olduğunu göstermeliyiz. Bunun için ~nın örtüm olduğu kullanılırsa

her (x1'y) € Sj için (xi'y) E: _{Xi xX2}olduğundan

ç

cİ) (1) A }

SUPt ~ ^Ci) ^Ci)} (x1,y)/A 1 xA² E: A =1

Ai ^x A2

dir. Buradan her

kf

IN için

dır.Bu ise

k~koiçin

ı k

/::

^ı^veⁱⁱ ^(x

y»

1_..L :::

r- <k) ( k) 1. ' k ko Ai x A₂

olduğundan

umesı-VY,o

olacak şekilde seçelimoBu şekilde oluşturulan sonlu ailesini H_y)6 ile gösterelim, yani

d ır. H y, S nın seçımin . d k' ALL) e T I . e ı 2. '- 2 erın k' timesini ^G

y/o ^ile

adlandı-ralım, yani

dır.

olarak tanımlayalım.Bu durumda D':J,6 c T₂dir.Bu işlemi her y E.Xı ^ve her b)O için yaparsak

t

^Dy, b

i

y E X2.'

b)

o} ailesi (X_{2 ,}Tı) Ytlin bir açık örtümüdür. Gerçekten; e)O keyfi verilsin. Her b)O için

do.layısıyla &< cc. için de G

y.o

tanımlı olduğundan hEr y E.X₂ve her . Aı (1)

E G

_{y ,}^& ^için

dır. Buradan

~D (y»ı-t.

Y,b

y, o})

^1- ^t

Gj,S}ll-t

elde edilir.Her ~)O için ı.t (y» l-fo olduğundan D.)'Jö

sup

{ll

(y)lö) o) =1 Dy,6

dir.(X₂ _{,T2 )} kompa~t olduğundan bu örtümün so~ıu bir alt örtümü var-dır.Bu alt örtümü tDYi ' 0i \ i=1,2,3" •• ,m} ile gösterelim ve

.B :

⁼⁼

t

^H^'j^{i '}⁶

ⁱ ⁱ

ⁱ⁼1, 2 , 3, ••• ,

m}

fo

olarak

tanımlayalım.Bu

^durumda.B

ıA nın

sonlu bir altörtümüdür.

Gerçekten;ıa sonlu ailelerin sonlu kolleksiyonu olduğundan sonludur.

Şimdi ~ nin X in bir örtümü olduğunu gösterelim.(x,y)E X

1XX2 keyfi alalım. {D~i'oi

i

i=1,2,3, ••• ,m} (Xı,T

ı

⁾ ^{nin bir}^açıkörtümü

01-du.ğu.ndan

min

{Il ~~(y) ⁱ

^Ai^il^E. ^Gji'

^hil

⁼¹

dir: Şu halde her AE.Gyi,oi için ı-t

A

^(y)=l^dir.Diğer^taraftan^ZY1~

(Xi,T_{i )} in bir sonlu örtümüolduğundan

: ~ (x)=l

B

dir.Bu B yi birinci koordinat ve Gyı^{& nın}her Bo elemanını ikinci ko-ordinat olarak seçtiğiniz takdirde (BxB_{o )}

E".B

^iç:Ln

~ (x,y)=min{ ~ B (x), ~ (y)} =1

Bx Bo Bo

olduğundan

S

Teorem ıv. 4 [5]

, X in bir örtümüdür,sonuç olarak

(X,

^ı

)

kompakttır ••

Kompakt (sayılabilir kompakt) fuzzy topolojik

uzay-larının öyle bir sayılabilir ailesi ^vardırki, onların çarpım uzay~

kompakt (sayılabilir kompakt ) değildir.

Ispat: Y noktaların kümesi, n pozitif bir tamsay~ olmak üzere y ( Y için An' iLA n (y)=l- ~ üyelik fonksiyonu ile tanımlanan Y deki

fuzzy kümesi olsun. Xn

:=

Y ve Tn:={~,An'Y} olarak tanımlandığında Xn in açık örtümü (sayılabilir açık örtümü) sadece Xn olduğundan (Xn,T_{n )} kompakttir (sayılabilir kompakttır). Bu~a rağmen, {(XY\, Tn )\ n=l, 2, ••• }

sayılabilir ailesinin fuzzy ça:rpım uzayı kompakt (sayılabilir kompakt)

değildir. Gerçekten;

çarpım kümesi olmak üzere

,An

E.

Tn}

ailesinin önce. sonlu . arakesi tleri ve s.onra da bu arakesi tlerin

bir-leşimleri alınarak. fuzzy çarpuı topolojisi -ı üretilsin.Bu durumda

t

-;,l

n

^]ln=ı,2,^{.•. }}

(x,I)

^{nun bir}açık örtümüdür,çünkü;

her x E X, n=l, 2, ••• için F-Sü-rekli yapan bir fuzzy topolojisidir. Bu topolojiye fuzzy bölüm

topolo-jis1 ve (X/R,"Uı.) ya da fuzzy bölüm uzayı denir.

Teorem

IV.5[5J

(X,T)ve (y,T~) iki ftu olsun.

i) X/R üzerindeki ~ fuzzy bölüm topolojisi, p yi F-sürekli Yapan en ince fuzzy topolojisidir.

ii )g:X/R > Y bir fonksiyon olmak üzere g F- süreklidir ~ go P

olduğundan

fuzzy bölüm topolojisinin

tanımına

^göre

ği

^[G]E

U

olur.

layalım.Böyle tanımlanan R bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. Ayrı

ca f örten olduğundan her YE Y için f(x)=y olacak şekilde bir x E X

vardır. [x]; x in denklik sınıfını göstermek üzere h:Y~X/R,h(y):=Ix]

(YEY) olarak tanımlayalım. Böyle tanımlanan lı fonksiyonu birebir ve örtendir. Diğer taraftan f=lı-ioP ve f F-sürekli olduğundan "

Teorem ıv. 5 .. ii) ye göre h-i F-süreklidir. Şimdi h nın sürekli olduğu

Teorem ıv.? 5 (X,T) bir ftu, (X/R,U) fuzzy bölüm uzayı ve p:X---,-..X/R ye bir projeksiyon olsun.Bu takdirde aşağıdaki ifadeler denktir.

i) p F-açıktır.

ii) A Ai iii)

A

(X,T) de bir açık fuzzy kümesi ise A,nın üst fuzzy kümesi de açıktır.

(X,T) de kapalı bir fuzzy kümesi ise A nın alt fuzzy kümesi

Aı de kapalıdır.

Eğer i), ii), iii) deki açık kavramı yerine kapalı alınırsa yine bu üç durum birbirine denktir. Teoremin ıspatına geçmeden önce Ai' Aı

ve D yukarıd.a tanımlandığı gibi olmak üzere i) A 1

=

^{p1 [}^{P [ AL]}

2) A₂ =

f

^plıpr Ai) J]i

eşitliklerinin doğru olduğunu gösterelim.

Ispat i) ttxfx için ] i f I : xEXi

(Iv.

1 ) i.l (x)= sup ~ (z.)

Ai A

zE

ii i (x)= J..l 1(P(X»=/1

rA

^(rx)

...

^rı^[P^{[A] ]} ^{P [}^{A P ]}

P-i[[X]]=Xiolduğundan

dir.Şu halde

/lp[Aı(rXJ)= sup (/lA(z»

zEXi

(ıv. 2) /l 1 (x)= sup

(11

^A(z»)

p[p[A]]

ZE~

(ıv. l) , (IV. 2) den de

elde edilir.

Aı

^Z^(Xi

A

~ [p~rp[A/]]y(X)=1-{~

^p-l[P[A]]

(X)}=1-{ı-t

^P[A/]^(p(x))}

=1- t

^{Hp [A']} ^([X]

>1= ^1-{

^sup

^ı.t

^Ai^(z)}

Z(Xi

=1- sup (1- ~ ( z»

= -

sup (- ~ (z) )

A A

dir. Ayr ıca 'rı z EX i için

inf (~ (z))

'=

J.l (z) ~ -inf (ı.ı (z»~ - il (z)

Z (Xi A A z

(Xı

^A ^A

====>

^-infCıı (z»);} sup (-j..l (z»

z. E: Xi A Z ( Xi A

(IV.4)

_inf(1l_A (z»).'-sup (-Il A (2»

E-Xi

^Z€

Xi

SUp (- il A (z.» ~ - l-l (z) ~ - Sup (- il ( z.» f: il ( Z )

Z ( Xi A z E : X i A A

(IV.5) -sup (-Il A (z»

'=

^inf (ı-ı. A (z»

Z €Xi z EXj

(IV.4), (IV.5) den

(- J.I (z) )=inf (J.t (z»

A Z (Xi A

dir. halde

(1V.6) ~ [pl[P[A''JJJ'(X):

inf

(~A

(z) z

EXi

(1V.3) , (1V.6)

dan da

elde edilir.Şimdi Teoremi ıspatlayalım.

" i-:::=:::f iiııp F-açık,AE T olsun. At =p- [p[AJ] 1 olduğundan AıE T dir.

ii = : } iii

ıı

A . (X, T) de kapalı bl.r fuzzy kümesi olsun

A'

^E^{T dir.}

ii) den

J.!

nün üst fuzzy kümesi p-i[p[ Ai] JET dir. Buradan [p-l(p[ A'] ] ] / =A2 (X, T) de kapalıdır,_

"iii ~ iııAE T' o1sun. A! (X,T) de kapalıdır. iii) den

i.

^{nün alt}

fuzzy kümesi . [p-t[P rA]]]' (X,T) de

kapalı,

yani p-1[P[Aj] ( T dir.

fUzzy bölüm .-lopoloj isinin tanımına göre p [A] E:

li

dır. Buradan p nin

F-açık olduğu görülür ••

Teorem

1V.8[5J

(X,T) Cıı-ftu ve p. F~açık ise (X/R,li) fuzzy bölüm uz·ayı da Cıı-ftu dır.

ıspat (X, T) Cıı-ftu olduğundan T için sayılabilir bir

(8

^{c T}bazı

vardır. Her BEE> için p F-açık olduğundan p[B]

Ell

dır.

{ p[B]

i

B E.

.B.}

ailesi

li

için sayılabilir bir bazdır. Gerçekten;

!3

sayılabilir olduğundan bu aile

ae

sayılabilirdirwŞimdi bu ailenin

l.9.

için bir baz olduğunu .gösterelim. V

E: li

keyfi olsun.

p F-sürekli olduğundan p-i [V] E. T dir.B T için baz olduğundan P-! (V

J

⁼

U

jE:]

şeklindedir.niğer taraftan p örten olduğundan Teorem

11.5

e) ve sonuç II. 1 a) dan

p[p_1C VJJ=V=

U

^p[BiJ

iEI

elde edilir. Euradan tP [B]

113 cB}

^ailesi

^LJ).

^içinsayılabilir bir bazdır ••

Teorem IV.9[5J (X,T) kompakt (sayılabilir kompakt) ftu ise bölüm

uzay~ (X/R,~) da kompakttır (sayılabilir kompakttır).

Ispat: Teorem 11.8 den elde edilir ••

BÖLÜM V

FUZZY HAUSDORFF TOPOLOJİK UZAYLARI

de bir p fuzzy noktası

o<t<l

üyelik fonksiyonu ile tanımlanan bir fuz,zy kümesidir.Bu durumda p ye x p destege ve t degerine sahiptir denir.

Tanım V. 2 [2] A: X bir fuzzy kümesi ve p; destegi x olan bir fuzzy noktası olsun.x:xp için

II

p (xp ) <IlA(xp ) ve xrxp için p ^{~p(x) ~}J1 A(x)

.ıse p 'ye .A nın elemanıdır denir ve " pEA ii ile gösterilir.

Tanım V. 3 [2) p, q X de iki fuzzy noktas.ı olsun. Eğer Xp:fXq ise p ve q birbirinden farklıdır denir

Teorem V. 1 [2J i indeks kümesi ve (Ai) i E i X kümesindeki fuz,zy kUmelerinin bir ailesi olsun.Bu takdirde p ( UAi

<-===> J

ⁱ

€

I:p

E. if 1

ıspat:":::::::=::> .. p € ,UAi olsun. Buradan

. i€l

II

_{p (X p})< sup {~A. _{(xp ) liE}

i}

~)i

E

11

_{p( x p}

1<

~L _{A. (xp )}

, . ^ı ^ı

ii<:==:. pEA. olsun. Buradan

ii ı

X=f Xp i5e.

il P (x)'= il A. (x)'= sUP { il A. (x)

i

^iEl

ı ı

Teorem V. 2 ~2J X bir nokta kümesi olsun. X deki bir A, fuzzy kümesi.

A

nın bütün fuzzy noktalarının birleşimidir.

rspat: A# ~ durumunu inceıeyelim.{Pilier} A daki bütün fuzzy

noktala-rının kümesi olsun

olduğunu göstermek istiyoruz.

( X ) / ı.ı (x' ) ve xFx

p için

Pı·e.A ise ~ , ' -

A

P. p. ı

ı 1

dir. Şu halde PiEA ise her x (X için

olur. Buradan

(V.I)

elde edilir. ^Diğer

u ^p.

^c ^A

iE 1 i

taraftan A::j:y1 olduğundan

dır. negatif olmayan reel sayıların

lim ~n=O

koşulunu sağlayan bir dizisi olmak üzere (ıı P (x

»

sıfırdan

farklı-n o nCm reel sayıların bir dizisini

Ş eklinde tanımlayalıı .. radan sup

II

_p (xo);

. n n

dır. Ayrıca

olduğundan

II A (xo)'sup Jl p . (xo ) iE! ı

elde edilir. Buradan şu sonuca varabilirizi JlA(x)+o olan X in her x

noktası i~in

(V.2 ) _II_A(x)~suP

IIp (x)

iE! i

sağlanır. X in ~A(x)=o olan noktalarında da (V.2) sağlanacağından

her x E.X için

II A( x )~sup II p (x) iE.! i

olur. Buradan

(V.3) ACUP.

. ^ı

ve (v.ı),(Vo⁵⁾den de İ(L

AUi

i~ı

elde edilir ••

Teorem V.3121 (X,T) bir ftu ve }jeT olsun.Jl3 l' için bir bazdır .~\J A E. T ve her PEA için

Ispat : i'

=====>

^li

1B

T için bir baz Ye A E. T keyfi olsun.

A =

U

BE:.lB

şeklindedir.Diğer taraftan Teorem V.i den

::::::=:)1

P.cU

^B.

c

^A küme-leri bulunabiliyorsa bu uzaya Fuzzy Bausdorff topolojik uzayı denir.

Teorem V.5[2] (X,T) bir ftu olsun.Bu durumda aşağıdaki ifadeler denktir.

il L\x (X

ı

^,x~=l^ve ^f.l^p^(x

ı

^,~=t<^o

elde edilirdi ki bu o<tcl olması ile çelişir, O halde xı~x2dir.

X deki farklı iki r,s fuzzy noktasını

olacak şekilde seçelim. r::f:s olduğundan ve i) den r E. U ve s E V ola-cak şekilde ayrık ve açık U,V fuzzy kümeleri vardır.

2. olarak UxV cLl~ olduğunu gösterelim. Her (x,y)€,.XxX için l) x= y ise

2) x:j:y ise

olur. 1),2) den her (x,y}€XxX için

elde edilir. Sonuç olarak her PE.t:l fuzzy ₎₍ noktası için

"ü

->jj]I/(:f, g): (Y ,S )-""(Xxx, TxT) (~.g)(y):= (:f(y),g(y»

(YE. Y)

şeklinde tanımJ..ansın o

Önce her UxV E. TxT için

olduğunu

gösterelim. UxV E.

~xT

keYfi olsun. Her YE. Y için

Buradan

elde edilir. U E. T, V

~

^{T ve} ^f,g F-sürekli

olduğundaıı. ı- 1 CU]

^E.^S,^g-1[VJ€

^S

dir. S topolaji

olduğundan

^r1CU]

ⁿ

^g-1[V]^EO:^{S yani;}^(f.g) -1[UXV] E. S dir.

Şu

halde (:f,g):(Y,S)--?(XXX,TxT) ya F- süreklidir.

Ayrıca

dir. Gerçekten; y f. Y olmak üzere 1) :f(y)=g(y) ise YE. A dır. Buradan

iLA (y)al-IlA~(t(y)

^,g(y»=^il

(f,gı- 1 ^ıı x

^(y)

2):f(y)+ g(y) ise YiA

dır.

^Buradan il A (y )

=

⁰⁼^il^{llx (}^f(y ) , g (y ) )= il (f, g ) - 1

4x (y) dir. l), 2) den

A= ( f, g ) -ı L\)C.

olduğu görülür. Diğer taraftan ii) den ~in XxX de kapalı olduğunu

biliyoruz.(f,g)' F-sürekli olduğundan (f,g)-ı~=A da XxX de kapalı

dır.

":iii~İv/,g:(y,S)~X,T) ya F- sürekli iki fonksiyon ve

A:={yE. Y:f(y)=g(y)} kümesi (Y,S) de kapalı Olsun,Gf:={(y,f(y»lyE:. Y}

nin (YxX,SxT) de kapalı olduğunu gösterelim.

PX: YXX~X;PX(Y~x):=x,Py:YXX~Y;Py(Y,x):=y

Projeksiyon fonksiyonlarını tanımlayalım.Prcjeksiyon fonksiyonları

F-sürekli ve ^f:Y~XF-sürekli olduğundan foPy:YxX~X F-süreklidir.

iii) ye göre

t

(y ,x )

i

PX (y ,x )= ( fo Py ) (y , x ), (y , x ) ^€.YxX}

(YxX,SxT) de kapalıdır. Fakat

A={(y,x)\X=f(Py(y,X», (y,x)€. yxx}=[ (y,X)\X=f(y),YE: y}

olduğundan Gf (YxX,SxT) de kapalı~ır.

"iv~i ^if f:(Y,S)---7-'(X,T) ya F- sürekli ve Gf:={(y,f(y»\yE. Y}

(ix X ,SxT) de kapalı olsun.

~·'4"

i: (X,T)~(X,T},i(x):=x dönüşümü her. GE T ve her xf.X için

olduğundan süreklidir.Hipotezden

(XxX, Tx:!) de' kapalıdır. Buradan XxX-

.

x

açıktır. p,cı X de birbirin-den ^farklıiki fuzzy noktası oısun.x~*·xg: olduğundan (xp'Xq) ^E.XxX-llx dir.

!J._{r (Xp}^tx q )=maks{ il p (Xp )' /..l q (Xq)

L

şeklinde düşünelim.

/lrexp,Xq)=maks{l.1p(xp)' /..lqeXq)}<l=/l Xxx_~)xp,Xq)

olduğundan rE XxX-LJ.~tir. XxX- b.x açık olduğundan

E.

UXVC.XXX-~x

olacak şekilde UxV açık fuzzy kümesi vardır. Buradan

elde edilir. Diğer taraftan UxVC XxX-/j.'X olduğundan her x E.X için (x,x)!i UxV dir. Buradan

/lUflV(x)=min{/l u(x),/l

v(x»)=/l

Uxv(x,x)=o

yani unv =

j6

olur. Şu halde X in her p;!:q fuzzy noktaları için p €,U ve q

E.

V olacak şekilde ayrık ve açık U, V fuzzy kümeleri

bulunabildi-ğinden (X,T) bir fuzzy Hausdorff topolojik uzayıdır._

KAYNAKLAR

tL]

CHANG,C.L.,Fuzzy Topological Spaces,J.Math.Anal.Appl.

24(1968) 182-190

[.:] SRIVASTAVA,R;LAL,S.N. AND SRIVASTAVA,A.K.,Fuzzy Hausdorff Topolo-gical Spaces,J.Math.Anal.Appl.81(1981) 497-506

[3] WILLARD,S.General

Topology,Addıson-Wesley Publıshıng

Company,1970

[4J

WONG,C.K., Covering Proporties of Fuzzy Topological Spaces,

J.Math.Aııal.Appl.43(1973)

697-704

(5) WONG,C.K. ,Fuzzy Top.ology:Product and Quotient Theorems,J .Math.

Belgede FEN BiLİMLERİ ENSTİTüSü. MATEMATiK ANABİLİM DALI YüKSEK L 1. SANS PROGRAMI. FUZZY KüMELER! VE FUZZY TOPOLOJiK UZAYLARI. CiNEMRE (sayfa 43-62)

olduğunu göstermeliyiz. Bunun için ~nın örtüm olduğu kullanılırsa

ç

kf

/::

y»

umesı-VY,o

t

i

b)

y.o

E G

Y,b

y, o})

{ll

.B :

t

i i

m}

fo

tanımlayalım.Bu

ıA nın

i

ı

{Il ~~(y) i

hil

A

B

E".B

Bx Bo Bo

S

(X,

)

:=

E.

t

-;,l

n

(x,I)

IV.5[5J

olduğundan

tanımına

ği

U

A

=

f

(Iv.

zE

rA

...

(11

p[p[A]]

Aı

A

~ [p~rp[A/]]y(X)=1-{~

(X)}=1-{ı-t

=1- t

>1= 1-{

ı.t

= -

A A

'=

(Xı

====>

(IV.4)

E-Xi

Xi

'=

(1V.6) ~ [pl[P[A''JJJ'(X):

(~A

EXi

(1V.3) , (1V.6)

ıı

A'

J.!

i.

kapalı,

li

1V.8[5J

(8

ⁱ ⁱ

{Il ~~(y) ⁱ

^hil

>1= ^1-{

^ı.t

^LJ).

u ^p.

^S

ⁿ

(f,gı- 1 ^ıı x