k=1

kA_k(u_ky_k)k

= 2

∞

X

k=1

kAkzkk

< ∞

olur. Buradan, (kA_kk)^∞_k=1 ∈ h^α_M’dır. Fakat, sonu¸c 4.1.3’ten h^α_M = `_N’dir. Bu y¨uzden, bazı ρ > 0 i¸cin,

∞

X

k=1

N kA_kk ρ



< ∞

olur. Bu ise, A = (A_k) ∈ `<sub>N</sub>(B (X, Y )) demektir. Sonu¸c olarak, uyarı 5.2.1 ile beraber E<sub>N</sub> = `_N(B (X, Y )) elde edilir.

Sonu¸c 5.2.1. M , N kar¸sılıklı tamamlayan Orlicz fonksiyonları olsun. Bu taktirde, [hM(X)]^∗ = `N(X^∗)’dır [3].

˙Ispat. F, h_M(X) ve X’in skaler cismi olmak ¨uzere, teorem 5.2.1 ve teorem 5.2.2’de Y = F alınırsa,

B (h_M(X) , F ) = [h_M(X)]^∗ = E_N olur ve F sonlu boyutlu oldu˘gundan

E_N = `<sub>N</sub> (B (X, F )) = `_N(X^∗) olur. B¨oylece, [h_M(X)]^∗ = `_N(X^∗) elde edilir.

KAYNAKLAR

[1] M. A. Krasnosel’skii and Y. B. Rutickii, Convex Functions and Orlicz Spaces, Noordhoff Ltd., Groningen, Netherlands, 1961.

[2] D. Ghosh and P. D. Srivastava, On some vector valued sequence spaces using Orlicz function, Glas. Mat. Ser. III 34 (2)(1999), 819–826.

[3] Y. Yılmaz, M. Kemal ¨Ozdemir, ˙I. Solak ve M. Candan, Operators on Some Vector-Valued Orlicz Sequence Spaces, F. ¨U. Fen ve M¨uhendislik Bilimleri Dergisi, 17(1), 59-71, 2005.

[4] I. J. Maddox, Elements of Functional Analysis, Second Edition, Cambridge University Press, Cambridge, 1988.

[5] H. Kizmaz, Fonsiyonel Analize Giri¸s, K.T. ¨U. Basımevi, Trabzon, 1993.

[6] E. S. S¸uhubi, Fonksiyonel Analiz, ˙I.T. ¨U. Vakfı Yayınları, ˙Istanbul, 2001.

[7] E. Kreyszig, Introductory Functional Analysis with Applications, John Wiley

& Sons Inc., New York, 1978.

[8] F. Ba¸sar, Summability Theory and Its Applications, Bentham Science Publishers, e-books, Monographs, ˙Istanbul, 2011.

[9] A. Wilansky, Modern Methods in Topological Vector Spaces, McGraw Hill Inc., New York, 1978.

[10] S. Lipschutz, Schaum’s Outline Theory and Problems of General Topology, McGraw-Hill Inc., Singapore, 1965.

[11] P. K. Kamthan and M. Gupta, Sequence Spaces and Series, Marcel Dekker, Inc., New York and Basel, 1981.

[12] B. Musayev ve M. Alp, Fonksiyonel Analiz, Balcı Yayınları, K¨utahya, 2000.

[13] B. Choudhary and S. Nanda, Functional Analysis with Applications, John Wiley & Sons Inc., New York, 1989.

[14] K. J. Lindberg, Contractive projections in Orlicz sequence spaces and continuous function spaces, Ph. D. Thesis, University of California, Berkeley, 1971.

[15] J. Boos and P.Cass, Classical and Modern Methods in Summability, Oxford University Press, Inc. New York, 2000.

[16] I. J. Maddox, Elements of Functional Analysis, Second Edition, Cambridge University Press, Cambridge, 1970.

[17] Y. Yılmaz, Mod¨ul¨us Fonksiyonu Yardımıyla Tanımlanmı¸s Bazı Yeni Dizi Uzayları, Doktora Tezi, ˙In¨on¨u ¨Universitesi, Malatya, 2003.

[18] S. Suantai ve W. Sanhan, On β-Dual of Vector Valued Sequence Space of Maddox, IJMMS 30:7 (2002) 383-392.

[19] I. J. Maddox, Infinite Matrices of Operators, Springer-Verlag, Berlin, Hiedelberg, New York, 1980.

[20] Y. Yılmaz ve M. Kemal ¨Ozdemir, K¨othe-Toeplitz Duals of Some Vector-Valued Orlicz Sequence Spaces, Soochow Journal of Mathematics, Volume 31, No. 3, pp. 389-402, July 2005.

[21] Y. Yılmaz ve ˙I. Solak, Operator Perfectness and Normality of Vector-Valued Sequence Spaces, Thai Journal of Mathematics, Volume 2 (2004) Number 2:

247-257.

[22] K. J. Lindberg, On subspaces of Orlicz sequence space, Studia Mathematica 45(1973), 119-146.

[23] J. Lindenstrauss and L. Tzafriri, On Orlicz sequence space, Israel J. Math.

10(1971), 379–390.

OZGEC ¨ ¸ M˙IS ¸

7 Nisan 1986 tarihinde Adıyaman’nın U˘gurlu k¨oy¨unde do˘gdu. ˙Ilk, orta ve lise

¨

o˘grenimini Adıyaman’da tamamladı. 2003 yılında Mersin ¨Universitesi Fen-Edebiyat Fak¨ultesi Matematik B¨ol¨um¨u lisans programına kayıt yaptırdı ve 2009 yılında mezun oldu. 2010 yılında ˙In¨on¨u ¨Universitesi Fen Bilimleri Enstit¨us¨u Matematik Anabilim Dalında y¨uksek lisans programına kayıt yaptırdı.

Belgede TES ¸EKK ¨ UR (sayfa 69-86)